2025版新教材高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)10平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示新人教A版必修第二冊(cè)

同步練習(xí)10平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示必備學(xué)問基礎(chǔ)練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，則a·b＝()A．5B．14C．－6D．2eq\r(2)2．[2024·湖北黃岡高一期中]已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－5))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，則cos∠BAC＝()A．eq\f(2\r(5),25)B．－eq\f(2\r(5),25)C．eq\f(\r(5),25)D．－eq\f(\r(5),25)3．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，x))，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8a－b))·c＝30，則x＝()A．6B．5C．4D．34．[2024·廣東深圳高一期中]已知兩點(diǎn)A(4，2)，B(1，6)，則與向量eq\o(AB,\s\up6(→))同向的單位向量是()A．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))B．(－3，4)C．(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))D．(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))5．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，m))，若a與b方向相反，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝()A．eq\r(2m2＋10m＋17)B．eq\r(5)C．2eq\r(5)D．56．已知向量a＝(1，3)，b＝(n，1)，若|a＋b|＝a·b，則n的值為()A．－3B．－2C．1D．27．[2024·河南鄭州高一期中]已知平面對(duì)量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，4))，則5a在b上的投影向量為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))C．(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))D．(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))8．(多選)已知平面對(duì)量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m))，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))a＋b))，則()A．a(chǎn)·b＝4B．a(chǎn)∥bC．m＝－1D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(2)9．(多選)[2024·河南焦作高一期中]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))，則()A．a(chǎn)∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))⊥aD．a(chǎn)－b與c的夾角為eq\f(π,4)二、填空題(每小題5分，共15分)10．[2024·河北邯鄲高一期中]已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))，b＝(eq\f(1,2)，1)，則a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a－2b))＝________．11．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝4，a·b＝2eq\r(2)，則a與b的夾角為________．12．[2024·遼寧沈陽高一期末]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，4))，若a⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))，則x＝________．三、解答題(共20分)13．(10分)已知平面對(duì)量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，x))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，y))，且a∥b，a⊥c.(1)求b和c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求m·n的值．14．(10分)[2024·江蘇南京高一期中]已知向量a＝(2t，t)，b＝(－3，2)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)若t＝1，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋2b))的值；(2)若b－a與c共線，求a，c夾角．關(guān)鍵實(shí)力提升練15.(5分)已知平面對(duì)量a＝(－1，eq\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，λ))，a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，2))D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(－eq\f(1,2)，2)16.(5分)如圖放置的邊長為2的正方形ABCD頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的最大值是________．17．(10分)[2024·江蘇連云港高一期末]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0)).(1)求a－b的坐標(biāo)以及a－b與a之間的夾角；(2)當(dāng)t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))時(shí)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－tb))的取值范圍．同步練習(xí)10平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：B解析：因?yàn)閍＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以b＝a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，所以a·b＝3×2＋4×2＝14.故選B.2．答案：B解析：Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－5))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，則＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，4))，cos∠BAC＝＝eq\f(8－12,5×2\r(5))＝－eq\f(2\r(5),25).故選B.3．答案：C解析：由于8a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8a－b))·c＝30，所以6×3＋3x＝30，x＝4.故選C.4．答案：D解析：由A(4，2)，B(1，6)，得＝(－3，4)，則＝eq\r(（－3）2＋42)＝5，所以與向量同向的單位向量為＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))).故選D.5．答案：B解析：由題意向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，m))，a與b方向相反，則m2－4＝0且m<0，故m＝－2，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－2))，所以a＋b＝(2，－1)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).故選B.6．答案：D解析：因?yàn)橄蛄縜＝(1，3)，b＝(n，1)，所以a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋n，4))，a·b＝1×n＋3×1＝3＋n，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝a·b,所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋n))2＋16)＝3＋n，所以4n＝8，即n＝2.故選D.7．答案：D解析：5a在b上的投影向量的數(shù)量為eq\f(5a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(－5×（－3）＋（－5）×4,\r(（－3）2＋42))＝－1，所以5a在b上的投影向量為－1×eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝－(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))＝(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5)).故選D.8．答案：ABD解析：2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，4))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4－m))，a＋b＝(3，2＋m)，所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－m))2＝32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋m))2，解得m＝1，C錯(cuò)誤；所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，D正確；則a·b＝2＋2＝4，A正確；因?yàn)閍＝2b，所以a∥b，B正確．故選ABD.9．答案：BD解析：A選項(xiàng)，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，因?yàn)?×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))≠eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))，則a與a－b不共線，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，a＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1))?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2)＝eq\r(5)，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2＋22)＝eq\r(5)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))·a＝2－1≠0，則a與a－b不垂直，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，cos〈a－b，c〉＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))·c,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c)))＝eq\f(2,\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),2)，又〈a－b，c〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，則〈a－b，c〉＝eq\f(π,4)，即a－b與c的夾角為eq\f(π,4)，故D正確．故選BD.10．答案：38解析：a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a－2b))＝3a2－2a·b＝3(9＋4)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋2))＝38.11．答案：eq\f(π,4)解析：由a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2)＝1，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(2\r(2),1×4)＝eq\f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，即〈a，b〉＝eq\f(π,4).12．答案：eq\f(1,2)解析：因?yàn)閍＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，4))，所以a－b＝(2－x，－1)，因?yàn)閍⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x))＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝0，解得x＝eq\f(1,2).13．解析：(1)因?yàn)閍∥b，則3x－36＝0，所以x＝12.因?yàn)閍⊥c，則3×4＋4y＝0，所以y＝－3.所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，12))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3)).(2)因?yàn)閙＝2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，8))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，12))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－4))，n＝a＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，1))，所以m·n＝－3×7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))×1＝－25.14．解析：(1)∵a＝(2t，t)，b＝(－3，2)，c＝(3，－1)，當(dāng)t＝1時(shí)，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，∴a＋2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))＝(－4，5)，∴|a＋2b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))2＋52)＝eq\r(41).(2)b－a＝(－3－2t，2－t)，且與c共線，∴(－3－2t)×(－1)＝3×(2－t)，解得t＝eq\f(3,5)，a＝(eq\f(6,5)，eq\f(3,5))，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c)))＝eq\f(\f(6,5)×3－\f(3,5),\r(（\f(6,5)）2＋（\f(3,5)）2)×\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2))＝eq\f(\r(2),2)，∵〈a，c〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以a，c夾角為eq\f(π,4).關(guān)鍵實(shí)力提升練15．答案：D解析：因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以〈a，b〉∈(eq\f(π,2)，π).所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))<0，即eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(－1＋\f(1,2)λ,\r(1＋\f(1,4))×\r(1＋λ2))<0，解得λ<2.而a與b反向時(shí)，〈a，b〉＝π，此時(shí)a＝kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k<0))，即(－1，e