高中數學導數知識點歸納總結及例題

導數

考試內容：

導數的背影.導數的概念.多項式函數的導數.利用導數探討函

數的單調性和極值.函數的最大值和最小值.考試要求：（1）

理解導數概念的某些實際背景.（2）理解導數的幾何意義.（3）

駕馭函數，（c為常數）、（n￡）的導數公式，會求多項式函數的

導數.（4）理解極大值、微小值、最大值、最小值的概念，并

會用導數求多項式函數的單調區(qū)間、極大值、微小值及閉區(qū)間上

的最大值和最小值.（5）會利用導數求某些簡潔實際問題的最

大值和最小值.

§14.導數學問要點

1.導數（導函數的簡稱）的定義：設X。是函數”/⑶定義域的一

點，假如自變量X在X。處有增量?,那么函數值y也引起相應的增

量a=/由+詞-/(小)；比值字=+⑻-"X。)稱為函數”“X)在點X。

AxAx

到X0+-之間的平均變更率；假如極限Hm?=lim9竽但存

Ax->0AXAr->0Ax

在，那么稱函數”/(x)在點X。處可導，并把這個極限叫做y=/(x)在

X。處的導數,記作/(%)或小『，即八/)=1沁?=1而-。+乎-小。).

AXTOAXA.V->OAX

注：①Ax是增量，我們也稱為“變更量〃，因為心可正，可負，

但不為零.

②以知函數尸“X)定義域為/,尸/&)的定義域為8,那么4及8關

系為A&B.

2.函數夕=/(x)在點X。處連續(xù)及點與處可導的關系：

⑴函數y=/(x)在點X。處連續(xù)是尸/⑶在點X。處可導的必要不充分

條件.

可以證明,假如y=/(x)在點X。處可導，那么『"X)點飛處連續(xù).

事實上，令丫=%+Ax,那么2X。相當于Axf。.

于是limf(x)=limf(x0+Ax)=lim[f[x+x0)-f(x0)+/(x0)]

XTXOAXTOAr->0

r/(x0+Ax)-/(x0)、]f(x0+M)-f(x0)...,.

=2叫----瓦-----?+小。)]=出。----&-----媽+媽/(x°)=/(x°).O+〃x())=/(x。).

⑵假如八/(X)點X。處連續(xù)，那么尸了(X)在點X。處可導，是不成立的.

例：〃x)=|x|在點x0=O處連續(xù)，但在點x°=。處不行導，因為包=回，

AxAx

當心>0時，包=1；當Ar<0時，包=_1,故lim包不存在.

AxAxAt->0Ax

注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.②可導的偶函數函

數其導函數為奇函數.

3.導數的幾何意義：

函數y=〃x)在點X。處的導數的幾何意義就是曲線y=/(x)在點

(x°J(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線尸〃x)在點尸(x°J(x))處

的切線的斜率是/'(Xo),切線方程為y-Vo=/(x)(x-Xo).

4.求導數的四那么運算法那么：

(M±v)'=H'±V'=>J=/](X)+/2(X)+...+/“(x)=爐=f；(x)+/2(x)+...+f'?(x)

(MV)=vu+vu=>(cv)=cv+cv=cvIc力吊致J

注：①必需是可導函數.

②假設兩個函數可導，那么它們和、差、積、商必可導；假設兩

個函數均不行導，那么它們的和、差、積、商不肯定不行導.

例如：設/'(x)=2sinx+2,g(x)=cosx--,那么/(x),g(x)在x=0處均不仃

XX

導，但它們和/(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處均可導.

5.復合函數的求導法那么：y；(*(x))=/(")/(x)或與=y'”

復合函數的求導法那么可推廣到多個中間變量的情形.

6.函數單調性：

⑴函數單調性的斷定方法：設函數八/a)在某個區(qū)間內可導，假

如八x)>0,那么y=/(x)為增函數；假如/'(x)V0,那么y=/(x)為減

函數.

⑵常數的斷定方法；

假如函數y=/(x)在區(qū)間/內怛有/(X)=0?那么y=/(x)為常數.

注：①小》。是注X)遞增的充分條件，但不是必要條件，如尸2/

在(-00,+00)上并不是都有〃；“0,有一個點例外即0時F(X)=0,

同樣/(X)Y0是f(X)遞減的充分非必要條件.

②一般地，假如f在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各

點均為正［或負），那么在該區(qū)間上照舊是單調增加（或

單調削減）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x。旁邊全部的點，都有〃x）V

/（x0）,那么〃X。）是函數〃工）的極大值,微小值同理）

當函數“X）在點X。處連續(xù)時，

①假如在X。旁邊的左側/（x）＞0,右側八x）VO,那么/（x。）是極大

值；

②假如在X。旁邊的左側/,6）VO,右側/（x）＞0,那么/（X。）是微小

值.

也就是說X。是極值點的充分條件是X。點兩側導數異號，而不是

八x）二O①.止匕外，函數不行導的點也可能是函數的極值點②.當然,

極值是一個部分概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能

極大值比微小值小（函數在某一點旁邊的點不同〕.

注①：假設點X。是可導函數"X）的極值點，那么八x）=O.但反過

來不肯定成立.對于可導函數，其一點X。是極值點的必要條件是

假設函數在該點可導，那么導數值為零.

例如：函數y=/（x）=x3X=O使/、1（x）=0,但x=O不是極值點.

②例如：函數y=/（x）=|x|,在點x=O處不行導，但點x=O是函數的微

小值點.

8.極值及最值的區(qū)分：極值是在部分對函數值進展比較，最值

是在整體區(qū)間上對函數值進展比較.注：函數的極值點肯定有意

義.

9.幾種常見的函數導數:

I.C1=0(C為常數)(sinx)=cosx

(arcsinx)=—==

(xn)'=nxn~]("WR)(cosx)=-sinx

?1

(arccosx)=——,

V1-x2

?(Inx)=—(log。x)=-loge

xrt

1i

(arctanx)=---

X2+1

(exy=ex(a*)=ax\na

(/arccotX、)‘=----i-

x2+l

.求導的常見方法：

①常用結論：②形如y=(x-a)(x-a)...(x-a?)或

(In|x|),=x-.l2

廣”一經士*兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.

(x-b])(x-b2)...(x-bn)

③無理函數或形如八十這類函數，如八一取自然對數之后可變形

為lny=xlnx,對兩邊求導可得

—=lnx+x--=>>>=yInx+y"=xxInx+x'.

yx

導數中的切線問題

例題1：切點，求曲線的切線方程

曲線y=d-3x2+l在點(1,一1)處的切線方程為()

例題2：斜率，求曲線的切線方程

及直線2xr+4=0的平行的拋物線>=，的切線方程是（）

留意：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用△法加以解決,

即設切線方程為y=2x+6,代入y=/,得Y-2x-b=0,又因為A=0,

得b=-l,應選D.

例題3：過曲線上一點，求切線方程

過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再

求切點，即用待定切點法.

求過曲線y=/-2x上的點的切線方程.

例題4：過曲線外一點，求切線方程

求過點(2,0)且及曲線y」相切的直線方程.

X

練習題：函數=過點/(0,16)作曲線y=/(x)的切線,

求此切線方程.

看看幾個高考題

1.(2021全國卷II)曲線”已在點(1/)處的切線方程為

2.(2021江西卷)設函數/(x)=g(x)+/,曲線y=g(x)在點(l,g⑴)處

的切線方程為丁=2x+1,那么曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處切線的斜率

為

3.(2021寧夏海南卷)曲線丁=xe'+2x+l在點(0,1)處的切線方

程為。

4.(2021浙江)(此題總分值15分)函數

f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,beR).

(I)假設函數,〃x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3,

求a,b的值；

5.12021北京)(本小題共14分〕

設函數/(x)=一3ax+b(a豐0).

(I)假設曲線尸/(x)在點(2J(x))處及直線歹=8相切，求

的值；

.1函數的單調性和導數

1.利用導數的符號來推斷函數單調性：

一般地，設函數y=/(x)在某個區(qū)間可導，

假如在這個區(qū)間內/,(x)>0,那么夕=/(x)為這個區(qū)間內

的；

假如在這個區(qū)間內/(x)<0,那么y=/(x)為這個區(qū)間內

的o

2.利用導數確定函數的單調性的步驟：

(1)確定函數F(x)的定義域；

(2)求出函數的導數；

(3)解不等式fC(x)>0,得函數的單調遞增區(qū)間；

解不等式FC(x)V0,得函數的單調遞減區(qū)間.

【例題講解】

a)求證：夕=1+1在(_8,o)上是增函數。

b)確定函數f(x)=2f—6f+7在哪個區(qū)間內是增函數，哪

個區(qū)間內是減函數.

【課堂練習】

1.確定以下函數的單調區(qū)間

⑴3—9V+24x(2)3x-x

2.函數/(x)=xlnx,那么()

A.在(0,+00)上遞增B.在(0,+8)上遞減

C.在?上遞增D.在(o,j上遞減

3.函數/(x)=/_3》2一5的單調遞增區(qū)間是.

函數圖象及其導函數圖象

1.函數八/(X)在定義域(-1,3)內可導，

其圖象如圖，記y=/(x)的導函數為

y=/'(x),那么不等式/"(x)W0的解集

為

2.函數/(x)的定義域為開區(qū)間(-|,3),

導函數八x)在(-*3)內的圖象如下

圖，那么函數的單調增區(qū)間是

3.如圖為函數/(x)=加+而+ex+"的圖象,f\x)

為函數"X)的導函數，那么不等式x./(x)<0

的解集為

4.假設函數/(幻=/+瓜+,的圖象的頂點在第四象限，那么其導

函數尸(x)的圖象是()

5.函數y=/(x)的圖象過原點且它的導函數/□)的圖象

是如下圖的一條直線，那么y=/(x)圖象的頂點在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第

四象限

6.(2007年廣東佛山)設八x)是函數/(x)的導函

數，y=/，(x)的圖象如右圖所示,那么丁=/(*)的圖象

聲有可能的是(

ABD

7.設函數F(x)在定義域內可導,(x)的圖象如下左圖所示，那么

8.(安微省合肥市2021年高三第二次教學質量檢測文科)函數

的圖像如下右圖所示，那么尸尸⑴的圖像可能是

10.(2021年浙江省寧波市高三

“十?！?lián)考文科)如右圖所示是某一容器的正視圖

三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的

高度。隨時間/變更的可能圖象是1)

俯視圖

(A)(B)(C)

(D)

11.(2021廣州二模文、理)二次函數/(x)的圖象如圖1所示，

12.(2021湖南卷文)假設函數丁=/(%)的導甌數在區(qū)間口力上

是增函數，那么函數夕=/(x)在區(qū)間口向上的圖象可能是

14.（2021年福建卷12）函數（x）（x）的導函數的圖象如以下

圖，那么（x）（x）的圖象可能是

15.（2021珠海一模文、理）設/"（x）是函數/（x）的導函數，將

歹=/（x）和y=/，（x）的圖像畫在同一個直角坐標系中，不行能正

確的選項是（〕

16.（湖南省株洲市2021屆高三第二

次質檢）函數k/⑴的導函數

""X）的圖像如下，那么（）

函數"X）有1個極大值點，1個

微小值點

函數/（X）有2個