【人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊】隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2）-課件

隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2）

高二年級數(shù)學(xué)則稱為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱為期望）．

如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn知識回顧：情境與問題：某省要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動員中選一人參加全運(yùn)會，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，這兩名運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)的分布列分別如下.若從平均水平和發(fā)揮穩(wěn)定性角度來考慮，要你決定誰參加全運(yùn)會，你會怎樣決定?說明理由.甲的環(huán)數(shù)X18910P0.20.60.2乙的環(huán)數(shù)X28910P0.40.20.4因為E(X1)=E(X2)=9，所以僅從平均水平的角度考慮，是無法決定選誰參加的，怎樣來衡量他們的發(fā)揮穩(wěn)定性呢？設(shè)甲重復(fù)射擊足夠多次（設(shè)為n次）則甲所得環(huán)數(shù)可以估計為8，8，…，8，9，9，…，9，10，10，…，10.0.2n個0.2n個0.6n個甲這組數(shù)的方差為類似的，乙這組數(shù)的方差為由于0.4<0.8，因此可以認(rèn)為甲的發(fā)揮更穩(wěn)定，應(yīng)該派甲參加全運(yùn)會.

如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則叫做這個離散型隨機(jī)變量X的方差.稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

離散型隨機(jī)變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于均值的離散程度（或波動大小）.情境與問題中，甲、乙射擊環(huán)數(shù)的分布列用圖直觀地表示，也能看出D(X1)與D(X2)的相對大小.例題已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，求.解：因為隨機(jī)變量X的分布列為

而所以X10Pp1-p二項分布的方差若X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即

，則嘗試與發(fā)現(xiàn)已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn設(shè)a，b都是實數(shù).且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機(jī)變量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，這兩個隨機(jī)變量的方差之間有什么聯(lián)系呢？若X與Y都是離散型隨機(jī)變量，且Y=aX+b，則由X與Y之間分布列和均值之間的關(guān)系可知例題已知一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品數(shù).(1)求D(X)；(2)假設(shè)抽出的產(chǎn)品需要送往專門的檢測部門檢測，檢測費用Y元與次品數(shù)X有關(guān)，且Y=10X+300，求D(Y).解：(1)因為X服從的是參數(shù)為50，0.02的二項分布，即X~B(50，0.02)，所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2)

D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.例題

已知某射擊選手射擊的命中率是0.8，記他三次獨立射擊時的命中次數(shù)為X，求X的分布列、期望和方差.

解：X的可能取值為0，1，2，3.所以X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512方法一：方法二：因為X~B(3,0.8)，所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×0.2=0.48求：(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根據(jù)得到的結(jié)論，對于投資者有什么建議？例題

A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2所以，

解：(1)題目可知，投資項目A和B所獲得的利潤Y1和Y2的分布列為：Y12812Y2510P0.20.50.3P0.80.2，.，解：(2)由(1)可知，說明投資A項目比投資B項目期望收益要高；同時，說明投資A項目比投資B項目的實際收益相對于期望收益的平均波動要更大.因此，對于追求穩(wěn)定的投資者，投資B項目更合適;而對于更看重利潤并且愿意為了高利潤承擔(dān)風(fēng)險的投資者，投資A項目更合適.求隨機(jī)變量的期望與方差的一般步驟（方法一）：找到隨機(jī)變量X的所有可能取值；計算X取每一個值xi的概率,得到X的分布列:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.計算（方法二）1.判斷隨機(jī)變量是否服從二點分布、二項分布、超幾何分布；2.利用公式求期望或方差.課堂小結(jié)超幾何分布：若