第5章8 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊常考題型練習(xí)（機構(gòu)專用）

正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

考向一正切函數(shù)的定義域

1、函數(shù)〃力=一212115一()的定義域為()

A.{xxwZ乃+——、keZ、B.\x\xk+—,keZ

54l4

C.^x\x=k/r^--7i,kGZ>D.{x尤工左乃+一,ZcZ

14

【答案】A

yrjr3

【解析】解不等式x——工一+/:%,keZ,得xwk乃+一〃，keZ,

424

因此，函數(shù)/(x)=-2tan(x-?)的定義域為,xxRbr+1■乃次ez|

故選：A.

【備注】別忘了&eZ。

2、求下列函數(shù)的定義域

⑴尸儡；⑵尸坨什龍).⑶…吟一)

【答案】(1)\x\x^--+k^SLx^—+k^,keZ>

42

(2)'x\k7r--<x<K7c^--,KeZ>

37r

(3)<xx^k7t-\----,xeR,keZ>

4

1+tanxw0

1.1

解析：(1)由不等式〈71.,解得《用工/-^+~^/萬+左肛kGZ

X^—+K7l

2

V3-tanx>0

7171

(2)由不等式71,,解得＜幻攵萬一5＜工＜攵乃+1,攵eZ)

X^—+K7r

2

JIjl334萬

(3)由不等式---x于一+kji,keZ,解得〈工工工女乃+^—R.keZ>

424

3、與函數(shù)y=tan2x+?的圖像不相交的一條直線是()

7t71一冗71

A.x——B.y=—C.x=—D.y=—

2288

答案：C

解析：若直線與函數(shù)y=tan2x+?的圖像不相交，則說明函數(shù)y=tan2x+?的自變量取不到的值,

TTTT

所以使得2x+2=2+Z萬，AwZ的值為所求。

42

考向二正切函數(shù)的圖像，單調(diào)性與值域

1、設(shè)函數(shù)/(x)=tan住一￡,作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖.

12JJ

【答案】

【備注】注意畫圖像之前先求函數(shù)的定義域。

3兀3兀

2、函數(shù)網(wǎng)，y=tanx,y=tan(—x),在(一二，」)上的大致圖象依次是下圖中的

22

)

A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③

【答案】C

【解析】

y=\tarv(\對應(yīng)的圖象為①，y=taivc對應(yīng)的圖象為②，y=tan(~x)對應(yīng)的圖象為④，尸”兇對應(yīng)

的圖象為③.故選C.

3、函數(shù)y=Ja的單調(diào)遞增區(qū)間為.

.乃冗冗

A.(女乃+?B.左乃十一C伙乃，%)+一)D伙乃，々江+一］

422

【答案】C

（Q

4、函數(shù)y=tan2犬-、的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

7tkn5)攵乃

A、——+——，——+——(左eZ

L122122Jv'

’7tk兀5兀kn\,,

B、一一+'-一?+——\{keZ)

I122122r

C、一■—+k7r,—+kK(k&Z)

1212y'

ni2%./.7、

D^----FZ/T,------FK71[kEZ)

、63)

答案：選B

解析：由E—，V2x—9桁+恭，)，得與一*VxV竽+含攵￡Z),所以函數(shù)於)=tan(2x—的單調(diào)遞增

區(qū)間是作一看竽+曲(AGZ).

5、函數(shù)y=|tanx|在(一生當)上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

答案：(一方o],國兀

解析:

作出y=|tan_r|的示意圖如圖，觀察圖象可知，y=|tanx|在（一去要）上的單調(diào)遞減區(qū)間為（一冬。卜已兀

6、若函數(shù)y=tanox在（一萬,乃）上是遞增函數(shù)，則①的取值范圍是

【答案】（0,；］

【解析】由于數(shù)y=tanox在（一肛幻上是遞增函數(shù)，所以?！?.由一兀<*<兀，則一。無<<on,由

'71

%兀----<一〃;兀co<-k+—

jrTT22

正切函數(shù)的遞增區(qū)間可知：kit——<a）x<kn.+—,所以，，<i,由于G>0,

22.71

K7i+—>CO71CDk—

22

故?。?0，所以0V69W—.

2

717171

0<—<—<—,

872

8、設(shè)函數(shù)yu）=t陪蘭）

（1）求函數(shù),/U）的定義域和單調(diào)區(qū)間;

（2）求不等式一iguHm的解集?

【答案】⑴定義域是，xxER,且x/^~+2kn,kGZ

單調(diào)遞增區(qū)間是（?《+2s*I萬+2我乃卜ez；（2）解集是卜弓71+2匕r<X<4^TI+2kjr,k€zL

63

X兀冗

【解析】（1）由5—石彳5+E（kGZ）,

/D5兀

得燈石+2E(Z￡Z),

所以函數(shù)40的定義域是

UxER,+2kn,fcez'

兀X靠完

由一■~+kn<----<—+E(keZ),

冗5口

得—"--F2ICK<X<-卜2E(左￡Z).

所以函數(shù)7（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一g+2kn,等+”h）

（攵金Z）.

,冗x冗冗

(2)由一Igtan得一7"+A：7t<-—--<—+kn(keZ).

解得3+2ES+2攵兀(攵eZ).

o3

所以不等式一的解集是

冗4冗

x工+2k冗,kH

D□

兀

9、函數(shù)ktanx-e0,-的值域是

【答案】[0,1]

71

【解析】因為函數(shù)y=tanx在xw0，z單調(diào)遞增,

所以Nmin=tan°=°，jnlax=tan=1,故函數(shù)的值域為[0,1].

【備注】可以采用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解。

1°、函數(shù)〃x)e(x+臺在-我上的最小值為一

【答案】-1

【解析】利用整體法，先求出X+二TT的范圍，可以得到這個正切型函數(shù)在此范圍內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)的最

12

小值為/(.q)=tan[.q+t)=Tl

11、求函數(shù)y=tan2x+tanx+1的值域.

一3)

【答案】:,十8

L4)

【解析】=則y=*+.+l=(f+g+^>-1,

所以y=tan2；r+tanx+l的值域是［，+00).

故答案為：-?+°°j.

考向三正切函數(shù)的周期性，奇偶性與對稱性

x

1、函數(shù))，=12115是()

7T

A.周期為2〃的奇函數(shù)B.周期為一的奇函數(shù)

2

C.周期為7的偶函數(shù)D.周期為2〃的偶函數(shù)

【答案】A

T=—=2TT

【解析】1,即周期為2乃，

2

=-tan1',即函數(shù)為奇函數(shù)

本題正確選項：A

2、己知函數(shù)f(x)=2tan(a玄+工)(a>0)的最小正周期是3.則。=.

6

【答案】-

3

【解析】函數(shù)f(x)=2tan(a衣+工)(〃>0)的最小正周期是3,則3=二，得“=」,

6a7r3

所以函數(shù)/(X)=2tan玄+生).

■JTJT(7T\

3、函數(shù)/(x)=tans(o>0)的相鄰兩支截直線y=一所得線段長一，則/二的值

44<4；

【答案】0

n71

【解析】函數(shù)圖象的相鄰兩支截直線產(chǎn)了所得線段長為“

7T

J函數(shù)/(%)的周期為一，圖象如下:

4

由一=—得co=4,.*./(x)=tan4x,'.f(—)=tann=O.故答案為：0.

co44

4、（多選）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）

_..2020^-、

A、/(x)=sin(---+x)B、f(x)=sin(---+x)

C、＜(x)=tan(20；"+x)八，/、/2020萬.

D、f(x)=tan(——---Fx)

答案：BCD

2019萬7i

解析：A./(x)=sin(------+x)=sin(l009TT+—+x)=cosx,為偶函數(shù)，所以A錯誤;

22

B./(x)=sin(空二+x)=sinx,為奇函數(shù)，所以B正確

2019TT7171

C.f(x)=tan(——---i-x)=tan(1009^+—+x)=tan(5+x),為奇函數(shù)，所以C正確；

G八G八

D.f(x)=tan(一J^+x)=tanx,為奇函數(shù)，所以D正確。

k冗

備注：若丁=41211(①x+p)為奇函數(shù)，則有°=-^(ZEZ).

5、已知/（x）=tan（x+m）-sinx為奇函數(shù),且m滿足不等式相2一加一2＜（）,則相的值為

71

答案：0,y

解析：因為/(X)是奇函數(shù)，所以機=耳#eZ,

TT

又加2—加一2<0,所以一1<加<2,所以〃7的可能取值為0,

JT

6、函數(shù)y=tan(2x--)的對稱中心為________.

4

答案：］,+(,()卜eZ)

解析：?.?2x-9=W(ZeZ);.x=W+J,

4248

y=tan(2x-￡)的對稱中心是I-?+V，°WeZ).

4<48J

備注：正切函數(shù)y=tanx的對稱中心是(亨，0)(&eZ)，最后別忘了上eZ。

TT

7、函數(shù)/(x)=tan(x+z)的圖象的一個對稱中心是()

6

A.(―,0)B.(―,0)C.(于0)D.(石,0)

【答案】A

k冗

【解析】由正切函數(shù)的對稱中心(一,0),(keZ)可以推出/(X)對稱中心的橫坐標滿足

2

%+-=—^x=--+—(A:eZ),帶入四個選項中可知，當女=1時，x=工.

62623

故是圖像的一個對稱中心，選A.

(K\

8、下面哪個點不是函數(shù)y=tan2x+-圖像的對稱點(

\2)

A.(0,0)B-r°

【答案】C

乃、jrk

(2x+,的對稱中心橫坐標滿足：2x+-=-7t,

解得：x=-7r--(keZ},

44

令攵=1可得：x=0,則選項4中的點是函數(shù)的對稱點；

7T

令％=2可得：x=一，則選項8中的點是函數(shù)的對稱點；

4

令人=3可得：x=I，則選項。中的點是函數(shù)的對稱點；

2

k7TTT(71

注意到x=—萬一一=一沒有整數(shù)解，故二,0不是函數(shù)的對稱點.

443<3)

故選：C.

9、已知函數(shù)y=tan(2x+p)的一個對稱中心為信0),則夕可以是()

71_7171_71

A--6B6C--12DT2

答案：A

考向四正切函數(shù)的綜合應(yīng)用

7T

1、已知函數(shù)/(x)=2tan(x+1)+1.

(1)求/(x)的定義域；

(2)求/(x)的周期;

(3)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

jr

【答案】(1){x\x^-+k7r.kEZ}

6

(2)T=/r

(3)］一,乃+Z乃+攵乃j,(ZEZ)

冗\4jr

(%+§J+1可得：x+—^kn+—,k^Z

即x^—+k7TykeZ,.*./(x)的定義域為{x|xw2+女%,女GZ}；

66

⑵周期T=f=萬，.?./(X)的周期為乃；

5

(3)由+kn<x+—<一?bZ萬可得：——兀+k7V<X<一?卜k兀，keZ.

23266

單調(diào)增區(qū)間為卜|%+版"5+引，(keZ).

2、己知函數(shù)/(x)=tan[<yx+?J(@>0)的最小正周期為

(1)求。的值及函數(shù)〃x)的定義域;

(2)若/3,求sinacosa的值.

7171

【解析】(l)?.?7=-=一，，0=2,

(D2

又因為y=tanx的定義域為《可刀/^+左肛Aez1,所以2x+(?

4

.sinacosatana33

sin6Zcosa=——--------------=——；-------=------=—

sirra+cos.atarra+19+110

sinx

3、已知函數(shù)/(x)

|cosx|,

(1)求函數(shù)/(無)的定義域；

(2)用定義判斷函數(shù)〃力的奇偶性；

(3)在［-凡句上作出函數(shù)“X)的圖象.

【答案】(1)<xx^k7r+^,kezy,(2)奇函數(shù)，見解析；(3)見解析

71

【解析】(1)由cosx。0,得xw攵乃+―(keZ),

2

所以函數(shù)/(X)的定義域是〈XX。版■+^MGZ..

(2)由(1)知函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱,

sin(-x)

因為〃f)=二二手=一"力'所以/(可是奇函數(shù)?

ICOS(-X)|

7171

tanx,---<x<—

(3)/(x)=,22

TC_ixTC

-tanx,-7i<x<——或一〈冗?乃

22

所以/（x）在［-肛句上的圖象如圖所示,

4、下列函數(shù)中，同時滿足以下三個條件的是（）

①在（0卷

上為增函數(shù)；②最小正周期為2萬；③是奇函數(shù).

xX

A.y=tanxB.y=cosxC.y=-tan-D.y=tan-

【答案】D

【解析】對于A選項中的函數(shù)y=tanx,該函數(shù)在（0,5］上為增函數(shù)，最小正周期為萬，且為奇函數(shù)，

A選項中的函數(shù)不符合條件；

對于B選項中的函數(shù)y=cosx,該函數(shù)（0,上為減函數(shù)，最小正周期為2%,且為偶函數(shù)，B選項中

的函數(shù)不符合條件；

對于C選項中的函數(shù)y=—tan^，當0<x<］時，0<5</，則該函數(shù)在（0，上為減函數(shù)，最小正

工=2萬

周期為J,且為奇函數(shù)，C選項中的函數(shù)不符合條件；

2

對于D選項中的函數(shù)y=tan^,該函數(shù)在上為增函數(shù)，最小正周期為2?，且為奇函數(shù)，D選項

中的函數(shù)符合條件.

故選：D.

5、已知函數(shù)〃x)=5tan(2x+00＜夕＜5,其函數(shù)圖像的一個對稱中心是3,0,則該函數(shù)的單調(diào)

遞增區(qū)間可以是()

A.

【答案】D

(7T\ITk.7l

【解析】；77,0為函數(shù)的對稱中心：.2x—+(p=—,k&Z

1.12