蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第3章 3.2 3.3.2第1課時　一元二次不等式及其解法2024新高一暑假自學(xué)課堂含答案

蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第3章3.23.3.2第1課時一元二次不等式及其解法2024新高一暑假自學(xué)課堂3.3.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式第1課時一元二次不等式及其解法1．掌握一元二次不等式的解法．(重點(diǎn))2．能根據(jù)“三個二次”之間的關(guān)系解決簡單問題．(難點(diǎn))通過一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2022年，冬季奧運(yùn)會在中國舉行，跳臺滑雪是其中最具有觀賞性的項目之一，一位跳臺滑雪運(yùn)動員在90m級跳臺滑雪時，想使自己的飛行距離超過68m．他若以自身體重從起滑臺起滑，經(jīng)助滑道于臺端飛起時的初速度最快為110km/h．那么他能實現(xiàn)自己的目標(biāo)嗎？知識點(diǎn)1一元二次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？[提示]此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．知識點(diǎn)2三個“二次”的關(guān)系設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有兩個相異的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1，x2)??2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集為R，則實數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？[提示]結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－4a<0，))解得a>eq\f(1,4)，所以a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))使不等式ax2＋x＋1>0的解集為R．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式． ()(2)若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解． ()(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． ()(4)x2－eq\r(x)>0為一元二次不等式． ()[提示](1)×當(dāng)m＝0時，是一元一次不等式；當(dāng)m≠0時，它是一元二次不等式．(2)×因為a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集為R．(3)√因為x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故該說法正確．(4)×因為一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有eq\r(x)，故該說法錯誤．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×類型1一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6；(4)－2x2＋3x－2<0．[解](1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0，方程x2－5x－6＝0的解為x1＝－1，x2＝6．根據(jù)y＝x2－5x－6的圖象．可得原不等式的解集為{x|x>6或x<－1}．(2)方程4x2－4x＋1＝0有兩個相同的解x1＝x2＝eq\f(1,2)．根據(jù)y＝4x2－4x＋1的圖象可得原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)))))．(3)不等式兩邊同乘以－1，得x2－7x＋6<0．方程x2－7x＋6＝0的解為x1＝6，x2＝1．根據(jù)y＝x2－7x＋6的圖象，可得原不等式的解集為{x|1<x<6}．(4)不等式兩邊同乘以－1，得2x2－3x＋2>0，因為Δ<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實數(shù)解．根據(jù)y＝2x2－3x＋2的圖象，可得原不等式的解集為R．解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步,1化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正.2判別式.對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式.3求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.4畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.5寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．解下列不等式．(1)x2－4x＋4>0；(2)－x2＋2x－3<0；(3)2x2＋7x＋3>0．[解](1)方程x2－4x＋4＝0有兩個相同的解x1＝x2＝2，根據(jù)y＝x2－4x＋4的圖象，可得原不等式的解集為{x|x≠2}．(2)不等式兩邊同乘以－1，得x2－2x＋3>0，方程x2－2x＋3＝0中Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0無解．根據(jù)y＝x2－2x＋3的圖象，可得原不等式的解集為R．(3)方程2x2＋7x＋3＝0的解x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2)，根據(jù)y＝2x2＋7x＋3的圖象，可得原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)或x<－3))))．類型2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．[思路點(diǎn)撥]①對于二次項的系數(shù)a是否分a＝0，a<0，a>0三類進(jìn)行討論？②當(dāng)a≠0時，是否還要比較兩根的大??？[解]當(dāng)a＝0時，原不等式可化為x>1．當(dāng)a≠0時，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0．當(dāng)a<0時，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，∵eq\f(1,a)<1，∴x<eq\f(1,a)或x>1．當(dāng)a>0時，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0．若eq\f(1,a)<1，即a>1，則eq\f(1,a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，則x∈?；若eq\f(1,a)>1，即0<a<1，則1<x<eq\f(1,a)．綜上所述，當(dāng)a<0時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))或x>1))；當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時，原不等式的解集為?；當(dāng)a>1時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))．解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．解關(guān)于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a>0)．[解]不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0可化為(ax－1)·(x－2)<0．由于a>0，故不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)<0．(1)若0<a<eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)>2，此時不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a)))))．(2)若a＝eq\f(1,2)，則不等式為(x－2)2<0，此時不等式的解集為?．(3)若a>eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)<2，此時不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))．綜上可知，當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a)))))；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，不等式的解集為?；當(dāng)a>eq\f(1,2)時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))．類型3三個“二次”的關(guān)系【例3】已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6．由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2)))．法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2)))．[母題探究]1．(變結(jié)論)本例中的條件不變，求關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根與系數(shù)的關(guān)系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0．∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0．解得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))))．2．(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}”變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)＜0，則c＞0．又－eq\f(1,3)，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3)．又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0．又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2)))))．法二：由已知得a＜0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b,a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)知c＞0，設(shè)方程cx2＋bx＋a＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,c)，x1·x2＝eq\f(a,c)，其中eq\f(a,c)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(b,c)＝eq\f(－\f(b,a),\f(c,a))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(5,2)，∴x1＝－3，x2＝eq\f(1,2)．∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2)))))．已知以a，b，c為參數(shù)的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：1根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；2根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；3約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－3<x<4}．求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．[解]因為不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－3<x<4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a)))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.))所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化為－ax2＋2ax＋15a<0，由－a>0得x2－2x－15<0．令x2－2x－15＝0得x1＝－3，x2＝5．由函數(shù)y＝x2－2x－15的圖象知原不等式的解為{x|－3<x<5}．1．不等式x2≤1的解集為()A．{x|x≥1或x≤－1} B．?C．{x|－1≤x≤1} D．RC[方程x2－1＝0的解為x1＝－1，x2＝1．根據(jù)y＝x2－1的圖象知不等式的解集為{x|－1≤x≤1}．]2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3或x<－\f(1,2)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))D．RC[3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－eq\f(1,2)．]3．若0<t<1，則不等式(x－t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)或x<t))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)或x>t)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))D[0<t<1時，t<eq\f(1,t)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))．]4．不等式(x－1)2<x＋5的解集為________．{x|－1<x<4}[不等式(x－1)2<x＋5可化為x2－3x－4<0即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以不等式的解集為{x|－1<x<4}．]5．已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>－\f(1,2)))))，則ax2－bx＋c>0的解集為________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))[由題意知－2，－eq\f(1,2)是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根且a<0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－\f(b,a)，,－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝\f(c,a)，))解得a＝c，b＝eq\f(5,2)a．所以不等式ax2－bx＋c>0，即為2x2－5x＋2<0，解得eq\f(1,2)<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．你是怎樣解一元二次不等式的？[提示](1)圖象法．步驟：①化標(biāo)準(zhǔn)形式②解方程③結(jié)合圖象求解．(2)代數(shù)法．借助因式分解或配方法求解．當(dāng)m<n時，(x－m)(x－n)>0可得{x|x>n或x<m}．若(x－m)(x－n)<0可得{x|m<x<n}．口訣：大于取兩邊，小于取中間．2．解含參不等式要注意哪些問題？具體步驟是什么？[提示]正確分類不重不漏．步驟：(1)討論二次項系數(shù)a>0，a<0，a＝0；(2)討論對應(yīng)方程的根；(3)討論根的大?。n時分層作業(yè)(十三)一元二次不等式及其解法一、選擇題1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))C．? D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)))))D[(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,3)．]2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，則A∩B等于()A．{1,2,3} B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}B[∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－eq\f(1,2)<x<3，又x∈N*且x≤5，則x＝1,2．故A∩B＝{1,2}．]3．設(shè)a<－1，則關(guān)于x的不等式a(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞a)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜a))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜x＜\f(1,a))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a)))))D[因為a<－1，所以a(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0?(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0．又a<－1，所以eq\f(1,a)>a，所以x>eq\f(1,a)或x<a．]4．不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，則b＋c－1的值為()A．2B．－1C．0D．1C[由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根與系數(shù)的關(guān)系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,－1)＝－2＋1,\f(c,－1)＝－2×1))，解得b＝－1，c＝2；所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0．]5．(多選題)在R上定義運(yùn)算“⊙”，a⊙b＝ab＋2a＋b，滿足x⊙(x－2)<0的實數(shù)x的取值可能是()A．－1B．0C．1D．2AB[根據(jù)定義得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．又x⊙(x－2)<0，則(x＋2)(x－1)<0，故－2<x<1．]二、填空題6．不等式－x2－3x＋4>0的解集為________．{x|－4＜x＜1}[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1．]7．關(guān)于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＜0，當(dāng)a＝0時的解集是________，當(dāng)a＜0時的解集是________．(1，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))∪(1，＋∞)[由條件知(ax－2)·(x－1)＜0，當(dāng)a＝0時，不等式為－2(x－1)＜0，解得x＞1；當(dāng)a＜0時，由ax2－(2＋a)x＋2＜0，得x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋eq\f(2,a)＞0，即(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))＞0，解得x＞1或x＜eq\f(2,a)，所以不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))∪(1，＋∞)．]8．如果關(guān)于x的不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，則m的取值范圍是________．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,16)，＋∞))[m＝0時，不等式化為21<0，此時不等式的解集為空集，所以m≠0；m≠0時，要使不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，則①當(dāng)m>0時，有Δ＝64m2－84m>0，解得m>eq\f(21,16)；②當(dāng)m<0時，mx2＋8mx＋21<0恒成立；綜上知，m的取值范圍是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,16)，＋∞))．]三、解答題9．求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6>0；(2)－eq\f(1,2)x2＋3x－5>0．[解](1)方程x2－5x＋6＝0有兩個不等實數(shù)根x1＝2，x2＝3，又因為函數(shù)y＝x2－5x＋6的圖象是開口向上的拋物線，且拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，分別為(2,0)和(3,0)，其圖象如圖(1)．根據(jù)圖象可得不等式的解集為{x|x>3或x<2}．(2)原不等式可化為x2－6x＋10<0，對于方程x2－6x＋10＝0，因為Δ＝(－6)2－40<0，所以方程無解，又因為函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象是開口向上的拋物線，且與x軸沒有交點(diǎn)，其圖象如圖(2)．根據(jù)圖象可得不等式的解集為?．10．解關(guān)于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a∈R)．[解]當(dāng)a＝0時，原不等式化為x－2<0，解集為{x|x<2}．當(dāng)a<0時，原不等式化為(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))<0，這時兩根的大小順序為2>eq\f(2,a)，則原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))))．當(dāng)a>0時，原不等式化為(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))>0．①當(dāng)0<a<1時，兩根的大小順序為2<eq\f(2,a)，則原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)或x<2))))．②當(dāng)a＝1時，2＝eq\f(2,a)，則原不等式的解集為{x|x≠2且x∈R}．③當(dāng)a>1時，兩根的大小順序為2>eq\f(2,a)，則原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<\f(2,a)))))．綜上所述，對于原不等式，當(dāng)a＝0時，解集為{x|x<2}；當(dāng)a<0時，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))))；當(dāng)0<a<1時，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)或x<2))))；當(dāng)a＝1時，解集為{x|x∈R且x≠2}；當(dāng)a>1時，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<\f(2,a)))))．11．(多選題)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，則能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合為()A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0}C．{x|x＞3} D．{x|－2＜x＜1}BC[因為不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根且a＜0，所以－eq\f(b,a)＝－1＋2＝1，eq\f(c,a)＝－2，所以b＝－a，c＝－2a，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax，得ax2－3ax＜0．因為a＜0，所以x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax的解集為{x|x＜0或x＞3}．]12．(多選題)已知關(guān)于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，則下列結(jié)論中正確的是()A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3ABC[由關(guān)于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的兩個根．∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1－3a,a)＝eq\f(1,a)－3<－3．x2－x1＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(4－4×\f(1－3a,a))＝2eq\r(4－\f(1,a))>4．由x2－x1>4，可得：－1<x1<x2<3是錯誤的．]13．若