浙江省臺州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page19浙江省臺州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的傾斜角是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】本題考查直線的斜率.由得，此直線的斜率為；由斜率的定義有.因為直線的傾斜角，所以.故正確答案為A2.點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題依據(jù)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)干脆求解即可.【詳解】因為點(diǎn)關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C3.一個盒子中裝有3個紅球和1個白球（這些球除顏色外其余均相同），從中任取2個球，設(shè)事務(wù)A=“恰有一個紅球”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出共有多少種取球方法，再計算事務(wù)A=“恰有一個紅球”的方法數(shù)，依據(jù)古典概型的計算公式求得答案.詳解】個盒子中裝有3個紅球和1個白球（這些球除顏色外其余均相同），從中任取2個球共有種取法，事務(wù)A=“恰有一個紅球”的方法數(shù)為，因此，故選：C.4.已知數(shù)列的前n項和，則該數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，得到答案.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，，不符合上式；所以數(shù)列的通項公式為.故選：D.5.已知直線與直線平行，則m的值為（）A.3 B. C.3或 D.3或4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線平行的判定得即可求m值，留意驗證兩直線是否平行，而非重合.【詳解】由題設(shè)，，可得或，當(dāng)時，、平行，符合題設(shè)；當(dāng)時，、重合，不合題設(shè)；∴.故選：B.6.在等比數(shù)列中，，，則公比q的值為（）A.1 B. C.1或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】探討、，由已知結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求公比q.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時，符合題設(shè)；當(dāng)時，，∴，則，可得或（舍），綜上，或.故選：D.7.已知A，B兩點(diǎn)在以F為焦點(diǎn)的拋物線上，并滿意，過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線對稱軸的平行線，與OA交于N點(diǎn)，則MN的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由，利用拋物線的對稱性，不妨設(shè)A在第一象限，作垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足分別為，作于C,如圖所示，設(shè)，由拋物線的定義知,中，，則,所以，所以直線AB的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立得，解得，,所以，，故AB的中點(diǎn),直線OA的方程為，令，得，所以MN的長為故選：C8.在三棱臺中，底面BCD，，，．若A是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則直線與AP夾角的正弦值的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用異面直線的夾角定義轉(zhuǎn)化為求直線與AP夾角的正弦值最小，需點(diǎn)到AP的距離最小，最小值為點(diǎn)到面的距離，再利用等體積法求出距離，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接由三棱臺的性質(zhì)知，且，所以四邊形為平行四邊形，又，，故直線與AP的夾角為直線與AP的夾角，要使直線與AP夾角的正弦值最小，需點(diǎn)到AP的距離最小，又點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則需點(diǎn)到AP的距離最小，即點(diǎn)到面的距離，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，利用等體積法知即，即，在直角中，，，又在中，，，，，又設(shè)直線與AP夾角的最小值為，則故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查異面直線的夾角，解題的關(guān)鍵是通過異面直線夾角定義轉(zhuǎn)化，再將所求夾角正弦值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到AP的距離最小，即點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸實力與運(yùn)算求解實力，屬于難題。二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，則下列說法正確的是（）A.，的坐標(biāo)分別為， B.橢圓的離心率為C.的最小值為1 D.當(dāng)P是橢圓的短軸端點(diǎn)時，取到最大值【答案】ACD【解析】【分析】由橢圓方程知，利用橢圓的性質(zhì)可推斷ABC；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可推斷D.【詳解】橢圓，其中，對于A，，，的坐標(biāo)分別為，，故A正確；對于B，橢圓的離心率為，故B錯誤；對于C，，所以的最小值為1，故C正確；對于D，當(dāng)P在橢圓的長軸端點(diǎn)時，；當(dāng)P不在長軸端點(diǎn)時，，利用余弦定理可知，當(dāng)，即P在橢圓的短軸端點(diǎn)時，最小，此時最大，故D正確；故選：ACD10.下列說法正確的是（）A.是等差數(shù)列，，，…的第8項B.在等差數(shù)列中，若，則當(dāng)時，前n項和取得最大值C.存在實數(shù)a，b，使1，a，，b，4成等比數(shù)列D.若等比數(shù)列的前n項和為，則，，成等比數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】A寫出等差數(shù)列通項公式，進(jìn)而寫出第8項即可推斷；B依據(jù)的正負(fù)推斷；C利用等比中項的性質(zhì)推斷；D由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)推斷.【詳解】A：由題設(shè)知：，則，錯誤；B：由已知：，，故當(dāng)時，前n項和取得最大值，正確；C：若1，a，，b，4為等比數(shù)列，則，，明顯不存在，錯誤；D：由，，，則，，是公比為的等比數(shù)列，正確.故選：BD.11.下列說法正確的是（）A.若G是四面體OABC的底面三角形ABC的重心，則B.在四面體OABC中，若，則A，B，C，G四點(diǎn)共面C.已知平行六面體的棱長均為1，且，則對角線的長為D.若向量，則稱（m，n，k）為在基底下的坐標(biāo)．已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為（1，2，3），則在基底下的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐標(biāo)表示即可推斷；B依據(jù)空間向量共面的結(jié)論即可推斷；C由，應(yīng)用向量的運(yùn)算律求的模即可；D用基底及對應(yīng)坐標(biāo)表示出向量即可推斷.【詳解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，∴，，，，，∴成立，正確；B：由，而，故A，B，C，G四點(diǎn)不共面，錯誤；C：如下圖，，∴，又且棱長為1，∴，則，正確；D：在基底下坐標(biāo)為，則，故在基底下坐標(biāo)為（1，2，3），正確.故選：ACD.12.兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)覺，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個不過圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時，截口曲線為橢圓；當(dāng)時，截口曲線為拋物線；當(dāng)時，截口曲線為雙曲線．在長方體中，，，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線B.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到的距離之和等于4，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓C.若，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線【答案】BD【解析】【分析】A、B將距離轉(zhuǎn)化到平面ABCD內(nèi)P到定點(diǎn)、定直線的距離，結(jié)合圓錐曲線的定義推斷正誤；C、D確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角，并比較被截圓錐軸截面頂角一半的大小關(guān)系，結(jié)合題設(shè)推斷P的軌跡.【詳解】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，∴在平面內(nèi)，P到的距離與P到直線的距離相等，又，∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯誤；B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，∴P的軌跡為橢圓，正確；C：如下示意圖，依據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，∴時，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯誤；D：同C分析：時，相當(dāng)于以為軸，軸截面頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將空間點(diǎn)線、點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線距離推斷軌跡，由題設(shè)及給定的條件確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角、被截圓錐軸截面頂角大小，進(jìn)而確定軌跡形態(tài).三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．第16小題第1空3分，第2空2分）13.已知△的三個頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A（4，0），，，則△的外接圓的方程為______．【答案】【解析】【分析】令外接圓圓心，而中點(diǎn)為、中點(diǎn)為，由求x、y，進(jìn)而求半徑，即可寫出△的外接圓的方程.【詳解】令△的外接圓圓心，又A（4，0），，∴中點(diǎn)為，則，則，中點(diǎn)為，則，則，∴圓心，又外接圓的半徑，∴△的外接圓的方程為.故答案為：.14.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)易得△斜邊上的高為到平面的距離，結(jié)合已知即可求值.【詳解】由題設(shè)可得示意圖如下，依據(jù)正方體的性質(zhì)知：面面，又△為等腰直角三角形，∴△斜邊上的高，即為到平面的距離，又正方體棱長為1，∴到平面的距離為.故答案為：.15.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，不妨令，過作，則，結(jié)合勾股定理、等腰直角三角形求，再由雙曲線定義求參數(shù)間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求離心率.【詳解】如下圖，垂直一條漸近線，則，過作，故，又，∴，，又在△中，故，，由雙曲線定義知：，則，∴.故答案為：.16.傳聞古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子來探討數(shù)．他們依據(jù)小石子所排列的形態(tài)把數(shù)分成很多類，如圖（1）可得到三角形數(shù)1，3，6，10，…，圖（2）可得到四邊形數(shù)1，4，9，16，…，圖（3）可得到五邊形數(shù)1，5，12，22，…，圖（4）可得到六邊形數(shù)1，6，15，28，…．進(jìn)一步可得，六邊形數(shù)的通項公式______，前n項和______．（參考公式：）【答案】①.；②..【解析】【分析】由題設(shè)易知是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，累加法求通項公式，利用分組求和求.【詳解】設(shè)六邊形中，則是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，∴，∴，∴，當(dāng)時，符合該式，∴，.故答案為：，.四、解答題（本題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.某機(jī)構(gòu)的聘請面試有3道難度相當(dāng)?shù)膯栴}，假設(shè)小明答對每個問題的概率都是0.6．依據(jù)規(guī)則，每位面試者共有3次機(jī)會，一旦答對所抽到的問題，則面試通過，否則接著抽取下一個問題，依次類推，直到第3個問題為止．用G表示答對問題，用B表示答錯問題，假設(shè)問題是否答對相互之間不影響．（1）請寫出這個面試的樣本空間；（2）求小明不能通過面試的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)寫出樣本空間即可.（2）由小明不能通過面試的事務(wù)為，應(yīng)用獨(dú)立事務(wù)乘法公式求概率即可.【小問1詳解】由題設(shè)，樣本空間為.【小問2詳解】由題意，小明不能通過面試的事務(wù)為，∴小明不能通過面試的概率.18.已知圓C圓心在直線上，且與x軸相交于點(diǎn)M（2，0）和N（4，0）．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，試問符合要求的直線有幾條？并求出相應(yīng)直線l的方程．【答案】（1）;（2）有2條，分別為、?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由題設(shè)易知圓心在直線上，聯(lián)立求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求半徑，即可得圓的方程.（2）推斷的位置，探討直線l斜率，結(jié)合圓的方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求參數(shù)，即可推斷直線的條數(shù)及對應(yīng)方程.【小問1詳解】由題設(shè)，中點(diǎn)為，則圓心在直線上，聯(lián)立，可得圓心為，∴圓的半徑為，綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：.【小問2詳解】∵，∴在圓外，當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為，則，，明顯符合題設(shè)；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為，聯(lián)立圓C可得：，若，，則，，∴，可得：.∴此時，直線l：，即.綜上，符合條件的直線有2條，分別為、.19.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側(cè)面底面ABCD，，．（1）若PB的中點(diǎn)為E，求證：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，推導(dǎo)出四邊形ADFE是平行四邊形，，由此能證明平面PCD；（2）△為等邊三角形，是中點(diǎn)，作，以為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【小問1詳解】如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，，，且，且，四邊形ADFE是平行四邊形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．【小問2詳解】若是中點(diǎn)，作，由底面ABCD為直角梯形且，，，由側(cè)面底面ABCD，面面，面，∴在面ABCD的投影在直線上，又PB與底面ABCD所成的角為60°，∴PB與底面ABCD所成角的平面角，則△為等邊三角形.∴以為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸建空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：∴、、、，則，，，設(shè)平面BDP的法向量，則，取，得，設(shè)平面PCD的法向量，則，取，得，設(shè)平面PCD與平面PBD的夾角為，則，平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列首項，且滿意．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對已知等式兩邊取倒數(shù)，再利用等比數(shù)列的定義證明，進(jìn)而求得通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可求解.【小問