基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提升的空間角教學(xué)課件

基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

提升的空間角教學(xué)一、課程標(biāo)準(zhǔn)分析杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中明確提岀數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。一、課程標(biāo)準(zhǔn)分析杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：

獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，

形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。一、課程標(biāo)準(zhǔn)分析杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)御繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一般表現(xiàn)杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組概念析取:從情境中獲得概念、規(guī)則、命題、運(yùn)算、關(guān)系語言表達(dá):用數(shù)學(xué)語言對(duì)概念、規(guī)則、推理、論證進(jìn)行表達(dá)方法普適:利用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題并對(duì)其進(jìn)行解釋二、空間角教學(xué)要素分析杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組

空間角呈現(xiàn)出空間中幾何元素（線線、線面、面面相對(duì)傾斜程度）位置關(guān)系?？臻g角的相關(guān)概念形成過程有著一致的思路：先定義角的存在性:即可以找到一個(gè)角來刻畫直線與直線、直線與平面或平面與平面之間的位置關(guān)系;再是定義角的唯一性:即所定義的角是確定的,對(duì)于相同的傾斜程度,度量的角度是固定的。異面直線角直線與平面所成角二面角空間角存在性唯一性得出概念：異面直線所成角直線與平面所成角二面角的平面角精確刻畫位置關(guān)系1、數(shù)學(xué)分析2、教材安排分析杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組

教材是實(shí)施教學(xué)計(jì)劃和實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源。原教材的空間三角內(nèi)容被安排在必修二第二章“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”一章.2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系——“異面直線所角”2.3.1直線與平面垂直的判定——“直線與平面所成角”2.3.2平面與平面垂直的判定——“二面角”新教材空間三類角內(nèi)容被安排在第二冊(cè)第八章第六節(jié),8.6.1直線與直線垂直——“異面直線所角”8.6.2直線與平面垂直——“直線與平面所成角”8.6.3平面與平面垂直——“二面角”研究的整體性認(rèn)知的連續(xù)性3、異面直線所成角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組在熟悉及關(guān)聯(lián)的情境中提出問題——如何刻畫空間中一條直線相對(duì)于另一直線傾斜的程度？空間角教學(xué)過程中的“大問題”.3、異面直線所成角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組空間等角定理保證了所度量的異面直線成角的唯一性！從一般到特殊，定義兩條異面直線的互相垂直.3、異面直線所成角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組指明了空間角度量的基本思想方法轉(zhuǎn)化降維空間問題平面問題體現(xiàn)了在空間中觀察兩條異面直線的相對(duì)傾斜程度，由兩條異面直線唯一確定，與O點(diǎn)位置無關(guān).4、直線與平面所成角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組直接給出定義的同時(shí)提出問題，重在引導(dǎo)理性思考，理解線面角定義的合理性存在且唯一線面角是斜線與該平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角轉(zhuǎn)化降維空間問題平面問題杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組難點(diǎn)：抽象出研究對(duì)象4、直線與平面所成角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組難點(diǎn)：抽象出研究對(duì)象抽象幾何模型引導(dǎo)定性觀察構(gòu)造垂直關(guān)系尋求函數(shù)表達(dá)發(fā)現(xiàn)斜邊相等得到比較關(guān)系4、直線與平面所成角確定函數(shù)表達(dá)難點(diǎn)：尋找比較的策略杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組(1)如何理解直線AB可以表示平面內(nèi)的任意一條直線？(2)如何定量刻畫直線AB與射影AO的相對(duì)位置關(guān)系？4、直線與平面所成角3、教材分析杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組(1)如何理解直線AB可以表示平面內(nèi)的任意一條直線？平面α內(nèi)任意直線與斜線的位置關(guān)系？相交與點(diǎn)A兩直線異面對(duì)于平面α內(nèi)任意一直線m，總能找到過A的直線AB//直線m.4、直線與平面所成角異面直線所成的角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組(2)如何定量刻畫直線AB與射影AO的相對(duì)位置關(guān)系？直線AB與射影AO所成角為β，0°≤β≤90°模型中的三個(gè)角有怎樣的定量關(guān)系？再次選擇函數(shù)表達(dá)三余弦關(guān)系定性定量4、直線與平面所成角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組存在且唯一猜想與證明直覺與理性直觀感知操作確認(rèn)度量計(jì)算推理論證獲得基本研究套路積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)4、直線與平面所成角5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組難點(diǎn)：如何度量二面角的大小。5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組根據(jù)異面直線所成角的研究經(jīng)驗(yàn)“平面化”思想用“平面角”定量刻畫兩個(gè)半平面間的相對(duì)傾斜程度.已在線面角研究中獲得成功度量一個(gè)量：存在且唯一根據(jù)直線與平面所成角的研究經(jīng)驗(yàn)基本研究套路：感知與猜想操作與確認(rèn)推理與證明直覺理性猜想證明定性定量5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組教師教學(xué)用書，數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)線面角線線角二面角平面化5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組線面角線線角二面角平面化在半平面β內(nèi)任取直線AB構(gòu)造直線AB與平面α所成的角θ5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組由線面角的研究經(jīng)驗(yàn)：平面β內(nèi)繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線可以代替平面內(nèi)的任意直線.動(dòng)態(tài)演示使學(xué)生直觀感知隨B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，也可以讓學(xué)生操作用折紙減去一角的方法直觀呈現(xiàn)，感知直線AB與平面α所成角的唯一性，從而直觀猜想B點(diǎn)的位置.5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組抽象幾何模型直觀定性觀察構(gòu)造垂直關(guān)系尋求函數(shù)表達(dá)距離AC不變得到比較關(guān)系由于體現(xiàn)了的唯一性，同時(shí)得到二面角的平面角是一個(gè)半平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)半平面所成的線面角中的最大角.確認(rèn)位置5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組結(jié)合線面角的最小角證明經(jīng)驗(yàn)：定性比較定量刻畫選擇合適的函數(shù)由二面角棱的確定性得到三正弦關(guān)系：其中是半平面內(nèi)的任意一直線與另一半平面所成的角，是此直線與棱所成的角，是銳二面角的平面角.5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組二面角半平面α半平面β棱定量刻畫平面角（存在）直觀感知垂直與棱的直線與另一個(gè)半平面所成角推理證明最大角（唯一）

學(xué)生能在知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程中，經(jīng)歷將“空間角”轉(zhuǎn)化為“平面角”的過程，經(jīng)歷“角的存在性”“角的唯一性”的發(fā)現(xiàn)過程與“角的唯一性”的證明過程，從而提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).共同確認(rèn)二面角的平面角的作法，并體會(huì)與點(diǎn)O的位置無關(guān)線面角轉(zhuǎn)化逐級(jí)5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組遷移轉(zhuǎn)化類比同化5、二面角的平面角杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組6、關(guān)注重點(diǎn)模型杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組鱉臑（biēnào）：在我國(guó)三角錐體的古稱.現(xiàn)代白話文：四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐.長(zhǎng)方體陽馬鱉臑6、關(guān)注重點(diǎn)模型杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組7、關(guān)注課后習(xí)題杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組為空間向量在立體幾何中的應(yīng)用鋪墊.