概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 第3章 習(xí)題課+8

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）習(xí)題課第3章

多維隨機(jī)變量及其分布2??例1袋中有1個(gè)紅球、2個(gè)黑球與3個(gè)白球.

解（1）因?yàn)槭怯蟹呕氐厝∏?故（2）求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.（1）求;別表示兩次取球所取得的紅球、黑球和白球的個(gè)數(shù).回地從袋中取球兩次,每次取一個(gè)球,以X、

Y、Z分現(xiàn)有放3（2）根據(jù)題意,X、Y可能的取值為0,1,2,{X=1,Y=0}、{X=1,Y=1}、{X=2,Y=0}.

當(dāng)(X,Y)的取值為{X=0,Y=0}時(shí),表示取到了兩個(gè)白球,則(X,Y)可能的取值有{X=0,Y=0}、{X=0,Y=1}、{X=0,Y=2}、則二維隨機(jī)變量4同理可得，5因此，(X,Y)的聯(lián)合概率分布為XY01201/41/31/911/61/9021/3600

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分??例26解布,Y的概率分布為

.機(jī)變量Z=XY的分布函數(shù),則函數(shù)

的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為().A.0B.1C.2D.3記

為隨7由于

x與

y相互獨(dú)立，故

（1）若z<0,則

所以z=0為間斷點(diǎn)，故有一個(gè)間斷點(diǎn)，應(yīng)選B.8??方法歸納本題求間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，實(shí)際上就是要求分布函數(shù)代入，寫(xiě)出的表達(dá)式,再對(duì)中z的取值進(jìn)行討論，進(jìn)而確定間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先將離散型隨機(jī)變量Y的不同取值分別隨機(jī)變量。的表達(dá)式，其中X為連續(xù)型隨機(jī)變量，Y為離散型??例39

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其中X1與X2的概率分布為均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,X3

（1）求二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示.（2）證明隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.解（1）

由二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義，可得10因?yàn)?，則可將離散型隨機(jī)變量不同取值分情況代入，即

又因?yàn)閄1，X2，X3相互獨(dú)立,故11（2）證明：12因此，Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.13??方法歸納本題也是一個(gè)即含有連續(xù)型隨機(jī)變量，又含有離散型隨機(jī)變量的混合表達(dá)式的隨機(jī)變量分布函數(shù)問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題有效的方法是：值代后展開(kāi)，利用概率的計(jì)算公式，獲得僅含有連續(xù)型隨機(jī)變量的表達(dá)，再利用連續(xù)型隨機(jī)變量的已知條件求按照離散型隨機(jī)變量不同取解即可.??例414解

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域

上服從均勻分布，令求二維隨機(jī)變量

的概率分布.

因?yàn)椋╔,Y）為區(qū)域D上的均勻分布,如圖所示,15區(qū)域D的面積為,故二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

根據(jù)

的定義,將分以下四種情況討論:16①②③④17因此,的概率分布為

Z1Z20101/4011/21/4??例5

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且分別服從參數(shù)為1和4的指數(shù)分布,則___.

A.B.C.D.18解

又因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,故

故應(yīng)選A.??例619

設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量,X的邊緣概率密度為在給定X=x(0<x<1)的條件下，Y的條件概率密度為（1）求（X,Y）的概率密度

；（2）Y的邊緣概率密度

；（3）求.20解

（1）由題意知,（2）Y的邊緣概率密度為.當(dāng)0<y<1時(shí),.

故，Y的邊緣概率密度為21（3）??例7.如果隨機(jī)變量Z的定義如下

設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且,求Z的分布律.22解

因X與Y兩個(gè)相互獨(dú)立，其聯(lián)合概率密度為

由此可得，;.Z01P因此,Z的分布律為??例823解

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布,令（1）寫(xiě)出(X,Y)的概率密度函數(shù);.

（1）由題意知，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為（3）求Z=U+X的分布函數(shù)（2）問(wèn)U與X是否相互獨(dú)立?24（2）設(shè)t為常數(shù)，且0<t<1,則因?yàn)?/p>

，所以

U與

X不相互獨(dú)立.25（3）當(dāng)z<0時(shí)，

；

26綜上所述，Z的分布函數(shù)為27??方法歸納本題是一個(gè)綜合性的題目,考察了聯(lián)合概率密度函數(shù)、隨機(jī)變量的獨(dú)立性以及混合型隨機(jī)變量分布函數(shù)的求解.獨(dú)立性的討論中，首先對(duì)U與X的關(guān)系進(jìn)行初步的判斷，因U與X有關(guān)，顯然是不獨(dú)立的，因此只需要找到一組反例，證明不獨(dú)立即可.

在

時(shí)，先根據(jù)U與X的在求

取值??例928

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為解（1）求條件概率密度（2）求條件概率（1）關(guān)于X的邊緣概率密度為故條件概率密度

,即29（2）關(guān)于Y的邊緣概率密度為所以

因此,??例1030解

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布,則___.A.與μ無(wú)關(guān),與σ2有關(guān)B.與μ有關(guān),與σ2無(wú)關(guān)

C.與μ、σ2都有關(guān)D.與μ、σ2都無(wú)關(guān)

由正態(tài)分布的性質(zhì)可知X-Y服從正態(tài)分布，且,則

故因此，概率與μ關(guān)無(wú),與σ2有關(guān)，應(yīng)選A.??例1131解

設(shè)X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求Z=X-Y的密度函數(shù).的陰影部分,因此有

圖32

綜上所述,Z的概率密度為??例1233解求Z=X+Y的密度函數(shù).設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且

.

由題意知X和Y的概率密度函數(shù)為

因Z=X+Y，則Z的取值范圍如下圖所示:34隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，利用卷積公式,可以求出Z的概率密度函數(shù),即當(dāng)z<0時(shí),;

當(dāng)z>1時(shí)，綜上所述，Z的概率密度為；.??例1335解

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為試求：（1）常數(shù)b的值；（2）邊緣概率密度

；（3）隨機(jī)變量

的分布函數(shù).（1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)36

可得.（2）當(dāng)0<x<1時(shí),因此，關(guān)于X的邊緣概率密度為37

當(dāng)y>0時(shí),（3）因?yàn)?/p>

，故X與Y相互獨(dú)立.

記X、Y、U的分布函數(shù)分別為

，

因此，關(guān)于Y的邊緣概率密度為根據(jù)最大值的分布公式有.利用(2)中求出的概率密度函數(shù),可以求出,即38將X、Y的分布函數(shù)代入最大值的分布公式，可得39??例14

解

(1)由古典概率計(jì)

試求：

分布律為40(2)??例1541解

(1)由密度函數(shù)性質(zhì)設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為其余

所以

.42(2)由已知得43

(3)如右圖所示:??例1644解設(shè)服從區(qū)域上的均勻分布,寫(xiě)出的聯(lián)合密度函數(shù)以及(1)因區(qū)域

的面積為1,故由定義得聯(lián)合密度函數(shù)為:45(2)所求概率為

??例1746解(1)通過(guò)計(jì)算

的聯(lián)合分布函數(shù)為設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為

分別計(jì)算邊緣分布函數(shù).47故與的邊緣分布函數(shù)分別為??例1848解已知,求

的密度函數(shù).因?yàn)?，又由正態(tài)分布的線性變換仍是正態(tài)分布知所以??例1949解（1）由二維離散型隨機(jī)變量邊緣分布律定義得50所以與的邊緣