高中數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修一復習橢圓基礎試題變式運用

橢圓基礎模板題及變式

例：已知片，工是橢圓=l的左、右焦點，p(%,%)是橢圓上任意一點

22

⑴求證：歸用=3+針°,|Pg|=3-針。

r225

解：。(%,%)是橢圓/+v=1上任意一點，則有%2=5—

I=J(%+2)2+%2=J%?+4/+4+5-=點Xi/+4/+9=/(3+'八

2?2

=3+§/-3<x0<31<3+-x0<4|Pf；|=3+-x0

|P段=6-(3+|/]=3-|/

一般情況：已知耳，鳥是橢圓奈?+方=l（a”>0）的左、右焦點，焦距為2c,P（%,%）

是橢圓上任意一點，則有|P￡|=a+￡/，歸用=a-/x（）

222222

|「用=7(-^0+c)+^0=^0+2cx0+c+b-^-x0

ccc

=a+—玉)-a<x<a.\a-c<a+—x<a:.\PF\-a-v—x^

aQa0a

c

|尸鳥]=2a-[ci4—XQ=a—x

a0

（2）求歸功|尸引的最大值和最小值

解：由(1)知，|「周=3+|小，|尸周=3-1不，所以|產(chǎn)用忖用=[3+gx°}(3—：龍0)

=一1k+9-3<xo<3,-.xo=OH-f,|Pfj|-|P^|iTiax=9;xo=±30-hiP^I-lP/sL=5

（3）點A（l,l）,求歸用+|/刊的最大值和最小值及對

應點P的坐標

|叫+四|=照+6-|*=6+四-附|

||/V1|-|P^||<|A7^|=V2-y[2<\PA\-|P/^|<41

直線A居的方程：y=—x+2

f5x2+9y2=45°

由《‘解z得ri：

y=-x+2

(18+157210-15@(18-15夜10+1572

'14~14'2~"14-'~~14-I

\7\/

當點P位于4處時，|P耳|+|B4|取最大值6+J5

當點P位于鳥處時，歸耳|+|網(wǎng)取最小值6-夜

(4)若|力訃歸用=^，求NRP鳥

解：4b|A/f；|=m,\MF2\=n,

20

222

,“n.m+n-16(m+n]-2mn-l636-2x--161

cosZF,PF-,=--------------=----------=----3--=一

2mn2mn202

0乙x—

3

所以/月尸鳥=(

n

(5)若/4Pg=e(O<e(公，求證：SMBC=5tan|

解：^\MF{\=m,\MF2\=n,則有加之+/-2?/篦?"?cose=4.

4b2:.mn=—^一

二（加+〃）“一2mn-2mncos0-4c2/.2mn（l+cos9）=-4c2

1+cos0

2sin"

=L，w7sine='x——xsin6=〃=從22=〃e

0^FPFtan—

[2221+cos01+cos0°2°2

2cos—

2

V5tan^

2M%2

若/耳「尸且。巳，求公的取值范圍

（6）2=62

22

解：由焦半徑公式得娟=3+§%,阿瑪=3-/,

22

（3+'|/）+（3--1618+-x0-16l+-x0

COS0=-——7~——-A；——=-——▽=-1——

21m'、/3—|x0）2（9—沁9--V

JII

所以0>-:.cos0<-

32

一叵X旦

22

（7）。為坐標原點，求OP?Pg的取值范圍

解：ORPK=（Xo，%）-（2-%,-%）=—/2+2%0-端為2=5-1（）2

222

OPPF2=-x0+2x0-f5-1x0^=-^%0+2%0-5=-^fx0-^l

OPPF2eT5,-2

-3<x0<3,

（8）傾斜角60°的直線/過橢圓的左焦點耳交橢圓與M,N兩點，求弦長|M7V|

比；?5聯(lián)立方程消去丁得

解：直線/的方程：y=G（x+2）,由＜

27

玉+彳2=―--

32x2+108x+63=0,令加(％,*),%(%2，%)，,?<

63

X.X-,=——

1-32

|MA^|=J(1+)[(X]+々)一一4%%215

而

7

（9）直線/過橢圓的左焦點"交橢圓與M,N兩點，求△OMN面積的最大值（。為坐標

原點）

解:當直線/垂直于x軸時，M\2,g1,N,2,—g）,|MN|=gS、OMN2』

233

y=k^x+2)

當直線/不垂直于x軸時，令直線/的方程y=Z(x+2),由<聯(lián)立方程消

5X2+9/=45

去y得：(9公+5)f+36/x+36公—45=0,A=900(A:2+l)

36k2

%+=-----2----I------------------------

令〃(百,凹)川(”2)，?乂，刖1=，(1+/)[(%+工2)2-4平2

JOK-O"

x.x-——-----

12-9k2+5

J(1+/).900(1+/)30(1+公),令原點。到直線/的距離為〃，所以力=：悶

9k2+59k2+5Jl+k2

.s.%加…1°(1+吸：2悶30網(wǎng)內(nèi)

AOMN-\I29k2+571+F9k2+5

,__.G(2陽丫+恒川+弓.￡9k2+5_

3亞?2陶?氐/1+公<3V52_2-_375

9k2+5-9k2+5-—9k2+5-一F

:（8正+90公

------'+"------=301

WF+F30.

9k2+581后4+90左2+25181上4+90左2+25

n~~1~9k2+2521112010

)I----------------------=30--------

V8181(9/+5丫18181“2+5（蝴+5）13

綜上：當直線/垂直于x軸時△（?斷的面積最大，最大值為此

3

x=my-2

解法二：令直線/的方程為：x^my-2,由<,',聯(lián)立方程消去x得:

[5V+9y2=45

（5加2+9）y2_20中y-25=0,△=900（〃/+i）

20m

%+%=<2,Q

5m+9

令"仁,%）,河工2，%），???'

25

%必=一Q

￡5/772+,9

SAOMN=gx|。用X-%|=E->21=J(M+%)2—4y>2=3據(jù)：；

=.......——-—,令1療+1=/(fNl),5j??+i+，_=5『+1在-1,+00)遞

57^71+—上t

-?+]

410

減，所以當1=1時，5，+：取最小值9,SAOMN取最大值H，此時〃2=0

（io）A，A2是橢圓長軸頂點，P（%,%）不在x軸上，求K-AK"的值

yy，又因為%2=,（9_/2）,代入有

解：由已知K^K00

r/\19

5

V-9年一99

一般情況：已知片，居是橢圓點+方=1（。＞方＞0）的左、右焦點，是橢圓上任

h2

意一點，則有K&K%=—7

2刃2

證明：由已知KpAK%=」——業(yè)=?'°,，又因為%2==（二一/2）,代入有

~/+Qx0—axQ—aa

（11）|尸耳|=2也是線段尸1的中點，求點M的坐標

2?3

解：由焦半徑公式由|P用=3+§/，.?.3+§玉）=2，/=一5,代入橢圓方程有

為2=5—、2=%先=±誓，由中點坐標公式得M-*乎）

sin（a+￡）

（12）APFxF2=a^PF2F}=p,求一^~~?的值

sina+sin/3

解：由正弦定理知

sin(a+/?)sinasin/?

忻圖=|產(chǎn)盟+仍一...2c=2a

sin(a+/?)sin?+sinpsin(a+^)sina+sin(3

sin(a+/7)2c2

---------------——=e=-

sina+sin￡2a3

變式:

1、已知大，K是橢圓J+J=1（a>b>0）的左、右焦點，橢圓的離心率為1?，傾斜角60。

的直線/過￡交橢圓與M,N兩點，且

（1）求橢圓的標準方程

（2）2（為,%）是橢圓上任意一點，求APMN面積的最大值？'）拒+匕8,此時點

8

（9網(wǎng)5⑸

P

（3）P（%,為）是橢圓上任意一點，APMN的重心為G,求重心G的軌跡方程?

解：令G（x,y）,直線/的方程：y=G（x+2）,由，聯(lián)立方程消去y得

32x2+108x+63=0,令A/G.yJ,Mw，%),

__27

X+Z+x。_A,,-T

A——

27人573

+33

???玉+/=-V^I^=V3(XI+X2+4)=--

OO573

、.—y+%+為_%+8

J----------------------------

33

\2

2L5百

27c27

o-3xH---J__3Ly----

°Q8

廠又因為5年+9%2=45，代入又△=1

,5V395

%=3y-工

/56丫

29y—

即收亙1

=1(去除KN兩點)

5

2、

已知點4(一3,0)和點4(3,0)，過點4的直線/與過點A2的直線團相交于點P,設直線/

的斜率為《，直線〃7的斜率為&2,且勺&=一9

(1)求點P的軌跡E的方程，并說明此軌跡E是何種曲線？

(2)過定點3(0,4)的直線/'交軌跡E于點M,N,

①/MON=90°,求直線/'的方程

②求\OMN面積的最大值及取最大值時直線/1的方程

22

解：(1)F——二l(yw0)

95v7

y=Ax+4

直線/'的方程：丁=履+4,由1I、打2_45聯(lián)立方程消去丁得

（9公+5）》2+72京+99=0,△=180（9%2-11”.k2>11,令）,N（X2，%），

72k

X]+X-）=一

9k2+5

99

王/9r+5

①NMON=90°,則有玉％2+>1%=。，即%/+（處+4）（也+4）=0

72k

玉+“-9左2+5

（左2+1）%々+4左（玉+/）+16=0將；.,9r+3代入得

=-z---

'-9k2+5

99+止.+16=?！獾萌耸苦?/p>

（〃+I）,9/+5

國-口收

②[MN|=]（1+公69k2+1

9女2+5

4

令原點。到直線/的距離為〃，所以/?=—=

12/，9公—11

=1|W|/I=16小的H-INH+T

SROMN-x-----------------

29k2+59k2+5

3下義2義4義業(yè)戶-IT3^X（9A:2-11+16）3/

―------------------<―=--------------------——

9爐+5-9公+52

當且僅當9公一11=16，公=3,左=±6時取最大值，所以直線/'的方程y=±Jir+4

3、已知橢圓的兩個焦點分別為耳（-2,0）,鳥（2,0）,下列哪個條件添上后，可得這個橢圓

22

的方程為—F2-=1

95

in9

①過片且垂直于長軸的直線交橢圓所得的弦長為又；②橢圓的離心率為③點

33

(2,在橢圓上；④P為橢圓上動點，|P4Hp閭心=5；⑤橢圓上的點到月的最近距

離為1；⑥為橢圓短軸頂點，cosNO^^n：；⑦傾斜角6()。的直線過工與橢圓交于

A,B兩點，且滿足A5=268⑧P為橢圓上動點，居面積的最大值為10

答案：除了⑥⑧其他均可以

力2=4的曲線C通過點A(0,-2)和點嗚,

4、如果方程+

(1)試確定a*的值？

(2)點P在曲線C上，如果AP斗鳥是直角三角形，求點P的坐標？

71

(3)曲線C上的點M滿足求AGg的面積?

‘4/?=4

“，a=4

解：（1）由已知解得

—a+3b=4b=1

14

(2)若NPRF[=90°,則有Vp=6代入方程4x2+丁=4解得％=±g,此時點p坐

標為

2'2'

若NPE￡=90°,則有為=-VL代入方程4/+y2=4解得xp=±g,此時點P坐標

若/耳「鳥=90。，則有歸凰=2+#%,歸身=2-5力，由余弦定理得:

,此時點P坐標為

]_

綜上點P坐標為

2,

(2遙］(昱276^婭］2的

［丁亍八號'--/「H'亍J\T，--3-)

(3)\MF^=—n,則有病+〃2—2?nz?〃?cos—=12

所以(/篦+〃)―一2mn-m?幾=12:.3mn=(m+〃)“-12=4mn--

1.71

q=—mnsm一

2Mg233

知識拓展:

己知耳，鳥是焦點在x軸的橢圓的左、右焦點，焦距為2c,尸(x,y)是橢圓上任意一點

由焦點在x軸的橢圓方程的推導過程可知，J(x+c/+y2=a+/,變化得

加+4+/=-x+—由已知％+幺＞0,則有

c)。

問題:

1、若令直線/：X=—三，指出J（X+C『+/，X+土，￡的幾何意義

cca

2、用文字語言表述等式上——

a

XH------

C

3、幾何符號表示

4

4、設焦點6到直線4：x=-幺（焦點片相對應的準線）的距離為0,p稱為焦準距

C

如圖傾斜角為a直線/過左焦點匕與橢圓交于A5,則有

1-ecoscr1+ecosa

同理可得過右焦點F,的情況：|4凰=—"—，忸凰=—空一

1+ecosa1-ecosa

習題：

22

1、已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓曰+?=1的右焦點鳥，與橢圓相交于A6兩點，求弦

AB的長

解：令直線的傾斜角為a,貝ijtan?=2z.cosa--,又

5

epepfep2ep

巾=就導阻=匚,所以|AB|=

ecosa1+ecosa1-ecosa1-e23cos2a

875

又p=4——c=2~=4,e=*,代入上式有[AB]=,2ep一丁575

-)2

-e'cos'a1-1丁

25

2、已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D,且

UUUU

BF=2FD,則C的離心率為-

2

16.-

3

【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二

定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結合思想、方程思想，本

題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性

質可尋求到簡化問題的捷徑.

【解析】如圖，|B尸=J層+。2=a,

UliUU1

作DD]±y軸于點Di,則由BF=2FD,得

122=變1=2,所以|0￡)|=3|0/|=3~

IDDJ|BD|3'22

3ca3c3c

即無。=二,由橢圓的第二定義得IED|=e（幺—土）=。一」一

2c22a

又由I8尸|=21ED|,得c=2a-一一,整理得3c2-2儲+收=0.

a

2

兩邊都除以6/,得3e?+e-2=0,解得e=一1（舍去），或e=—.

3

3、設橢圓C：7+記=l(a>6>())的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A,B

兩點，直線1的傾斜角為60。,4尸=2￡6.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)如果|AB|=，，求橢圓C的方程.

>0

(20)解：設4N，丫1),5(X2，>2)，由題意知yv。，y2-

(I)直線1的方程為y=y/3(x-C,其中。=，“2一工

y=V3(x-c),

聯(lián)立，/2得(34+/)y2+2yf3b2cy-3b4=0

——+^-=1

db'

解得X二一當,因為AE=2bB,所以—乂=2%.

3a+。~3a+b~

即得離心率，=消

(11)因為網(wǎng)=月昆-訃所以;I?會粵=5

由￡=2得8=@4.所以之4="，得a=3,b=?

a3344

橢圓C的方程為亮+《=1.

95

直線和橢圓的位置關系

例1、已知直線/:y=2x+/?7,橢圓。：亍+:]=1

1、試問當m取何值時，直線/與橢圓C：（1）有兩個不重合的公共點；（2）有且只有一個

公共點；（3）沒有公共點？

解：由I,,聯(lián)立方程消去y得：9x2+8mx+2m2-4=0

x2+2y2=4-

A=64〃，_4X9X（2〃?2-4）=144-8"

當A>0時，得到-3&</〃<3后，方程有兩個不等的實數(shù)根，此時直線/與橢圓C有兩

個不同的公共點（交點），直線/與橢圓。相交

當△=（）時，得到〃z=±30,方程有兩個相等的實數(shù)根，此時直線/與橢圓。有兩個互相

重合的公共點，即直線/與橢圓C有且只有一個公共點，直線/與橢圓C相切

當△<（）時，得到機<-30或加>3及，方程沒有實數(shù)根，此時直線/與橢圓。沒有公共

點，直線/與橢圓。相離

2、P為橢圓C上任意一點，當機=5時，求點P到直線/的最近距離和最遠距離？

解法一：當m=5時，直線/:y=2x+5,由1知，直線/與橢圓C沒有公共點，直線/與

橢圓C相離，如圖所示，當點P位于幾丹處時點P

到直線I的距離分別取得最大值和最小值?、

由于點,到直線/：y=2x+5距離即為""-5

直線4:>=2》-3上到直線/:y=2x+5

由兩平行線間的距離公式可得點P到直線/

5-(-30)]56+3師

最遠距離為,此時點勺7

由于點鳥到直線/：y=2x+5距離即為直線&：y=2x+30到直線/:y=2x+5

5-3弱,此時點

由兩平行線間的距離公式可得點P到直線/最近距離為J―產(chǎn)」

J4叵⑶

T亍'7

3、當機=1時，直線/與橢圓C相交于A6兩點，求：（1）弦AB的中點坐標？（2）求

弦A3的長？

解：由1知，當帆=1時，直線/與橢圓C方程聯(lián)立消去y得到：9X2+8X-2=0

8

+馬

X一

一-9-

令4&,必）,8（々,%），＜2

Xv

*-z^--9-

(1)弦AB的中點坐標

2V170

9

例2、有一橢圓形溜冰場,長軸長100m,短軸長60m.現(xiàn)要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在

溜冰場邊界上的矩形區(qū)域,且使這個區(qū)域的面積最大,應把這個矩形的頂點定位在何處?這時

形，又是以過對稱中心且垂直其一邊的直線為對稱軸的軸對稱圖形，所以矩形ABCD關于

原點。及X軸、y軸都對稱.

已知橢圓的長軸長2a=100(m),短軸長2/7=60(m),

則橢圓的方程為二+工=1.

5()2302

設頂點A的坐標為(毛,%),%>0,券>0,

則為+旦=1，得乂=注(5。2-片)

502302502

根據(jù)矩形ABCD的對稱性，可知它的面積S=4x。%

小工,2230>s，八30\302—250\50\

由于毛%=%—(50-x?)=—(-x?4+50*(>)=喬［一(%>--鼠)2+丁)

2

因此，當*=芋50,時，達到最大值，同時S=4%%也達到最大值

這時％=25及，穌=15夜

矩形A8C。的周長為4(%+%)=4(25&+15V2)=160立(m)

因此在溜冰場橢圓的短軸兩側分別畫一條與短軸平行且與短軸相距25&m(約35.35m)的

直線，這兩條直線與橢圓的交點就是所劃定的矩形區(qū)域的頂點；這個矩形區(qū)域的周.長為

16(x/2m(約等于226.27m)

2222

標準方程~2+^~=l（Q>〃>0）斗"+=1（4>人>0）

范圍一且一〃<y<b一匕WxW。且一。WyW。

A"-?。）、A2（6t,0）A,（0,-a）,A2（0,tt）

頂點

B40,詢、B2（O,/7）B4F0）、B2（^,0）

軸長短軸的長=2萬長軸的長=2a

焦點6（-c,0）、E（c,O）耳（0,-c）、E,（O,c）

焦距|JFJF）|=2c（c2="一。?）

對稱性關于x軸、y軸、原點對稱

匚耳（0<e<l）e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁

離心率e，={

aV

1.橢圓的兩焦點分別為片，K,P是橢圓上任意一點，則有以下結論成立：（1）

|尸耳|+|%|=2；a-c<\PF\<a+c-,⑶閥卜|2小Y；

2.橢圓的方程為,+方=1（a>b>0）,左、右焦點分別為《，工，P（毛,%）是橢圓上

任意一點，則有：（1）城=4（/_/2）,/2=%伊_%2）；⑵|「耳|=4+%,

\PF2\=a-ex0;（3）Z?<\OP\<a（O為原點）；

x0=acos0

（3）^（6為參數(shù)）;

%=bsinO

3.設P點是橢圓上異于長軸端點的任一點,R、F2為其焦點記/片「鳥=。，則⑴

IPF1||PF,|=——.（2）S"=cI孫I=尸tan幺.⑶當P點位于短軸頂點處時,

1+cos。122

。最大，此時也最大；⑷cos。21—Ze?.⑸點”是APR6內(nèi)心，PM交

4.AB是橢圓二+與=1的不平行于對稱軸的弦,M（%,%）為AB的中點,則必?*=-1

aba

Mx。

即KAB

。2yo

rv

5.橢圓的方程為/+$=1（a>b>0）,4,4為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長

軸頂點的任一點，則有長小長.=一一-

/Z1//42QZ

22

6.橢圓的方程為5+斗=1（a>b>0）,與，3為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短

軸頂點的任一點，則有

KPBI%=-/

X2y2

7.橢圓的方程為二+彳=1（a>b>0）,過原點的直線交橢圓于A,8兩點，P點是橢圓上

異于A,B兩點的任一點，則有KK=--

PAPBa7

8.若兄（元0，%）在橢圓方+左=1上，則（1）以《熊）期）為切點的切線斜率為女=一一產(chǎn);

（2）過外的橢圓的切線方程是考+誓=1.

ab

22

9.若玲（小,％）在橢圓5+2=1外，則過P。作橢圓的兩條切線切點為P,、P2,則切點弦