專題1.2 常用邏輯用語(yǔ)【六大題型】-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練（新高考專用）含解析

專題1.2常用邏輯用語(yǔ)【六大題型】-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練（新高考專用）專題1.2常用邏輯用語(yǔ)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1充分條件與必要條件的判斷】 3【題型2根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)】 3【題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】 4【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】 4【題型5根據(jù)命題的真假求參數(shù)】 5【題型6常用邏輯用語(yǔ)與集合綜合】 51、常用邏輯用語(yǔ)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)必要條件、充分條件、充要條件

(2)全稱量詞與存在量詞

(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定2021年全國(guó)甲卷：第7題，5分2022年天津卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第7題，5分常用邏輯用語(yǔ)是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，從近幾年高考情況來(lái)看，常用邏輯用語(yǔ)沒(méi)有單獨(dú)命題考查，偶爾以已知條件的形式出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中，難度偏易.重點(diǎn)關(guān)注以下兩點(diǎn)：①集合與充分、必要條件相結(jié)合的問(wèn)題的求解；②命題的否定和以全稱量詞命題與存在量詞命題為條件，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)1常用邏輯用語(yǔ)】1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號(hào)表示由p通過(guò)推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．3．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”4.存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”5．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．【方法技巧與總結(jié)】1．從集合與集合之間的關(guān)系上看充分、必要條件設(shè).(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；(3)若，則與互為充要條件.2．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【題型1充分條件與必要條件的判斷】【例1】（2024·天津·二模）已知a,b∈R，則“a=b=0”是“a+b=0”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）命題“x+y≤6”是“x≤2，或y≤4”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023·上海普陀·二模）設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，則“a>b>0”的一個(gè)充分非必要條件是（

）A．a(chǎn)?1>b?1 C．1b>1【變式1-3】（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B，C，D是四個(gè)命題，若A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，則D是C的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【題型2根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)】【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知p:x?a>0,q:x>1，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．{a∣a<1} B．a(chǎn)∣a≤1 C．{a∣a>1} D．a(chǎn)∣a≥1【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=xx2?4=0，B=xax?2=0，若x∈A是A．?1,0,1 B．?1,1 C．1 D．?1【變式2-2】（23-24高一上·貴州黔西·期末）關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是（A．a(chǎn)>2或a<?2 B．a(chǎn)≥2或a≤?2C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)>2【變式2-3】（22-23高一下·浙江·期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥?1 D．a(chǎn)≤?3【題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【例3】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）下列命題中正確的是（）A．?x∈R，x≤0B．至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)C．?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x+5是無(wú)理數(shù)D．存在x∈R，使得【變式3-1】（2010·湖南·高考真題）下列命題中的假命題是（

）A．?x∈R，2x?1>0 B．?x∈C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，【變式3-2】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（

）A．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù) B．?x∈R，xC．有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+3=0【變式3-3】（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）給出下列命題①?x∈R,x2+1>0；②?x∈其中真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）命題?x∈?1,1,x+xA．?x∈B．?x∈C．?x∈D．?x∈【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）命題“?a>1，函數(shù)fx=xa在A．?a>1，函數(shù)fx=xB．?a>1，函數(shù)fx=xC．?a≤1，函數(shù)fx=xD．?a≤1，函數(shù)fx=x【變式4-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知命題p：?x>0，ex+2x≤4，則?p為（A．?x≤0，ex+2x>4 B．?x>0C．?x>0，ex+2x≤4 D．?x>0【變式4-3】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x∈0,π2，eA．“?x∈0,π2，ex+2sinx≥2xC．“?x∈0,π2，ex+2sinx≤2x【題型5根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【例5】（2023·黑龍江哈爾濱·二模）命題“?x∈[1,2]，x2?a≤0”是真命題的充要條件是（A．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)≥1【變式5-1】（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知命題p：“?x∈R，x2?ax+3<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A．?∞,?23C．?∞,?23【變式5-2】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x∈[1,2]，x2?a≤0”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（A．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)≥1【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈0,1,x2?2x?2+a>0；命題q:?x∈R,A．?1,3 B．?1,2 C．0,2 D．?【題型6常用邏輯用語(yǔ)與集合綜合】【例6】（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合A=x?3<2x+1<7，B=xx<?4或(1)求A∩?(2)若“p:x∈?RA∪B”是“q:x∈C【變式6-1】（22-23高一上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知集合A=x∣2≤x≤7，B=x∣?3m+4≤x≤2m?1，且(1)若p:?x∈A,x∈B是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若q:?x∈B,x∈A是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式6-2】（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合A=xm?2≤x≤2m+1(1)若A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)命題p：“?x∈A，使得x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【變式6-3】（23-24高一上·云南德宏·期末）設(shè)集合A={x|m?3<x<m+3,m∈R}，集合B={x|x<2(1)當(dāng)m=2時(shí)，求A∩B，A∪B；(2)設(shè)命題p:x∈A，命題q:x∈B，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．一、單選題1．（2023·天津和平·二模）若x,y∈R，則“x>y”的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A．x>y C．xy>1 2．（2024·貴州遵義·一模）已知命題p:?x>1，lnx>13?1A．?x>1，lnx≤13?1C．?x≤1，lnx≤13?13．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知x>0,y>0，則“x+y≥1”是“x2+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·山東·二模）已知a∈R，若集合M=1,a,N=0,1,2，則“a=0”是“M?NA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）命題p：?x>1，x+2x?3>0，命題q：?x∈R，2x2A．p真q真 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q假6．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）命題“??2≤x≤3,x2?2a≤0A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥92 C．a(chǎn)≥5 7．（2023·四川綿陽(yáng)·一模）若命題“?x∈R，m≥sinx+cosx”是真命題，則實(shí)數(shù)A．m≥2 B．m≥2 C．m≤?2 8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a→=4,m，b→=m?2,2，則“m=4”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題9．（23-24高一下·云南紅河·開學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）.A．命題“?x∈R，x+1≥0”的否定是“?x∈R，B．命題“?x∈R，xC．“a>b”是“a2D．“x>4”是“x>210．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>411．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知兩個(gè)命題：（1）若x>0，則2x+1>5；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．命題（2）是全稱量詞命題B．命題（1）的否定為：存在x>0,2x+1≤5C．命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等D．命題（1）和（2）被否定后，都是真命題三、填空題12．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）命題p:?x0∈R,13．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若“x>2”是“x2?a>2”的充分不必要條件，則a的取值范圍是14．（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）若命題“?x∈R，使得x2+2x?m=0成立”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是四、解答題15．（23-24高一上·山西長(zhǎng)治·期末）已知命題p:?x∈R,x(1)寫出命題p的否定；(2)判斷命題p的真假，并說(shuō)明理由．16．（2023·重慶酉陽(yáng)·一模）命題p：任意x∈R，x2?2mx?3m>0成立；命題q：存在x∈R，x2(1)若命題q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p和q有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合A=x14(1)若m=3，求A∩B；(2)若存在正實(shí)數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命題p：?x∈R，ax(1)求實(shí)數(shù)a的取值集合A；(2)設(shè)非空集合B=x6m?4<2x?4<2m，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)19．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)X，Y為任意集合，映射f:X→Y．定義：對(duì)任意x1,x2∈X，若x(1)試在R→(2)證明：f是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合Z與映射g,?:Z→X，若對(duì)任意z∈Z，有f(g(z))=f(?(z))，則g=?；(3)證明：f是單射的充分必要條件是：存在映射φ:Y→X，使對(duì)任意x∈X，有φ(f(x))=x．專題1.2常用邏輯用語(yǔ)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1充分條件與必要條件的判斷】 3【題型2根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)】 4【題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】 6【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】 7【題型5根據(jù)命題的真假求參數(shù)】 8【題型6常用邏輯用語(yǔ)與集合綜合】 91、常用邏輯用語(yǔ)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)必要條件、充分條件、充要條件

(2)全稱量詞與存在量詞

(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定2021年全國(guó)甲卷：第7題，5分2022年天津卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第7題，5分常用邏輯用語(yǔ)是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，從近幾年高考情況來(lái)看，常用邏輯用語(yǔ)沒(méi)有單獨(dú)命題考查，偶爾以已知條件的形式出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中，難度偏易.重點(diǎn)關(guān)注以下兩點(diǎn)：①集合與充分、必要條件相結(jié)合的問(wèn)題的求解；②命題的否定和以全稱量詞命題與存在量詞命題為條件，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)1常用邏輯用語(yǔ)】1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號(hào)表示由p通過(guò)推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．3．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”4.存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”5．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．【方法技巧與總結(jié)】1．從集合與集合之間的關(guān)系上看充分、必要條件設(shè).(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；(3)若，則與互為充要條件.2．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【題型1充分條件與必要條件的判斷】【例1】（2024·天津·二模）已知a,b∈R，則“a=b=0”是“a+b=0”的（

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)題意可直接判斷充分性，舉例說(shuō)明必要性不成立即可.【解答過(guò)程】若a=b=0，則a+b=0若a+b=0，例如a=1,b=?1，滿足條件，但a=b=0綜上所述：“a=b=0”是“a+b=0故選：A.【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）命題“x+y≤6”是“x≤2，或y≤4”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】通過(guò)命題相互是否推出判斷充分不必要條件.【解答過(guò)程】命題“x+y≤6”是“x≤2，或y≤4”的充分不必要條件.即：“x+y≤6?x≤2，或y≤4”，且“x≤2，或y≤4?x+y≤6”.①“x+y≤6?x≤2，或y≤4”.證明：用反證法.假設(shè)“x≤2，或y≤4”不成立，則x>2，且y>4.所以有x+y>6，這與已知x+y≤6矛盾.故假設(shè)錯(cuò)誤，即x≤2，或y≤4成立.②“x≤2，或y≤4?x+y≤6”.因?yàn)楫?dāng)x=2,y=100時(shí)，滿足條件x≤2，或y≤4，此時(shí)x+y=102，不滿足x+y≤6.故“x≤2，或y≤4”?“x+y≤6”.故選：A.【變式1-2】（2023·上海普陀·二模）設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，則“a>b>0”的一個(gè)充分非必要條件是（

）A．a(chǎn)?1>b?1 C．1b>1【解題思路】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項(xiàng)與a>b>0推出關(guān)系即可.【解答過(guò)程】由a?1>b?1，則a?1>b?1b?1≥0，可得a>b≥1由a2>b2，則由1b>1a，則a>b>0或b>0>a或由a?b>b?a，則a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不滿足；故選：A.【變式1-3】（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B，C，D是四個(gè)命題，若A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，則D是C的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用充分條件必要條件之間的關(guān)系進(jìn)行推理判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳是B的必要不充分條件，所以B?A，A推不出B，因?yàn)锳是C的充分不必要條件，所以A?C，C推不出A，因?yàn)镈是B的充要條件，所以D?B，B?D，所以由D?B，B?A，A?C可得D?C，由C推不出A，A推不出B，B?D可得C推不出D.故D是C的充分不必要條件.故選：B.【題型2根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)】【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知p:x?a>0,q:x>1，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．{a∣a<1} B．a(chǎn)∣a≤1 C．{a∣a>1} D．a(chǎn)∣a≥1【解題思路】先化簡(jiǎn)條件，利用充分不必要條件列出不等關(guān)系，求解即可.【解答過(guò)程】p:x>a，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以a>1.故選：C.【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=xx2?4=0，B=xax?2=0，若x∈A是A．?1,0,1 B．?1,1 C．1 D．?1【解題思路】由題意，對(duì)集合B分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的a的值即可．【解答過(guò)程】由題，A=?2,2，BA當(dāng)B=?時(shí)，有a=0，符合題意；當(dāng)B≠?時(shí)，有a≠0，此時(shí)B=2a，所以2a=2或綜上，實(shí)數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為?1,0,1.故選：A.【變式2-2】（23-24高一上·貴州黔西·期末）關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是（A．a(chǎn)>2或a<?2 B．a(chǎn)≥2或a≤?2C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)>2【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合一元二次方程的的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【解答過(guò)程】由方程關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足解得a>2或a<?2，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是a>2或a<?2.故選：A.【變式2-3】（22-23高一下·浙江·期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥?1 D．a(chǎn)≤?3【解題思路】解不等式得到p:x<?3或x>1，根據(jù)題意得到q是p的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關(guān)系，求出答案.【解答過(guò)程】由條件p:x+1>2，解得x<?3或因?yàn)?p是?q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，故A=xx>a是B=x則a的取值范圍是a≥1，故選：B．【題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【例3】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）下列命題中正確的是（）A．?x∈R，x≤0B．至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)C．?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x+5是無(wú)理數(shù)D．存在x∈R，使得【解題思路】利用存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)判斷即得.【解答過(guò)程】對(duì)于A，?x∈R，x≤0，如x=0，A正確；對(duì)于B，至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，例如數(shù)1滿足條件，B正確；對(duì)于C，?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x+5是無(wú)理數(shù)，如x=2對(duì)于D，x2?2x+1=(x?1)2≥0故選：ABC.【變式3-1】（2010·湖南·高考真題）下列命題中的假命題是（

）A．?x∈R，2x?1>0 B．?x∈C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，【解題思路】根據(jù)題意，對(duì)于B選項(xiàng)，舉反例即可得解.【解答過(guò)程】可知：A、C、D選項(xiàng)都是真命題；當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）2=0，顯然選項(xiàng)B中的命題為假命題，故選B．【變式3-2】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（

）A．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù) B．?x∈R，xC．有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+3=0【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的定義即可知選項(xiàng)CD不合題意，再判斷出命題真假即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】對(duì)于A，“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是全稱量詞命題，但是假命題，例如2是素?cái)?shù)，但2是偶數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知“?x∈R，x+1≥1且由x≥0可得x對(duì)于C，“有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2對(duì)于D，“有些平行四邊形是菱形”是存在量詞命題，不合題意；故選：B.【變式3-3】（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）給出下列命題①?x∈R,x2+1>0；②?x∈其中真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】根據(jù)全稱命題與存在性命題的真假判定方法，逐個(gè)判定，即可求解.【解答過(guò)程】①中，由不等式x2+1>0恒成立，所以命題②中，當(dāng)x=0時(shí)，此時(shí)0<1，所以命題?x∈N③中，當(dāng)x=?1時(shí)，此時(shí)x3<1成立，所以命題④中，由x2=2，可得x=±2故選：C.【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）命題?x∈?1,1,x+xA．?x∈B．?x∈C．?x∈D．?x∈【解題思路】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)槊}?x∈?1,1則其否定為?x∈?1,1故選:B.【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）命題“?a>1，函數(shù)fx=xa在A．?a>1，函數(shù)fx=xB．?a>1，函數(shù)fx=xC．?a≤1，函數(shù)fx=xD．?a≤1，函數(shù)fx=x【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“?a>1，函數(shù)fx=xa在a,+∞上單調(diào)遞增”的否定為“?a>1故選：B．【變式4-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知命題p：?x>0，ex+2x≤4，則?p為（A．?x≤0，ex+2x>4 B．?x>0C．?x>0，ex+2x≤4 D．?x>0【解題思路】首先分析題意，利用命題的否定知識(shí)解答即可.【解答過(guò)程】易知全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，而命題p：?x>0，ex所以?p為“?x>0，ex故選:B.【變式4-3】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x∈0,π2，eA．“?x∈0,π2，ex+2sinx≥2xC．“?x∈0,π2，ex+2sinx≤2x【解題思路】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.【解答過(guò)程】依題意全稱量詞命題“?x∈0,π2存在量詞命題“?x∈0,π2故選：C.【題型5根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【例5】（2023·黑龍江哈爾濱·二模）命題“?x∈[1,2]，x2?a≤0”是真命題的充要條件是（A．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)≥1【解題思路】直接利用恒成立問(wèn)題的建立不等式，進(jìn)一步求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答過(guò)程】命題“?x∈[1,2]，x2?a≤0”為真命題，則a≥x∵x∈[1,2]，∴x2∈1,4故選：B．【變式5-1】（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知命題p：“?x∈R，x2?ax+3<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A．?∞,?23C．?∞,?23【解題思路】根據(jù)命題p是假命題列不等式，由此求得a的取值范圍.【解答過(guò)程】由于命題p：“?x∈R，x2所以Δ=解得?23故選：D.【變式5-2】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x∈[1,2]，x2?a≤0”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（A．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)≥1【解題思路】根據(jù)“充分不必要條件”的定義推導(dǎo).【解答過(guò)程】“充分不必要條件”的定義是由結(jié)論可以推導(dǎo)出條件，但由條件不能推導(dǎo)出結(jié)論，其中“?x∈[1,2]，x2?a≤0”為真命題是結(jié)論，可以推出a≥x其中a≥1是條件，由a≥1不能推出“?x∈[1,2]，x2對(duì)于A，B選項(xiàng)，可以推出“?x∈[1,2]，x2對(duì)于C選項(xiàng)，是既不充分也不必有的條件；故選：D.【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈0,1,x2?2x?2+a>0；命題q:?x∈R,A．?1,3 B．?1,2 C．0,2 D．?【解題思路】求出p,q為真命題時(shí)a的范圍，進(jìn)一步可得答案．【解答過(guò)程】由?x∈0,1,x?x2+2x+2=?則當(dāng)x=0時(shí)，?x2+2x+2命題q:?x∈R,x2?2x?a≠0若命題p,q均為假命題，則a≤2且a≥?1，即?1≤a≤2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為?1,2．故選：B.【題型6常用邏輯用語(yǔ)與集合綜合】【例6】（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合A=x?3<2x+1<7，B=xx<?4或(1)求A∩?(2)若“p:x∈?RA∪B”是“q:x∈C【解題思路】（1）先求出集合A，再求出?RB，最后由交集的運(yùn)算求出（2）先求出A∪B，再求出?RA∪B，再由充分不必要條件構(gòu)造關(guān)于【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳=x?3<2x+1<7=所以A∩?（2）A∪B=xx<?4或x>?2，所以因?yàn)椤皃:x∈?RA∪B則?RA∪B?C所以3a?2<?4a+1>?2【變式6-1】（22-23高一上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知集合A=x∣2≤x≤7，B=x∣?3m+4≤x≤2m?1，且(1)若p:?x∈A,x∈B是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若q:?x∈B,x∈A是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）依題意可得A?B，即可得到不等式組，解得即可；（2）由B≠?求出m的取值范圍，依題意可得A∩B≠?，求出A∩B=?時(shí)參數(shù)的取范圍，即可得解.【解答過(guò)程】（1）由于p:?x∈A,x∈B是真命題，所以A?B．而B≠?，所以2m?1≥7?3m+4≤2?3m+4≤2m?1，解得m≥4，故m的取值范圍為（2）因?yàn)锽≠?，所以?3m+4≤2m?1，解得m≥1．由q為真命題，得A∩B≠?，當(dāng)A∩B=?時(shí)，?3m+4>7或2m?1<2，解得m<3因?yàn)閙≥1，所以當(dāng)A∩B=?時(shí)，1≤m<3所以當(dāng)A∩B≠?時(shí)，m≥32．故m的取值范圍為【變式6-2】（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合A=xm?2≤x≤2m+1(1)若A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)命題p：“?x∈A，使得x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由A?B，根據(jù)A=?，A≠?分類求參數(shù)即可；（2）命題p是真命題即A∩B≠?，先求A∩B=?時(shí)，m的取值范圍?3≤m<?2或m>7，進(jìn)而可得A∩B≠?時(shí)m的取值范圍.【解答過(guò)程】（1）若A=?，滿足A?B，此時(shí)m?2>2m+1，即m<?3，當(dāng)A≠?時(shí)，要使A?B，則m?2≤2m+12m+1≤5m?2≥?3，即m≥?3m≤2綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞（2）命題p：“?x∈A，使得x∈B”是真命題，等價(jià)于A∩B≠?，若A∩B=?時(shí)，當(dāng)A=?，滿足A∩B=?，此時(shí)m?2>2m+1，即m<?3，當(dāng)A≠?時(shí)，m≥?3，若A∩B=?，則滿足m≥?32m+1<?3或m≥?3即?3≤m<?2或m>7，綜上若A∩B=?，得m>7或m<?2，則當(dāng)A∩B≠?時(shí)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是?2,7.【變式6-3】（23-24高一上·云南德宏·期末）設(shè)集合A={x|m?3<x<m+3,m∈R}，集合B={x|x<2(1)當(dāng)m=2時(shí)，求A∩B，A∪B；(2)設(shè)命題p:x∈A，命題q:x∈B，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)交集、并集的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)充分不必要條件列不等式，由此求得m的取值范圍.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)m=2時(shí)，A={x|?1<x<5}；所以A∩B={x|?1<x<2}，A∪B={x|x<5或x>6}．（2）若p是q的充分不必要條件，則A是B的真子集；∴m+3≤2或m?3≥6，解得：m≤?1或m≥9，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（?一、單選題1．（2023·天津和平·二模）若x,y∈R，則“x>y”的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A．x>y C．xy>1 【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】由x>y，x2由xy>1可得x?yy>0，解得x>y>0或x<y<0，所以2x?y故選：D．2．（2024·貴州遵義·一模）已知命題p:?x>1，lnx>13?1A．?x>1，lnx≤13?1C．?x≤1，lnx≤13?1【解題思路】全稱命題的否定為特稱命題，否定形式為：將?改為?，再將結(jié)論否定.【解答過(guò)程】由命題p:?x>1，lnx>?p為?x>1，lnx≤故選：D.3．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知x>0,y>0，則“x+y≥1”是“x2+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義分析判斷即得.【解答過(guò)程】x>0,y>0，取x=y=23，此時(shí)x+y=4反之，若x2+y所以“x+y≥1”是“x2故選：B.4．（2024·山東·二模）已知a∈R，若集合M=1,a,N=0,1,2，則“a=0”是“M?NA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由M?N，可得a=0或a=2，再由充分不必要條件的定義即可得答案.【解答過(guò)程】因?yàn)镸?N，則a=0或a=2，所以a=0?M?N，由M?N推不出a=0.故選:A．5．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）命題p：?x>1，x+2x?3>0，命題q：?x∈R，2x2A．p真q真 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q假【解題思路】對(duì)于命題p：根據(jù)特稱命題結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對(duì)于命題q：根據(jù)存在命題結(jié)合二次函數(shù)的Δ判別式分析判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于命題p：令t=x>1，則y=t+2t且y|x=1=0所以?x>1，x+2x?3>0，即命題p對(duì)于命題q：因?yàn)棣?所以方程2x2?4x+3=0故選：D.6．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）命題“??2≤x≤3,x2?2a≤0A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥92 C．a(chǎn)≥5 【解題思路】根據(jù)恒成立問(wèn)題分析可得命題“??2≤x≤3,x2?2a≤0【解答過(guò)程】若命題“??2≤x≤3,x2?2a≤0可知當(dāng)x=3時(shí)，x2?2a取到最大值9?2a≤0，解得所以命題“??2≤x≤3,x2?2a≤0因?yàn)閍|a≥92a|a≥1，故“a≥1”是“因?yàn)閍|a≥92=a|a≥92因?yàn)閍|a≥5a|a≥92，故“a≥5”是“因?yàn)閍|a≥92與a|a≤4不存在包含關(guān)系，故“a≤4”是“故選：A.7．（2023·四川綿陽(yáng)·一模）若命題“?x∈R，m≥sinx+cosx”是真命題，則實(shí)數(shù)A．m≥2 B．m≥2 C．m≤?2 【解題思路】根據(jù)命題是真命題，轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最大值，即可求解.【解答過(guò)程】sinx+cosx=根據(jù)命題是真命題可知，m≥sinx+cos故選：A.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a→=4,m，b→=m?2,2，則“m=4”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由m=4，可得a與b共線，充分性成立；由a∥b，可得m=?2或【解答過(guò)程】由m=4，得a=4,4，b=2,2，所以所以“m=4”是“是a與b共線”的充分條件；由a∥b，可得mm?2=8，解得“m=4”是“a與b共線”成立的不必要條件，故“m=4”是“a與b共線”的充分不必要條件．故選：A．二、多選題9．（23-24高一下·云南紅河·開學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）.A．命題“?x∈R，x+1≥0”的否定是“?x∈R，B．命題“?x∈R，xC．“a>b”是“a2D．“x>4”是“x>2【解題思路】利用量詞命題的否定與真假性判斷AB，利用充分與必要條件的定義判斷CD，從而得解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，根據(jù)存在量詞命題的否定形式可知A正確；對(duì)于B，在x2?x+1=0中，對(duì)于C，取a=?1,b=?2，滿足a>b，但a2對(duì)于D，因?yàn)閤x>4是xx>2的真子集，所以“x>4”是“故選：ABD.10．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>4【解題思路】由A∩B=A成立的充要條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)m的范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.【解答過(guò)程】A∩B=A當(dāng)且僅當(dāng)A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)m+1≥3，即m≥2，對(duì)比選項(xiàng)可知使得m≥2成立的充分不必要條件有m>3，m>4.故選：CD.11．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知兩個(gè)命題：（1）若x>0，則2x+1>5；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．命題（2）是全稱量詞命題B．命題（1）的否定為：存在x>0,2x+1≤5C．命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等D．命題（1）和（2）被否定后，都是真命題【解題思路】對(duì)于A，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對(duì)于BC，由命題否定的定義即可判斷；由命題及其否定的真假性的關(guān)系即可得解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．等價(jià)于“對(duì)于任意一個(gè)等腰梯形而言，它的對(duì)角線都相等”，故A正確；對(duì)于B，命題（1）的否定為：存在x>0,2x+1≤5，故B正確；對(duì)于C，命題（2）的否定是：存在四邊形是等腰梯形，這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于命題（2）：“若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．”是真命題，所以它的否定是假命題，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題12．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）命題p:?x0∈R,x0【解題思路】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可寫出答案.【解答過(guò)程】因?yàn)槊}p:?x所以命題p的否定為:?x∈R故答案為:?x∈R13．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若“x>2”是“x2?a>2”的充分不必要條件，則a的取值范圍是?【解題思路】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>2時(shí)，x2【解答過(guò)程】由x>2是x2?a>2的充分不必要條件，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>2時(shí)，即當(dāng)x>2時(shí)，a<x又由函數(shù)fx=x2?2在2,+經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a≤2時(shí)，x2?a>2不等價(jià)于x>2，所以a的取值范圍是故答案為：?∞14．（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）若命題“?x∈R，使得x2+2x?m=0成立”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?1,+【解題思路】根據(jù)題意得到Δ=4+4m≥0【解