第06講 特殊平行四邊形（壓軸題型歸納）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級北師大版）

第06講特殊平行四邊形（壓軸題型歸納）目錄：一、存在性問題；二、動態(tài)幾何；三、情景探究題；四、解答證明題；五、特殊平行四邊形綜合一、存在性問題一、解答題1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線：分別與軸，軸交于點和點，過點的直線與軸交于點，．(1)求直線的解析式；(2)若為線段上一點，為線段上一點，當(dāng)時，求的最小值，并求出此時點的坐標(biāo)；(3)在（2）的結(jié)論下，將沿射線方向平移得，使落在直線上，若為直線上一點，為平面內(nèi)一點，當(dāng)以點為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得（點A與點C對應(yīng)，點B與點D對應(yīng)）．(1)求直線的解析式；(2)點E為線段上一點，過點E作軸交直線于點F，作軸交直線于點G，當(dāng)時，求點E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點M為線段的中點，點N為直線上一點，點P為坐標(biāo)系內(nèi)一點，且以O(shè)，M，N，P為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．3．如圖，直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊在y軸上，的長分別是一元二次方程的兩個根，A，且，P為上一點，且．(1)求點A的坐標(biāo)；(2)求過點P的反比例函數(shù)解析式；(3)點M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點，現(xiàn)將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點，，的對應(yīng)點分別為點，，．(1)如圖1，當(dāng)點恰好落在邊上時，則的長為______(請直接寫出答案)；(2)如圖2，所在直線與、分別交于點、，且．求線段的長度．(3)如圖3，設(shè)點為邊的中點，連接，，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：交AB于點E，與y軸交于點D，．(1)求點B的坐標(biāo)．(2)點P為線段CE上的一個動點，過點P作軸，交AB于點F，交x軸于點G，連接FD，設(shè)點p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，連接BP并延長與x軸交于點M，過點P作，與x軸交于點，當(dāng)時，在直線CD上是否存在一點R，過點作軸交直線于點Q，得，若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點P和點關(guān)于y軸對稱，點和點關(guān)于直線l對稱，則稱點是點P關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點”．(1)已知點，直線l是經(jīng)過且平行于x軸的一條直線，則點A的“二次對稱點”的坐標(biāo)為__________；(2)如圖1，正方形ABCD的頂點坐標(biāo)分別是，，，，點E的坐標(biāo)為，點K是x軸上的一個動點，直線l經(jīng)過點K且垂直于x軸，若正方形ABCD上存在點M，使得點是點M關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點”，且點在射線OE上，則點K的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________________；(3)如圖2，是x軸上的動點，線段RS經(jīng)過點T，且點R、點S的坐標(biāo)分別是，，直線l經(jīng)過且與x軸正半軸夾角為60°，在點T的運動過程中，若線段RS上存在點N，使得點是點N關(guān)于y軸，直線l的“二次對稱點”，且點在y軸上，則點縱坐標(biāo)y的取值范圍是______________．二、動態(tài)幾何一、解答題1．已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關(guān)系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關(guān)系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．2．如圖1所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構(gòu)成一個大的長方形．現(xiàn)將小長方形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)點恰好落在邊上時，點到邊的距離為____________，旋轉(zhuǎn)角____________；(2)如圖2，G為的中點，且，求證：；(3)小長方形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說明理由．3．如圖，四邊形為菱形，，，點E為邊上動點（不含端點）點B關(guān)于直線的對稱點為點F，點H為中點．（1）若，求的長；（2）作，垂足為G，當(dāng)時，求的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，設(shè)射線交于M，求的長．4．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．①當(dāng)點P與點A重合時，∠DEF=°，當(dāng)點E與點A重合時，∠DEF=°．②當(dāng)點E在AB上時，點F在DC上時(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長．（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖3)，當(dāng)AM=DE時，請求出線段AE的長度．（3）若點P落在矩形的內(nèi)部(如圖4)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．5．如圖．四邊形ABCD、BEFG均為正方形．（1）如圖1，連接AG、CE，請直接寫出AG和CE的數(shù)量和位置關(guān)系（不必證明）．（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角（），如圖2，直線AG、CE相交于點M．①AG和CE是否仍然滿足（1）中的結(jié)論？如果是，請說明理由：如果不是，請舉出反例：②連結(jié)MB，求證：MB平分．（3）在（2）的條件下，過點A作交MB的延長線于點N，請直接寫出線段CM與BN的數(shù)量關(guān)系．6．在正方形中，，點為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交，，于點，，．(1)①如圖1，判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若垂足為的中點，連接，交于點，連接，則______．(3)若垂足在對角線上，正方形的邊長為．①如圖3，若，，則______；②如圖4，連接，將沿著翻折，點落在點處，的中點為，則的最小值為______．三、情景探究題一、解答題1．問題情境：如圖1，已知正方形ABCD與正方形CEFG，B、C、G在一條直線上，M是AF的中點，連接DM，EM．探究DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．小明的思路是：小明發(fā)現(xiàn)AD//EF，所以通過延長ME交AD于點H，構(gòu)造△EFM和△HAM全等，進(jìn)而可得△DEH是等腰直角三角形，從而使問題得到解決，請你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）猜想圖1中DM、EM的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（2）如圖2，把圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)180°，此時點E在線段DC的延長線上，點G落在線段BC上，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）我們可以猜想，把圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，（1）中的結(jié)論（“成立”或“不成立”）拓展應(yīng)用：將圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請畫出圖形，并直接寫出MF的長．2．操作與證明：如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷線段MD與MN的關(guān)系，得出結(jié)論；結(jié)論：DM、MN的關(guān)系是：；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．3．如圖1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號)(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點、，過中點的直線分別交邊、于點、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．4．定義：有一組對角是直角的四邊形叫做“準(zhǔn)矩形”；有兩組鄰邊（不重復(fù)）相等的四邊形叫做“準(zhǔn)菱形”．如圖①，在四邊形中，若，則四邊形是“準(zhǔn)矩形”；如圖②，在四邊形中，若，，則四邊形是“準(zhǔn)菱形”．(1)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請分別在圖③、圖④中畫出“準(zhǔn)矩形”和“準(zhǔn)菱形”．（要求：D、在格點上）；(2)下列說法正確的有；（填寫所有正確結(jié)論的序號）①一組對邊平行的“準(zhǔn)矩形”是矩形；②一組對邊相等的“準(zhǔn)矩形”是矩形；③一組對邊相等的“準(zhǔn)菱形”是菱形；④一組對邊平行的“準(zhǔn)菱形”是菱形．(3)如圖⑤，在中，，以為一邊向外作“準(zhǔn)菱形”，且，，、交于點D；①若，求證：“準(zhǔn)菱形”是菱形；②在①的條件下，連接，若，，，請直接寫出菱形的邊長．5．【問題情境】(1)同學(xué)們我們曾經(jīng)研究過這樣的問題：已知正方形，點在的延長線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【繼續(xù)探究】(2)若正方形的邊長為，點是邊上的一個動點，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，如圖所示，①請判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②連接，若，求線段長．愛動腦筋的小麗同學(xué)是這樣做的：過點作，如圖，你能按照她的思路做下去嗎？請寫出你的求解過程．【拓展提升】(3)在（2）的條件下，點在邊上運動時，利用圖，則的最小值為______．6．【問題情境】（1）小明在學(xué)習(xí)過程中遇到這樣的一道試題：如圖，正方形的邊長為2，為邊上一動點．，垂足為，求證：．請你幫助小明完成證明；【問題探究】（2）小明在“問題情境”的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究．如圖2，點在的延長線上，且滿足．連接，，．①求證：；②判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；五、特殊平行四邊形綜合一、解答題1．如圖，點O為矩形的對稱中心，．點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為，點F的運動速度為，點G的運動速度為．當(dāng)點F到達(dá)點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動，在運動過程中，關(guān)于直線的對稱圖形是設(shè)點E，F(xiàn)，G運動的時間為t（單位：s）(1)當(dāng)__________s時，四邊形為正方形；(2)當(dāng)x為何值時，以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形可能全等？(3)是否存在實數(shù)t，使得點與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．2．問題提出：(1)如圖①，在中，平分交邊于點D，點E為邊上的一個動點，連接，則線段長的最小值為．問題探究：(2)如圖②，在中，，點D為邊的中點，且的兩邊分別交于點E、F．求四邊形的面積．問題解決：(3)某觀光景區(qū)準(zhǔn)備在景區(qū)內(nèi)設(shè)計修建一個大型兒童游樂園．如圖③，四邊形為兒童游樂園的大致示意圖，并將兒童游樂園分成和四邊形四部分，其中在和兩區(qū)域修建益智區(qū)，在區(qū)域修建角色游戲區(qū)，在四邊形區(qū)域修建木工區(qū)．根據(jù)設(shè)計要求：四邊形是平行四邊形，，點E、點F、點M分別在邊、邊和對角線上，且，四邊形的面積為平方米，現(xiàn)需在四邊形的四周修建護(hù)欄起到保護(hù)樂園的作用，為了節(jié)約修建成本，四邊形的周長是否存在最小值？若存在，請求出四邊形周長的最小值；若不存在，請說明理由．3．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖2）試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，BG2+DE2是定值，請求出這個定值．【問題探究】（3）在（2）的基礎(chǔ)上，如圖3，若為的中點，直接寫出的最小值為_________．四、解答證明題一、解答題1．如圖，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段與、分別相交于點、．(1)求證：；(2)判斷與的關(guān)系，并說明理由；(3)若，，求的長．2．已知，菱形中，，、分別是邊和上的點，且．(1)求證：．(2)如圖2，在延長線上，且，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，，點是的中點，求的長．3．如圖，在矩形中，平分交于E，連接，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點F是邊上的一點，若，連結(jié)交于G，①猜想的度數(shù)，并說明理由；②若，求的值．4．已知點是正方形對角線上一點，與交于點，，垂足為，直線與交于點．(1)如圖1，當(dāng)在線段上時，求證；(2)如圖2