2022屆初二年級(jí)下冊(cè)相似三角形練習(xí)（一）

2022屆初二下相似三角形練習(xí)（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.若兩個(gè)相似五邊形的相似比為3：5,則它們的面積比為（)

A.3：5B.5：3C.9：25D.25：9

【解答】解：???兩個(gè)相似五邊形的相似比為3：5,

???它們的面積比為：9：25.

故選：C.

2.在比例尺為1：8000000的“中國(guó)政區(qū)”地圖上，量得甲市與乙市之間的距離是2.50刀，則這兩市之間的實(shí)際距

離為（）km.

A.20000000B.200000C.200D.2000000

【解答】解：設(shè)這兩市之間的實(shí)際距離為xc/n,

則根據(jù)比例尺為1：8000000,列出比例式:

1：8000000=2.5：元,

解得x=20000000.

20000000cm=2006

故選：C.

3.小兵身高L4〃z,他的影長(zhǎng)是2.1〃?，若此時(shí)學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)是12團(tuán)，那么旗桿的高度（）

A.4.5〃?B.6mC.7.2"?D.Sm

【解答】解：設(shè)旗桿的高度為初7,

根據(jù)題意得:1.4X

27T"l2,

解得：x=8,

即旗桿的高度為8m,

故選：D.

4.已知abc￥3且一y？.=b+c==k,則k的值為（)

ab

A.2B.-1C.2或-1D.3

【解答】解：,??生也="=①=上

b

/.a+b=ck,b+c=ak9c+a=bk,

/.2(〃+Z?+c)=k(〃+〃+c),

當(dāng)a+b+c^Q時(shí)，得々=2；

當(dāng)a+b+c—O時(shí)，

貝!Ia+b=-c,&=-1；

的值為2或-1；

故選：C.

5.如圖.在△ABC中，DE//BC,ZB^ZACD,則圖中相似三角形有（）

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

【解答】解：VZB=ZACD,NA=NA,

/\ACD^AABC,

'JDE//BC,

△AQEs/MBC,

AACD^A^DE,

'：DE//BC,

：.ZEDC=ZDCB,

'：NB=ZDCE,

.'.△CDESABCD,

故共4對(duì),

故選：c.

6.如圖，C是AB的黃金分割點(diǎn)（月C>CB）,BG=AB,以C4為邊的正方形的面積為Si，以8C、8G為邊的正方

形的面積為S2,則Si與S2的關(guān)系為（)

A.Si>S2B.Si<S2C.S|=S2D.無(wú)法判斷

【解答】解：根據(jù)黃金分割的概念和正方形的性質(zhì)知：AC1=AB-BC,

S1_AC2_AC2_AC2_I

至BC-BGBC-AB7?

即：Si=52.

故選：C.

7.如圖，直線/1〃/2〃/3，一等腰RtZ\A8C的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線人、b、，3上，ZACB=90°,AC交，2

于點(diǎn)。.若人與/2的距離為1，/1與/3的距離為4,則膽的值是（）

BD

W2口述

5,8

【解答】解：過(guò)點(diǎn)4作A尸，/3與點(diǎn)尸，交直線/2于點(diǎn)G,

'.,12//13,

：.ZADG=ZACF,

；NDAG=NCAF,

：.AADG^AACF,

V/1與12的距離為1,h與b的距離為4,

?AD=AG_=1

ACAFT

：.AD=^AC,

4

設(shè)YAZ）=x,WlJAC=BC=4x,

在RtZVIBC中，由勾股定理得：

^=VAC2+BC2=V（4X）2+（4X）2=4^'

DC=AC-AD=3x,

在RtZ\BCO中，由勾股定理得：^=VcD2+BC2=V（3x）2+（（4x）2=5x,

.AB=W2x_W2

■"BD-5^5―

故選：c.

c

3

A’1

8.如圖，在△ABC中，BC=6,迪動(dòng)點(diǎn)尸在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D,NC8P的平分線交CE于點(diǎn)Q,

EBFC

當(dāng)。0=卷。七時(shí)，EP+8P的值為（）

A.9B.12C.18D.24

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)后尸交8。的延長(zhǎng)線于G.

..AE_AF

'EB'FCJ

：.EG//BC,

:?/G=NGBC,

?：4GBC=/GBP,

:?/G=4PBG,

:?PB=PG,

：.PE+PB=PE+PG=EG,

：.EQ=3CQ,

,:EG〃BC,

?MEQGs/\CQB,

?EG_EQ

**CB-QC-'

?：BC=6,

???EG=18,

；?EP+PB=EG=18,

故選：C.

9.如圖，△ABC中，AB=8,AC=6,ZA=90°，點(diǎn)。在△ABC內(nèi)，且。B平分/ABC,QC平分/ACS,過(guò)點(diǎn)。

作直線PQ,分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q,若△APQ與△ABC相似，則線段P。的長(zhǎng)為（）

A.5B.晅C.5或至D.6

66

【解答】解：當(dāng)PQ〃8c時(shí)，XkPQs缸ABC,如圖1,

：08平分NABC,

:.NPBD=NCBD,

'JPD//BC,

：.NPDB=NDBC,

：.ZPBD=ZPDB,

：.PB=PD,

同理，DQ=CQ,

,：ZAPQ=ZABC,

AtanNAPQ=tanNA8C=^=2=S,

AB84

???設(shè)AP=4x,AQ=3x,

：.PQ=5x,

,：PB=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3x,

?\8-4x+6-3x=5x,

.v_7

6

/.P(2=5x=—；

6

當(dāng)NAPQ=N4CB時(shí)，△APQs/XhCB,

；AB=8,AC=6,ZA=90°,

.,.BC=10,

過(guò)。作。E_LAB于E,DF1.ACF,DGLBC于G,

DB平分ZABC,DC平分ZACB,

:.DE=DF=DG,

'."S^ABC^—DE(AB+AC+BC)=XWAC,

22

.?.DE=6+8-1°=2,四邊形AE￡>尸是正方形，

2

：.DF//AP,

：.NEPD=NFDQ,

同理

，APEDs/\DFQsNAB,

?PE_DF=AC=2

"DEFQABT

：.PE=^~,FQ=^~,

23

；?PD=VPE2+DE2=^(-|-)2+22=-|->P2=VDF2+FQ2=^22+(-1)2=y-'

/.PQ=PD+DQ^-+^-^—,

236

綜上所述，若△APQ與AABC相似，則線段PQ的長(zhǎng)為導(dǎo)，

故選：B.

10.已知四條線段a,3,a+1,4是成比例線段，則a的值為3

【解答】解：；四條線段a,3,a+\,4是成比例線段，

?,?67：3—(a+1)：4

即3（。+1）=4〃

解得a=3.

故答案為3.

11.如圖，在△ABC中，8是高，CE為/ACB的平分線.若AC=15,BC=20,CD=\2,則CE的長(zhǎng)等于史返.

~7~

【解答】解：如圖，由勾股定理知4。=9,BD=16,

所以4B=AO+8O=25.

故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，

且/AC8=90°.

作EFJ_8C,垂足為F.設(shè)EF=x,

由NECF=aNACB=45°，

得CF=x,于是8廣=20-X.由于E/〃AC,

所以空皿，

ACBC

即旦=20-x,

1520

解得乂段.

7

所以CE=&x粵N

故答案為：里亞.

7

12.如圖，正方形EFG”的四個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形48。的四條邊上，若正方形EFGH與正方形A8C。的相似比

為返，則金國(guó)(AEVBE)的值為-1.

3BE一2一

H

【解答】解：???正方形EFG”與正方形48co的相似比為返，

3

，不妨假設(shè)E尸=旄鼠AB=3k,

:NA=NB=NFEH=90°,

AZAEH+ZBEF=90°,/BEF+/EFB=90°,

：.NAEH=NEFB,

"：EH=EF,

：./\HAE^/\EBFCAAS）,

：.AE^BF,設(shè)AE=BF^x則EB=3k-x,

在RtAEFB中，EF2=BE^+BF2,

（述k）2=（3k-x）hx2,

整理得7-3fcv+2F=0,

解得x=&或2k（舍棄），

：.AK=k,BE=2k,

?..AE_^~19

BE2

故答案為工.

2

13.如圖，四邊形ABC。中，/A=/B=90°,AB=5cm,AD^3cm,BC=2cm,P是AB上一點(diǎn)，若以P、A、D

為頂點(diǎn)的三角形與△PBC相似，則PA=2或3cm.

【解答】解：設(shè)AP=xcvn.則BP=AB-AP=(5-x)cm

以A,D,尸為頂點(diǎn)的三角形與以B,C,P為頂點(diǎn)的三角形相似,

①當(dāng)A。：PB=PA：BC時(shí)，

3=x

5-x2

解得x=2或3.

②當(dāng)A￡>：BC=PA：PB時(shí)，3=」—，解得x=3,

25-x

...當(dāng)A,D,P為頂點(diǎn)的三角形與以B,C,P為頂點(diǎn)的三角形相似，AP的值為2或3.

故答案為2或3.

14.矩形4BC￡>中AE_LBO于E,AB=4,ZBAE=30°,求△￡>￡(：的面積是_&/^_.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作C尸1_8￡）于尸.

?.?矩形A8CD中，AB=4,AE±BD,ZBAE=30°,

：.AB2=BEXBD,BE=2,AE=2我，

：.ED=BD-BE=6,

：.ZABE=ZCDF=60°,AB=CD=4,AEB=NCFD=90°.

：./XABE^^CDF.

C.AE^CF.

?'-5zvi￡D=—￡DM￡,S^ECD=—ED'CF

22

:?SAAED=SACDE，

?.乂￡：=2百，DE=6,

...△EC。的面積是673.

故答案為：6愿.

15.如圖，已知四邊形ABC。為正方形，A,B在x軸上，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為3注.反比例函數(shù)y=§(x>0)的

X

圖象與AC,BC分別交于點(diǎn)E,F,若旦2注，則CF為1.

BCAC----

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)兒連接E凡

設(shè)CE=a,如圖所示：

邊形ABCO是正方形，

：.AB=CB,ZBAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,

y.'：AB2+BC2=AC2,AC^372，

：.AB=BC=3,

又?.?典1rl￡,NCEF=NCBA,

BCAC

：./\CEF^/^CBA,

：.ZECF=ZEFC=45°,ZC￡F=90°,

：.CE=EF,

在Rt^CEF中，由勾股定理得：

CF=&CE=&a,

又,：BC=BF+CF,AC=AE+CE,

:.BF=3-近a,AE=3V2-a,

又?.?點(diǎn)尸在反比例函數(shù))=上(x>0)的圖象上,

X

點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為3-料編

點(diǎn)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為一

3-V2a

即OB=—

3-V2a

同理可求出：EH=A”=3-亞a，

2

OH=----7=—,

Q近

3亍

^'：AB=AH+HB,

■HR-近

2

解得：”]=返?，④=4&（舍去）

2_

CF=V2軟=&X平■=1,

故答案為：1.

16.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(8,0)和點(diǎn)8(0,6),點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線上，直線

CP截△A08,所得的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,3)、(4,0)、(工，0)

4

【解答】解：當(dāng)PC〃。4時(shí)，/\BPC^/\BOA,

由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得尸為。8的中點(diǎn)，

此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)；

當(dāng)PC〃08時(shí)，△ACPS^AB。，

由點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，可得產(chǎn)為。A的中點(diǎn)，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)；

當(dāng)PC_LAB時(shí)，如圖，

'：ZCAP^ZOAB,

：.RtAAPC^RtAABO,

.AC=AP

'*0AAB"

,點(diǎn)A(8,0)和點(diǎn)B(0,6),

，AB=q62+82=10,

?.?點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，

：.AC=5,

?.?—5_AP,

810

至，

4

OP=OA-AP=S-臣=工，

44

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0),

4

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)、(4,0)、(工，0).

4

17.如圖，點(diǎn)A在線段BD±,在B。的同側(cè)作等腰直角△ABC和等腰直角△/!￡>￡ZABC=ZAED=90Q,CD

與BE、AE分別交于點(diǎn)P、M.

求證：

(1)/XBAE-/XCAD-,

(2)若8。=返，PC=旦，求長(zhǎng).

22

【解答】（1）證明：?.,等腰RtzXABC和等腰RtZ\AQE,ZABC=ZA￡D=90°,

：.AC=y/2AB,AD=y/2AE,ZBAC^ZCAD=45°

.AC=AD

"ABAE'

ZBAC^ZEAD

.".ZBAE^ZCAD

：./\BAE^/^CAD.

(2)VABAEVACAD,

.".ZBEA^ZCDA,

,?NPME=/AMD

...電=坦，且NPMA=N￡)ME,

AMMD

：.APMAs/\EMD,

.?./APO=/AED=90°,

VZCAE=1800-ZBAC-ZEAD=90°，且/4CP=/ACM,

.?.△CAPs/xcMA,

.AC=CM

*'CPCA'

.'.AC^^CP'CM,

,:AC=y[^BC

：.2CB1=CP'CM,

'：PC=3,

22

：.CM=2,

：.PM^CM-PC=2-3=上

22

18.已知：在梯形ABCQ中，AD//BC,NABC=90°,BC=2AD,E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC.

（1）點(diǎn)F是OC上一點(diǎn)，連接ER交AC于點(diǎn)0（如圖1）,求證：△AOESACOF；

（2）若點(diǎn)尸是。C的中點(diǎn)，連接8。，交AE與點(diǎn)G（如圖2）,求證：四邊形EFDG是菱形.

E

圖1

【解答】證明：（1）??,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD,

:.EC=BE=LBC=AD,

2

又?：ADHB3

...四邊形AECD為平行四邊形,

J.AE//DC,

：.△AOESMCOF；

(2)連接。E,

'：AD//BE,AD=BE,

...四邊形ABE3是平行四邊形，

又/ABE=90°,

二四邊形ABE。是矩形，

：.GE=GA=GB=GD=^BD=^AE,

22

；￡尸分別是BC、。的中點(diǎn)，

:.EF、GE是△CB。的兩條中位線，

:.EF=LBD=GD,GE=LCD=DF,

22

又GE=GD,

：.EF=GD=GE=DF,

四邊形EFDG是菱形.

圖2

19.如圖，在△A8C中，點(diǎn)。，E,尸分別在A8,BC,AC邊上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：△BDEs/\EFC.

(2)設(shè)處」，

FC2

①若BC=12,求線段BE的長(zhǎng)；

②箱XEFC的面積是20,求△ABC的面積.

A

【解答】（1）證明：???DE〃/IC,

：.ZDEB=ZFCE,

,JEF//AB,

NDBE=NFEC,

:.ABDESAEFC；

(2)解：@\'EF//AB,

?型=空=工

""ECFCT

YEC=BC-BE=12-BE,

.BE=1

"12-BET

解得：BE=4；

?.?-F--C-_2,

AC3

,JEF//AB,

.".△EFC^ABAC,

.SAEFC_/FCx2_(2、2_4

??----------\/—7——>

^AABCAC39

5A/1BC=_^S'&EFC=_^-^20=45.

20.如圖，在菱形A8CD中，ZABC=60°,M為AO的中點(diǎn)，連接BM,交AC于E,在C8上取一點(diǎn)尸，使得CF

=AE,連接AF,交.BM于G,連接CG.

(1)求/BG尸的度數(shù)；

(2)求旭的值；

BG

(3)求證：BGLCG.

MD

【解答】解：(1)；四邊形ABCO是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,ZABC^ZADC=60°,

.?.△ABC,△AOC都是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAE=ZACF=60°,

\'AE=CF,

：./\BAE^/\ACF(SAS),

ZABE=ZCAF,

：.ZBGF=ZABE+ZBAG=ZCAF+ZBAG=ZBAC=60°.

(2)；/BAG+NABG=/ABG+/CBM=60°,

：.ZBAG=ZCBM,

,CAD//CB,

：.NAMB=ACBM,

；.NBAG=NBMA,

ZABG=ZABM,

.BG_=AG_

"ABAM"

?盛=迎

,"BGAB，

"."AM=MD=—AD=—AB,

22

.AG__1

"BG2"

(3)設(shè)4M=Z)M=x,連接CM,

*.*/\ACD是等邊三角形，

：.CM±ADf

：.CM=y/3AM=y/3x,

U：AD//CB,

C.CMA.BC,

：.ZBCM=90°,

'：AD=BC=2x,

,8M=,BC2KM2=Q,

'：/XBAG^/XBMA,

.AB=BM

'"BGAB"

.2x=V?x

""BG~2^'

：.BG=^-x,

7_

.BG=BC=277

"CBBM

'：NCBG=NCBM,

:.ACBGSAMBC,

:.NBGC=NBCM=90°,

：.BGLCG.

21.如圖1,Rtz\A8C中，乙4cB=90°,AC=6cm,BC=8an,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速

度向點(diǎn)4勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2的的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒

(0</<2),連接PQ.

(1)若△BPQ與AABC相似，求f的值；

(2)(如圖2)連接A。，CP,若4QLCP,求f的值.

【解答】ft?：(1)①當(dāng)△BPQS/XBAC時(shí)，

...里^^,BP=3t,QC=2t,AB=\0cm,BC=8cm,

BABC

?.?8-2t—3t>

108

?32

??t=;

23

②當(dāng)ABPQsABCA時(shí)，

,■BPBQ

?而后’

?.3t?8-2-ty

108

.20

,-t~

，t=^"或型時(shí)，△BPQ與△ABC相似；

2311

（2）如圖所示，過(guò)P作于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,

則有P8=3r，PM=1-fHC=8-?t，

DDO

VZNAC+ZNCA=90°,NPCM+/NC4=90°,

/M4C=/PCM且/ACQ=/PMC=90°,

/\ACQ^/\CMP,

.ACCQ

??麗話，

.6_2t

,?012=9

bb

解得：tW；

12

22.如圖1,在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，NBAC=N

AGF=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若AAFG繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，AF、4G與邊BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)。、E（點(diǎn)力不與點(diǎn)B

重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明；

（2）ZXABC的斜邊BC所在的直線為x軸，8C邊上的高所在的直線為了軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）.在

邊BC上找一點(diǎn)D使BD=CE,求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證Ba+CE2=D岸;

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（2）中的等量關(guān)系是否始終成立？若成立請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

?.'N84E=N8AO+45°,/C￡>A=/8AO+45°,

：.ZBAE=ZCDA.

又NB=/C=45°,

/XABE^/XDCA.

(2),:BD=CE,

：.BE=CD.

\'AB=AC,ZABC=ZACB=45°,

：.△ABE絲△ACD

：.AD=AE.

VABAEVACDA,

:.CD=AB=?易得CO=1.

/.0D=V2-1,那么點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1-V2?0).

,:BD=2-近,C￡=2-V2，DE=2-2BD=2-j2-2,

：.BD2+CE1=DE1.

（3）成立.

證明：將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△48”的位置，則