【人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)】隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）-課件

隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）

高二年級(jí)數(shù)學(xué)若P(X=xk)=pk，，則此表稱(chēng)為X的概率分布或分布列．復(fù)習(xí)引入離散型隨機(jī)變量X的分布列：Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn情境與問(wèn)題：一家投資公司在決定是否對(duì)某創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目進(jìn)行資助時(shí)，經(jīng)過(guò)評(píng)估后發(fā)現(xiàn)：如果項(xiàng)目成功，將獲利5000萬(wàn)元；如果項(xiàng)目失敗，將損失3000萬(wàn)元.設(shè)這個(gè)項(xiàng)目成功的概率為p，而你是投資公司的負(fù)責(zé)人，如果僅從平均收益方面考慮，則p滿足什么條件時(shí)，你才會(huì)對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行資助？為什么?分析：成功的概率p，指的是如果重復(fù)這個(gè)創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目足夠多次（設(shè)為n次），那么成功的次數(shù)可以用np來(lái)估計(jì)，而失敗的次數(shù)可以估計(jì)為n(1-p).因此，在這n次試驗(yàn)中，投資方收益（單位：萬(wàn)元）的n個(gè)數(shù)據(jù)估計(jì)為5000，5000，…，5000，-3000，-3000，…，-3000，np個(gè)n(1-p)個(gè)這一組數(shù)的平均數(shù)為因?yàn)樯鲜銎骄鶖?shù)體現(xiàn)的是平均收益，所以不難想到，當(dāng)

，即

時(shí)，應(yīng)該對(duì)創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目進(jìn)行資助.另一方面，如果設(shè)投資公司的收益為X萬(wàn)元，則X這個(gè)隨機(jī)變量的分布列如下表所示.從上面的分析看出，式子刻畫(huà)了X取值的平均水平.X5000-3000Pp1-p則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)為期望）．

如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn求離散型隨機(jī)變量的期望的步驟：求隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望求隨機(jī)變量的所有可能取值；利用期望的定義．分別求出相應(yīng)的概率值；寫(xiě)出分布列．

例題已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求E(X).解:隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為：所以E(X)=p.X01P1-pp（1）二項(xiàng)分布的均值如果隨機(jī)變量X~B(n,p)，則（2）超幾何分布的均值若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X~H(N

，n，M)，

則例題一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分．學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)．分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值．分析學(xué)生甲每一道題是否選擇正確是互相獨(dú)立的，并且每道題選對(duì)的概率相同，因此這是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．學(xué)生乙也是如此．設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙選對(duì)的題數(shù)分別為X1，X2，則X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，根據(jù)二項(xiàng)分布的均值公式，容易求得X1和X2的均值．分析但是題目中問(wèn)的是成績(jī)的均值，相當(dāng)于是問(wèn)E(5X1)和E(5X2)，它們和E(X1)，E(X2)有什么關(guān)系呢？隨機(jī)變量均值的性質(zhì)已知隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．那么，X與Y的均值之間有什么聯(lián)系呢？由X與Y之間分布列的關(guān)系可知例題20個(gè)選擇題，4選1，每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分．甲選對(duì)一題的概率為0.9，乙選對(duì)一題的概率為0.25．分別求甲和乙成績(jī)的均值．解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙選對(duì)的題數(shù)分別為X1，X2，則X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，所以由于每題選對(duì)得5分，所以學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X1和5X2．這樣，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值分別是例題

體檢時(shí)，為了確定體檢人員是否患有某種疾病，需要對(duì)其血液進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則患有該疾??；若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病.已知每位體檢人患有該疾病的概率均為0.1，化驗(yàn)結(jié)果不會(huì)出錯(cuò)，而且體檢人是否患有該疾病相互獨(dú)立.現(xiàn)有5位體檢人的血液待檢查，有以下兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)檢查每位體檢人的血液；方案乙：先將5位體檢人的血液混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽(yáng)性，則再逐個(gè)化驗(yàn)；若呈陰性，則說(shuō)明每位體檢人均未患有該疾病，化驗(yàn)結(jié)束.（1）哪種化驗(yàn)方案更好？（2）如果每次化驗(yàn)的費(fèi)用為100元，求方案乙的平均化驗(yàn)費(fèi)用.解：（1）方案甲中，化驗(yàn)的次數(shù)一定是5次.方案乙中，若記化驗(yàn)的次數(shù)為X，則X的取值范圍為{1,6}.因?yàn)?人都不患病的概率為(1-0.1)5=0.59049,所以P(X=1)=0.59049,P(X=6)=1-0.59049=0.40951,從而E(X)=

1×0.59049+6×0.40951=3.04755.也就是說(shuō)，方案乙的平均檢查次數(shù)不到5次，因此方案乙更好.（2）如果每次化驗(yàn)的費(fèi)用為100元，求方案乙的平均化驗(yàn)費(fèi)用.解：（2）若記方案乙中，檢查費(fèi)用為Y元，則Y=100X,從而可知E(Y)=100E(X)=304.755則方案乙的平均化驗(yàn)費(fèi)用為304.755元.課堂小結(jié)離散型隨機(jī)變量的均值的定義兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)應(yīng)用知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)為期望）．

如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn隨機(jī)變量均值的性質(zhì)若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則作業(yè)根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)