第4章拉普拉斯變換

4.1拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換傅里葉變換條件，信號在無限區(qū)間絕對可積

原函數(shù)象函數(shù)傅氏變換建立了信號在時域和頻域間的關(guān)系，而拉氏變換則建立了在時域和復頻域間的關(guān)系。同時我們發(fā)現(xiàn)，在拉氏變換中，當變量s中的實部σ=0時，拉氏變換就變成了傅氏變換，也就是說，傅氏變換是拉氏變換的一個特例。在實際問題中，我們遇到的都是因果信號，信號總有發(fā)生的起始時刻，如果將起始時刻定為時間原點，

則

所以

上式稱為f(t)的單邊拉普拉斯變換。所以有(t<0)(t>0)

此處主要討論單邊拉普拉斯變換。這樣，t<0時f(t)的取值與變換結(jié)果無關(guān)。單邊拉普拉斯變換的定義式的積分下限從0-開始，本書中的拉普拉斯變換的積分下限0均指0-。不過，為了書寫簡便常常寫為0。二、拉氏變換的收斂域在引入拉氏變換時我們說過，當f(t)乘以衰減因子e-σt后，就有可能找到合適的σ值使f(t)e-σt絕對可積，從而f(t)e-σt的傅氏變換存在，繼而得到f(t)的拉氏變換。那么，合適的σ值如何確定呢？或者說，如果把合適的σ取值范圍稱為拉氏變換收斂域的話，那么如何確定該收斂域？下面通過一個例題對拉氏變換的收斂域給予說明。【例】求指數(shù)函數(shù)

(α>0,α∈R)

的象函數(shù)F(s)。

【解】根據(jù)定義

由于s=σ+jω，因此上式中括號內(nèi)第二項可寫為

只要選擇σ>α，隨著時間t的增大，e-(σ-α)t將會衰減。故有

從而使f(t)的象函數(shù)為

若σ<α，e-(σ-α)t將隨著時間t的增大而增大。當t→∞時，結(jié)果將趨于無窮大，從而使積分不收斂，f(t)的象函數(shù)不存在。從上述討論中可以看到，f(t)乘以衰減因子e-σt后是否一定滿足絕對可積條件，還要看f(t)的性質(zhì)和σ的相對關(guān)系而定。把使f(t)e-σt滿足絕對可積條件的σ值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。在收斂域內(nèi)，函數(shù)的拉氏變換存在，在收斂域外，函數(shù)的拉氏變換不存在。一般而言，若極限 在σ>σ0時取值為零，則收斂條件為σ>σ0

。在以σ為橫軸，jω為縱軸的復平面（s平面）上，σ0在復平面稱為收斂坐標，通過σ0的垂直線是收斂區(qū)的邊界，稱為收斂軸。收斂軸將復平面劃分為兩個區(qū)域，σ>σ0的是一個區(qū)域，稱為象函數(shù)F(s)的收斂域，如下圖所示。三、典型信號的拉普拉斯變換1.單位階躍信號u(t)表4―1常用信號及其拉氏變換

4.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性（疊加性、均勻性）若則

例：二、時移性證明：

三、尺度變換（比例）特性

若則證明:四、復頻移性

若

則五、時域微分性

證明:根據(jù)拉氏變換定義得證。

同理可得

依此類推,可得證。

六、復頻域微分特性

七、時域積分

八、復頻域積分九、初值定理

若存在,則f(t)的初值

十、終值定理使用終值定理求f(∞)時，應(yīng)注意只有在f(t)的終值存在的情況下，才能使用終值定理求函數(shù)終值，否則，會導出錯誤的結(jié)論。這一點可從s域做出判斷：F(s)的極點必須分布在s平面的左半平面內(nèi)或在原點上僅有一階極點，終值定理才可應(yīng)用。（也即s=0的點應(yīng)在sF(s)的收斂域內(nèi)，否則不能應(yīng)用終值定理。）十一、卷積定理

若則

表4―2拉氏變換的性質(zhì)

4.3拉普拉斯逆變換

一、部分分式展開法含有高階導數(shù)的線性、常系數(shù)微分方程經(jīng)拉氏變換成為s的多項式，常見的拉氏變換式是復頻域變量s的多項式之比（有理分式）,一般形式是N(s)：F(s)的分子多項式

D(s)：F(s)的分母多項式

an、bm：實數(shù)若N(s)階次比D(s)的階次高，則要利用長除法將F(s)化成如下的多項式與真分式之和的形式：真分式

由此看出，有理多項式部分易于根據(jù)典型信號δ(t)的拉普拉斯變換和拉普拉斯變換性質(zhì)求得。所以，下面著重討論有理真分式（即m<n）

的逆變換。

(1)D(s)=0根都是相異實根F(s)可以展開為部分分式之和。即

例:求的原函數(shù)f(t)。

所以F(s)的真分式可展成部分分式解:首先將F(s)化為真分式

于是F(s)可展開為(2)D(s)=0的根有復根且無重根的反變換可用配方法

例:求的原函數(shù)f(t)。解（1）用部分分式展開法

D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0,

共軛復根s1=-1+j2,s2=-1-j2由于K1與K2是共軛的,所以

(3)D(s)=0的根為重根若D(s)=0只有一個p重根s1,即s1=s2=…=sp,而其余(n-p)個全為單根,則D(s)可寫成F(s)展開的部分分式為

例:求的原函數(shù)f(t)。

解:D(s)=0有一個單根s1=-1和一個三重根s2=-2。

將F(s)展開為二、留數(shù)法（圍線積分法）

拉式反變換：此為一個復變函數(shù)的線積分。其積分路徑是S平面內(nèi)平行于軸的直線AB（亦即直線AB必須在收斂軸以右）

直接求這個積分是困難的，但從復變函數(shù)論知，可將此積分的問題轉(zhuǎn)化為求F(s)的全部極點在一個閉合回線內(nèi)部的全部留數(shù)的代數(shù)和——留數(shù)法。

閉合回線確定的原則：把F(s)的全部極點包圍在此閉合回線的內(nèi)部，因此，從普遍性考慮此線應(yīng)有直線AB與直線AB左側(cè)半徑R=∞的圓CR所組成。

（1）若pi為D(s)=0的單根（即為F(s)的一階極點），則其留數(shù)為

（2）若pi為D(s)=0的m階重根（即為F(s)的m階極點），則其留數(shù)為4.4拉普拉斯變換分析法

拉氏變換是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具,它將描述系統(tǒng)的時域微積分方程變換為s域的代數(shù)方程,便于運算和求解;同時,它將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然地含于象函數(shù)方程中,既可分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng),也可一舉求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。

例:描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)

已知輸入f(t)=u(t),初始狀態(tài)y(0-)=2,y(0-)=1。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解:

對微分方程取拉普拉斯變換,可得

s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)即

(s2+3s+2)Y(s)-［sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］=2(s+3)F(s)一、直接利用拉氏變換求解微分方程

可解得

將和各初始值代入上式,得

對以上二式取逆變換,得零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)分別為系統(tǒng)的全響應(yīng)

或直接對Y(s)取拉氏反變換,亦可求得全響應(yīng)。

直接求全響應(yīng)時,零狀態(tài)響應(yīng)分量和零輸入響應(yīng)分量已經(jīng)疊加在一起,看不出不同原因引起的各個響應(yīng)分量的具體情況。這時拉氏變換作為一種數(shù)學工具,自動引入了初始狀態(tài)。簡化了微分方程的求解。二、電路的s域元件模型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復雜時，列寫微分方程繁瑣模仿正弦穩(wěn)態(tài)分析的相量法：先將電路元件、支路電壓、電流進行變換，再用s域的KCL、KVL1、R、L、C的s域模型

iL(0-)=iL(0+)uc(0-)=uc(0+)（1）、用于回路分析(串聯(lián)模型)圖(1)R的時域和S域串聯(lián)模型

(a)時域模型；(b)S域模型uR(t)=RiR(t)UR(s)=RIR(s)圖(2)電感L的時域和S域串聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型圖(3)電容元件的時域和S域串聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型（2）用于結(jié)點分析（并聯(lián)模型）(b)圖(4)R的時域和S域并聯(lián)模型

(a)時域模型；(b)S域模型iR(t)=uR(t)/RIR(s)=UR(s)/R圖(5)電感L的時域和S域并聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型圖(6)電容元件的時域和S域并聯(lián)模型(a)時域模型；(b)S域模型若初始狀態(tài)為零狀態(tài)：

iL(0-)=iL(0+)＝0uc(0-)=uc(0+)＝0則描述動態(tài)元件起始狀態(tài)的電壓源、電流源不存在（為零）圖(7)電感、電容元件的零狀態(tài)S域模型(a)電感元件；(b)電容元件（a)表4-3

電路元件的s域模型

4.5系統(tǒng)函數(shù)（網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）H(s)一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比,即

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的激勵無關(guān),僅決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)分析與綜合中占有重要的地位。下面討論如何圍繞系統(tǒng)函數(shù)進行系統(tǒng)分析。

＝二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)名稱1、策動點函數(shù)（輸入、輸出在同一端口）策動點阻抗[求u(t)]例：H(s)=Ui(s)/Ii(s)

策動點導納[求

i(t)]例：H(s)=Ii(s)/Ui(s)2、轉(zhuǎn)移函數(shù)（輸入、輸出在不同端口）轉(zhuǎn)移阻抗[求u(t)]

轉(zhuǎn)移導納[求

i(t)]

轉(zhuǎn)移電壓比（電壓傳輸函數(shù)）轉(zhuǎn)移電流比（電流傳輸函數(shù)）

三、H(s)與h(t)的關(guān)系:R(s)=H(s)E(s)r(t)=e(t)*LT-1[H(s)]

而LT-1[H(s)]＝h(t)

即系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)構(gòu)成了一對拉普拉斯變換對,h(t)和H(s)分別從時域和復頻域兩個角度表征了同一系統(tǒng)的特性,且只能用來描述零狀態(tài)特性。Ii(s)Ij(s)Ui(s)系統(tǒng)Uj(s)四、利用網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求解網(wǎng)絡(luò)的零狀態(tài)響應(yīng)下圖表述了求解系統(tǒng)響應(yīng)的過程,如果系統(tǒng)本身存在初始儲能,系統(tǒng)的完全響應(yīng)還應(yīng)考慮零輸入響應(yīng)。

圖(1)

系統(tǒng)的s域分析示意圖

4.6系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布一、零點與極點的概念

式中zj為系統(tǒng)的零點(即當s位于零點時，函數(shù)H(s)的值等于零)，pi為系統(tǒng)的極點(即當s位于極點時，函數(shù)H(s)的值等于無窮大)。以jω虛軸為界，我們將s平面分為左半平面與右半平面。由H(s)的零、極點分布分析h(t)的變化規(guī)律。

(1)pi=σi+jωi為一階極點。若σi>0，極點在s平面的右半平面，hi(t)隨時間增長；σi<0，極點在s平面的左半平面，hi(t)隨時間衰減；σo=0，極點在s平面的原點(ωi=0)或虛軸上，hi(t)對應(yīng)于階躍函數(shù)或等幅振蕩。二、由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布確定系統(tǒng)的時域特性式中,pi=σi+jωi

(2)pi=σi+jωi為高階（二階以上）極點。

σi>0或σi<0時，hi(t)隨時間變化的趨勢同一階情況；σi=0時，對應(yīng)于t的正冪函數(shù)或增幅振蕩。

(3)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點在左半平面(σi<0)，h(t)隨時間衰減趨于零；系統(tǒng)函數(shù)H(s)有極點在虛軸及右半平面(σi≥0)，h(t)不隨時間消失。

從以上分析可知，由系統(tǒng)函數(shù)H(s)極點在s平面上的位置，便可確定h(t)的模式，判斷單位沖激響應(yīng)是隨時間增長或衰減為零的信號，還是一個隨時間等幅振蕩（或階躍）的信號，如下圖所示。

圖(1)零、極點與單位沖激響應(yīng)模式H(s)零點分布的情況只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，而對沖激響應(yīng)模式無影響。三、由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻響特性所謂頻響特性是指系統(tǒng)在正弦信號激勵之下瞬態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化情況。這包括幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)兩個方面?？筛鶕?jù)系統(tǒng)的H(s)在s平面上的零、極點分布大致地描繪出系統(tǒng)的頻響特性|H(ω)|~ω和φ(ω)~ω。下面介紹這種方法的原理。

取s=jω，即在s復平面中令s沿虛軸移動，得到

分母中任一因子相當于由極點引向虛軸上某點的一個矢量；分子中任一因子相當于由零點引至虛軸上某點的一個矢量。

對于任意零點zj和極點pi，相應(yīng)的復數(shù)因子(矢量)如下圖所示都可以表示為零點與極點矢量

其中,Nj、Mi分別是零、極點矢量的模；φj,θi分別是零、極點矢量與正實軸的夾角。于是式中

由此可見,當ω沿虛軸移動時，各復數(shù)因子（矢量）的模和幅角都隨之改變，于是得出幅頻特性曲線|H(ω)|~ω和相頻特性曲線

φ(ω)~ω。這種方法也稱為s平面幾何分析。當系統(tǒng)函數(shù)零、極點數(shù)目不是很多，利用零、極點矢量作定性的分析還是有其方便之處的。

例:用s平面幾何分析法求如下圖所示高通濾波器的幅頻、相頻特性。圖(2)高通濾波器

解

零點z1=0，極點p1=-1/RC

幅頻特性：當ω=0時，N1=0，所以,圖(3)高通濾波網(wǎng)絡(luò)的零點與極點矢量當ω增大時，導致N1,M1增大，且趨于|H(ω)|；當ω→∞時，N1≈M1→∞，→|H(ω)|≈1。相頻特性：

φ(ω)~ω

φ(ω)=ψ1-θ1，其中，ψ1=π/2,所以當ω=0時，θ1=0，當ω增大時，導致θ1增大，且趨于ω趨于∞時，θ1趨于π/2，φ(ω)趨于0。由3分貝截止頻率定義得解出RC高通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性

這種在虛軸上的零、極點情況是特例,而一般意義的零、極點通常表示為zj=αj+jωj，pi=αi+jωi。其中αj,αi為實部，當αj,αi很小時，零、極點靠近虛軸，此時由零、極點定性繪出的系統(tǒng)幅頻特性及相頻特性曲線具有以下特點

(1)幅頻特性在ω=ωi點，Mi=|pi|=|αi+jωi|最小，|H(ω)||ω=ωi出現(xiàn)峰值；在ω=ωj點，Nj=|zj|=|αj+jωj|最小，|H(ω)||ω=ωj出現(xiàn)谷值。

(2)相頻特性在ω=ωi、ω=ωj附近相位變化均加快。

在系統(tǒng)分析與設(shè)計時，幅頻特性及相頻特性曲線是十分有用的。但在實際應(yīng)用中,用逐點矢量作圖法準確地計算幅頻、相頻特性是很不容易的。尤其是零、極點數(shù)量較多的高階系統(tǒng)，無論計算與作圖都相當困難。利用MATLAB程序可以很方便地得到一般系統(tǒng)函數(shù)的頻響特性。4.7全通系統(tǒng)與最小相移系統(tǒng)的零、極點分布

1.全通系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)函數(shù)的極點位于左平面,零點位于右平面,而且零點與極點對于jω軸互為鏡像,那么,這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù),此系統(tǒng)則稱為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)絡(luò)。所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù),對于全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過。三階全通系統(tǒng)零、極點分布示意圖如下圖所示：圖(1)全通系統(tǒng)零、極點分布示意圖

由于φ(ω)不是常數(shù),隨著零、極點的個數(shù)（系統(tǒng)階數(shù)）和零、極點分布不同而不同，實際應(yīng)用中正是利用這種相位特性做相位校正網(wǎng)絡(luò)或時延均衡器。不難看出式中,H0為常數(shù)。2.最小相移系統(tǒng)實際應(yīng)用中，會遇到在幅頻特性相同情況下，希望得到系統(tǒng)的相移（時延）最小，這樣的系統(tǒng)稱為最小相移系統(tǒng)。此處不加證明給出最小相移系統(tǒng)的條件為：全部零、極點在s平面的左半平面(零點可在jω軸上)，不滿足這一條件的為非最小相移系統(tǒng)。下圖是幅頻特性相同，最小相移系統(tǒng)與非最小相移系統(tǒng)的零、極點分布示意圖。圖(2)最小相移系統(tǒng)與非最小相移系統(tǒng)零、極點分布示意圖(3)組成非最小相移函數(shù)的最小相移與全通函數(shù)零、極點分布

非最小相移函數(shù)可以表示為全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的乘積。4.8連續(xù)系統(tǒng)的模擬以及信號流圖一、三種運算器1．加法器x1(t)y(t)x2(t)y(t)=x1(t)+x2(t)拉氏變換Y(s)=X1(s)+X2(s)X1(s)Y(s)X2(s)時域復頻域２．標量乘法器ax(t)y(t)y(t)=ax(t)LTY(s)=aX(s)aX(s)Y(s)時域復頻域3．積分器

x(t)y(t)X(s)Y(s)時域復頻域二、系統(tǒng)模擬的定義與系統(tǒng)的模擬圖用上述三種器件來模擬給定系統(tǒng)的數(shù)學模型——微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，稱為線性系統(tǒng)的模擬，簡稱系統(tǒng)模擬。經(jīng)過模擬而得到的系統(tǒng)稱為模擬系統(tǒng)。由加法器、數(shù)乘器和積分器連接而成的圖稱為系統(tǒng)模擬圖，簡稱模擬圖。三、常用的模擬圖形式直接形式、并聯(lián)形式、級聯(lián)形式和混聯(lián)形式四、系統(tǒng)的框圖一個系統(tǒng)是由許多部件或單元組成的，將這些部件或單元各用能完成相應(yīng)運算功能的方框表示，然后將這些方框按系統(tǒng)的功能要求及信號流動的方向連接起來而構(gòu)成的圖，即稱為系統(tǒng)的框圖表示，簡稱系統(tǒng)的框圖。時域框圖Ｓ域框圖五、系統(tǒng)的信號流圖與梅森公式１．信號流圖由節(jié)點與有向支路構(gòu)成的能表征系統(tǒng)功能與信號流動方向的圖，稱為系統(tǒng)的信號流圖，簡稱信號流圖或流圖?？驁D表示流圖表示結(jié)點和支路每個結(jié)點對應(yīng)于一個變量或信號，連接兩結(jié)點間的有向線段稱為支路。每條支路的支路增益就是該兩結(jié)點間的系統(tǒng)函數(shù)。源點與阱點僅有出支路的結(jié)點稱為源點，僅有入支路的結(jié)點稱為匯點或阱點。通路從任一結(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向連續(xù)經(jīng)過各相連的不同的支路和結(jié)點到達另一結(jié)點的路徑稱為通路。如果通路與任一結(jié)點相遇不多于一次，則稱為開通路。如果通路的終點就是通路的起點（與其余結(jié)點相遇不多于一次），則稱為閉通路或回路（或環(huán)）。相互沒有公共結(jié)點的回路稱為不接觸回路。只有一個結(jié)點和一條支路的回路，稱為自回路（或自環(huán)）。前向通路從源點到匯點的開通路稱為前向通路。前向通路中各支路增益的乘積稱為前向通路增益。例：（略）注：在運用信號流圖時，應(yīng)遵循它的基本性質(zhì)，即(1)信號只能沿支路箭頭方向傳輸，支路的輸出是該支路輸入與支路增益的乘積；(2)當結(jié)點有多個輸入時，該結(jié)點將所有輸入支路的信號相加，并將和信號傳輸給所有與該結(jié)點相連的輸出支路。

2.梅森公式

梅森公式是利用信流圖對系統(tǒng)進行分析的一個重要工具，通過它我們可以很方便地從流圖中得到系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。同時，它也為系統(tǒng)的模擬提供了一個參考模型。

4.9線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的性質(zhì)之一，與激勵信號無關(guān)。穩(wěn)定系統(tǒng)也是一般系統(tǒng)設(shè)計的目標之一。穩(wěn)定性的概念有幾種不同的提法，但是沒有實質(zhì)性的差別。這里給出普遍采用的穩(wěn)定系統(tǒng)定義：有界輸入產(chǎn)生有界輸出（簡稱BIBO）的系統(tǒng)。如果對有界激勵，系統(tǒng)的響應(yīng)無界，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可積。

式中,M為一有界的實數(shù)。滿足上式的h(t)，一定是隨時間衰減的函數(shù)，即。LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)集中表征了系統(tǒng)特性，穩(wěn)定性也必在其中。因此既可由的不同情況，也可由H(s)的極點分布，對系統(tǒng)穩(wěn)定性分類。

一、系統(tǒng)穩(wěn)定性分類

1.穩(wěn)定系統(tǒng)若H(s)的全部極點在s的左半平面（不包括虛軸），則單位沖激響應(yīng)可以滿足系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.不穩(wěn)定系統(tǒng)若H(s)有極點落在右半平面，或者在虛軸、原點處有二階以上的重極點，則單位沖激響應(yīng)為系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.邊（臨）界穩(wěn)定若H(s)在原點或虛軸上有一階極點，雖然單位沖激響應(yīng)，但h(t)在足夠長時間以后，趨于一個非零的數(shù)值或形成一個等幅振蕩。這處在穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種情況之間，所以稱邊（臨）界穩(wěn)定。通常將其歸為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

二、穩(wěn)定系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)分母多項式系數(shù)的關(guān)系

系統(tǒng)函數(shù)

穩(wěn)定系統(tǒng)的極點應(yīng)位于s平面的左半平面，因此D(s)根的實部應(yīng)為負值。它對應(yīng)以下兩種情況：

(1)實數(shù)根，其因式為

(s+a)a>0

(2)共軛復根，其因式為

(s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2=s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c

上式表明復數(shù)根只能共軛成對出現(xiàn)，否則不能保證b、c為實數(shù)。又因為復數(shù)根的實部應(yīng)為負值(α>0)，所以b、c必為正值。綜上所述，將D(s)分解后，只有(s+a)、(s2+bs+c)兩種情況，且a、b、c均為正值。這兩類因式相乘后，得到的多項式系數(shù)必然為正值，并且系數(shù)為零值的可能性也受到了限制。由此我們可得到穩(wěn)定系統(tǒng)與分母多項式D(s)的系數(shù)關(guān)系：

(1)D(s)的系數(shù)ai全部為正實數(shù);

(2)D(s)多項式從最高次方項排列至最低次項無缺項。以上是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充分條件。如果給定H(s)表示式，由此可對系統(tǒng)穩(wěn)定性作出初步判斷。若當系統(tǒng)為一階、二階系統(tǒng)時，系數(shù)ai>0就是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件(i=0,1)。例：已知系統(tǒng)的H(s)如下，試判斷是否為穩(wěn)定系統(tǒng)？

解：(1)分母有負系數(shù)所以為不穩(wěn)定系統(tǒng)；

(2)D(s)中缺項，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)；

(3)D(s)滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，是否穩(wěn)定還需進一步分解檢驗。對D(s)進行分解

D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4)可見D(s)有一對正實部的共軛復根，所以系統(tǒng)(3)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

例：如下圖所示反饋系統(tǒng)，討論當k從零增長時系統(tǒng)穩(wěn)定性變化。

解：Y(s)=V(s)G(s)

將V(s)=F(s)-kY(s)代入上式，得

Y(s)=［F(s)-kY(s)］G(s)=F(s)G(s)-kY(s)G(s)整理上式，得

Y(s)［1+kG(s)］=F(s)G(s)

由此得到其中

代入具體值討論：

k=0時，反饋支路開路，系統(tǒng)無負反饋，極點為p1=1，p2=-2，系統(tǒng)不穩(wěn)定；k=2時，系統(tǒng)加了反饋，極點為p1=0，p2=-1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；k=9/4時，系統(tǒng)進一步加大了反饋，極點為p1=p2=-1/2，系統(tǒng)穩(wěn)定；k>9/4，p1、p2為具有負實部的共軛復根，系統(tǒng)穩(wěn)定。k不同極點的變化軌跡如下圖所示。以上分析可知k>2系統(tǒng)穩(wěn)定，k<2系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢酝频靡话憬Y(jié)論：系統(tǒng)加負反饋可以增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件ai>0，亦可得到k>2系統(tǒng)穩(wěn)定的相同結(jié)論。

極點的變化軌跡

三、羅斯穩(wěn)定性準則由上面的討論已知，當H(s)滿足穩(wěn)定系統(tǒng)必要條件時，為判斷H(s)極點具體位置，需要求分母多項式D(s)的根。這項工作往往很繁，尤其求高階系統(tǒng)的特征根不容易。實際上為了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，不需要解出方程全部根的準確值，只要知道系統(tǒng)是否有正實部或零實部的特征根就可以了。1877年羅斯提出一種不計算代數(shù)方程根的具體值，只判別具有正實部根數(shù)目的方法，就可以用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

羅斯準則（判據(jù)）:若

D(s)=ansn+an-1

sn-1+…+a1s+a0

則D(s)方程式的根全部位于s左半平面的充分必要條件是D(s)多項式的全部系數(shù)ai大于零、無缺項、羅斯陣列中第一列數(shù)字符號相同?！傲_斯陣列”排寫如下

其中，羅斯陣列前兩行由D(s)多項式的系數(shù)構(gòu)成。第一行由最高次項系數(shù)an及逐次遞減二階的系數(shù)得到。其余排在第二行。第三行以后的系數(shù)按以下規(guī)律計算：

依次類推，直至最后一行只剩下一項不為零，共得n+1行。即n階系統(tǒng)，羅斯陣列就有n+1行。如果第一列an、a

n-1、b

n-1、c

n-1、d

n-1、

en-1、…各元素數(shù)字有符號不相同，則符號改變的次數(shù)就是方程具有正實部根的數(shù)目。

例；用羅斯準則判斷下列方程是否具有正實部的根。

D(s)=2s4+s3+12s2+8s+2

解全部系數(shù)大于零，無缺項；n=4，排出n+1=5行。羅斯陣列為：第一列數(shù)字兩次改變符號（從1→-4；-4→8.5），所以有兩個正實部的根，為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

4.10雙邊拉氏變換

1.定義先討論e-σt作用。當σ一定時，若t>0時e-σt為收斂因子，則t<0時e-σt為發(fā)散因子，有但是，如果有函數(shù)在σ（σ1<σ<σ2）給定的范