高考數(shù)學(xué)平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)文科

《平面向量》教學(xué)設(shè)計(jì)文科

一.考綱要求

平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容是高考命題的基本素材和主要背景之一，也是近幾年高

考的熱點(diǎn)。向量有著極其豐富的實(shí)際背景，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一。

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，它同時(shí)具有代數(shù)的運(yùn)算性和幾何的直觀

性，是數(shù)形結(jié)合的典范。向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)

用，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯。

（一）、2016考試說明及解讀

知識(shí)要求

內(nèi)容了解掌握

理解（B）

（A）（C）

平面向量平面向量的相關(guān)概念

平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義

向量的線性運(yùn)算

平面向量的線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義V

平面向量的基本定理V

平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

平面向量的基本

用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘

定理及坐標(biāo)表示

運(yùn)算

用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件V

平面向量數(shù)量積的概念V

數(shù)量積與向量投影的關(guān)系V

平面向量的數(shù)量

數(shù)量積的坐標(biāo)表示V

積

用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

向量的應(yīng)用用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題V

說明：近三年考綱沒有變化

（-）近三年全國(guó)卷部分考題展示：平面向量與解三角形交匯的題目

年份考題考點(diǎn)解析

6.設(shè)D,E,F分別為AA8C的三邊8C,CA,A8的中

點(diǎn)，則而+正'=()A.4DB.頻)C.jsCD.BC向量的運(yùn)算與解三角

2014年

形

已知在△ABC中，|反1=10,前石=-16,。為邊

向量的運(yùn)算與解三角

2015年BC的中點(diǎn)，則|由）|等于（）A.6B.5C.4D.3形

考查平面向量的坐標(biāo)

(3)己知向量應(yīng)=(2,2),BC=(2,2),

運(yùn)算及與解三角形的

2016年

則ZABC=交匯

(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°

（三）2016年全國(guó)卷（文科）數(shù)學(xué)考查平面向量的情況統(tǒng)計(jì):

3個(gè)選擇題和7個(gè)填空題，其中有3道題是平面向量與解三角形的交匯

（四）考情分析

1.考查題型主要是以選擇、填空為主，分值為10分左右，基本屬容易題，也可以為中檔的

解答題.

2.考查內(nèi)容主要是平面向量的共線與垂直的充要條件，平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算,

平面向量的應(yīng)用等.

（五）高考預(yù)測(cè)

1.預(yù)計(jì)本章在今后的高考中，還將以向量的線性運(yùn)算、向量的夾角、模、數(shù)量積為命題熱點(diǎn),

將更加注重向量與其他知識(shí)的交匯，以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能為主.

2.題型主要以選擇、填空為主，因此訓(xùn)練題的難度多數(shù)應(yīng)該控制在中檔即可，要適當(dāng)增加以

向量為載體考查平面幾何，三角函數(shù)，解析幾何，數(shù)列，不等式等問題的綜合訓(xùn)練.

3.對(duì)于能力型高考題的準(zhǔn)備，向量具有基礎(chǔ)知識(shí)的特點(diǎn)，是一種工具性和方法性知識(shí)，更要

立足基本知識(shí)，基本方法，基本技能。

二.復(fù)習(xí)目標(biāo)

1、通過平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，強(qiáng)化對(duì)平面向量基本概念的理解及提高向量運(yùn)算

求解能力。

2、通過向量與其它知識(shí)交匯的題型，體會(huì)向量的工具性作用。特別是要關(guān)注向量與三角函數(shù)、

解三角形、解析幾何的結(jié)合。

3、關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法在本章中的滲透：

思想方法：數(shù)形結(jié)合的思想、類比的思想、分類討論的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的

思想等。

解題方法：基向量法、坐標(biāo)法、待定系數(shù)法、幾何作圖法、函數(shù)法等。

三.專題知識(shí)體系構(gòu)建的方法與總體構(gòu)思（復(fù)習(xí)計(jì)劃）

（一）進(jìn)度安排

本專題共有四講內(nèi)容：

第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

第二講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第三講平面向量的數(shù)量積

第四講平面向量應(yīng)用舉例

前三講每講3課時(shí)，第四講4課時(shí)，包括作業(yè)評(píng)講，測(cè)試及評(píng)講，共需兩周時(shí)間。

(二)知識(shí)結(jié)構(gòu):

小零向量、單位同

i-gW]-------------1

-I三角形法則|T平面向*基本朝H向量的坐號(hào)祠

-I平行四邊形法則I-?

T平行向量基本定理I----------

」兩個(gè)向量垂直的病-----------1向量的應(yīng)用|~~

(三)學(xué)情分析

在文科高考備考中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)平面向量這一塊知識(shí)不夠重視：

1、知識(shí)遺忘厲害，需在知識(shí)點(diǎn)的梳理上下功夫；

2、概念理解模糊，需在概念的辨析上強(qiáng)化練習(xí)；

3、數(shù)形轉(zhuǎn)換不靈活，需在運(yùn)算中突破這一難點(diǎn)。

因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)堅(jiān)持在廣泛應(yīng)用向量的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生掌握向量的思想方法，

并借助于向量，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、審美的觀點(diǎn)、進(jìn)行縱橫聯(lián)系，廣泛聯(lián)想，將各

部分的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行合理重組和整合，充分展示應(yīng)用向量的過程；體現(xiàn)向量

法解題的簡(jiǎn)單美、和諧美，就能充分體現(xiàn)“向量”在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面的教學(xué)價(jià)值。

四.重點(diǎn)知識(shí)強(qiáng)化策略(常見題型和解題方法)

1、平面向量的線性運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算

掌握平行四邊形法則、三角形法則、向量共線的充要條件、平面向量基本定理、線性

運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算。

1、坐標(biāo)運(yùn)算

典例1]1)、已知點(diǎn)A(2,3),B(-1,5),且有AC=3AB,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

()。

A.(-7,9)B.(-3,4)C.(-5,7)D.(-7,7)

2)、已知向量方=(1,2),b=(-2,m),且則2。+39=O。

A.(-2,-4)B.(—3,~6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)

2、運(yùn)用基向量法運(yùn)算的題型

—■1—-—1—

典例2]、如右圖所示，在A43O中，OC=—04,OD=—OB,AD與BC

42

相交于點(diǎn)也設(shè)。4=a,OB=h,試用和表示向量。

解析]令OM=xa+yb(x,yeR)B

則AM-OM-OA-xa+yb-a-(x-l)a+yb.

AD=OD-OA=-OB-OA=^a+-b又/、K〃三點(diǎn)共線

22

，存在唯一實(shí)數(shù)普使而=，而EP(x-l)a+yb=t(-a+^b)

x-\=-t

「?v1，消去看得x+2y=1①0

同理依據(jù)反肌C共線得4x+y=l②

1Q----1->4f

由①②得X=—,y=二，OM=-a+-b.

7777

方法規(guī)律］本題難點(diǎn)是找不到問題的切入口，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生用已知基底，來表示

另一些向量，盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去，利用共線建立方程組，

用方程的思想求解。

(二)數(shù)量積運(yùn)算

設(shè)計(jì)意圖］通過例3、例4鞏固數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。

1.坐標(biāo)運(yùn)算

典例3]1)、已知向量M=(3,1),B=(x,-3)且則x=()o

A.-3B.-lC.1D.3

2)、在QBCD中，元=(1,4),麗=(—5,0)則而?礪=o

2.可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的題型

典例4］已知之3是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足

(a-c)*(h-c)=0,則同的最大值是()

A.1B.2C.V2D.—

2

解析］方法一建系，用坐標(biāo)法求解

方法二作圖，用幾何法求解

令OA=a,OB=b,OC=c

作圖a-c=CA,b-c=CB

CA?CB=Q

.-.CA1CBC在以AB為直徑的圓上。

c=ra=|詞=后

maxIImaxIImax

方法規(guī)律］1、當(dāng)條件中出現(xiàn)兩向量的模已知且垂直時(shí)，可考慮建系，運(yùn)用坐標(biāo)法

求解。

2、若作出和向量，差向量發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)特殊位置關(guān)系時(shí)，也可用幾何法求解。

此二法均可讓學(xué)生體會(huì)化歸思想在求解中的應(yīng)用。

典例4］鞏固練習(xí)

①.在AABC中，ZC=90°,且C4=CB=3,點(diǎn)"滿足麗=2萬7,則

CMCA=.

②.在矩形ABCD中，設(shè)AB、的長(zhǎng)分別為2,1,若KN分別是況'、CD

上的點(diǎn)，

且滿足世1=撤，則而?麗的取值范圍是.

\BC\\CD\

3.利用數(shù)量積的定義和幾何意義求解的題型。

設(shè)計(jì)意圖］靈活運(yùn)用數(shù)量積的定義和幾何意義解題是一個(gè)難點(diǎn)，可通過例5強(qiáng)

化向量的模、夾角、數(shù)量積運(yùn)算，鞏固學(xué)生在線性運(yùn)算中學(xué)到數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。

典例5］

1）已知非零向量，滿足I|=］|=|-1則向量與+的夾角為O

答案：-

6

方法規(guī)律］方法一，利用夾角公式求解；方法二利用幾何作圖求解。

2）已知同=1，W=J5

①若，與人的夾角為三，求歸+可；

②若5-B與。垂直，求。與3的夾角。

解析］①

\a\=1,|^|=V2,<a,b>=告

...B+同=Va2+2a*5+S2

=V3+V2

②

v(d-h)La

/.{a-b^a=0即5=a2

一ra^ba21_V2

J.COS<a,b>=------=----FZi

I巾W\a\.\b\1?"2

又<0,B>e[0,71]

:.<a,b>=-

4

方法規(guī)律］掌握夾角與模的相關(guān)運(yùn)算方法，關(guān)注常用公式：

同=cos<a,h>-"o

同明

3)如右圖，在平行四邊形4題中，APYBD,

垂足為尸，且AP=3,貝ijA戶工6=

答案：18

方法規(guī)律］方法一，利用數(shù)量積的幾何意義求解；方

法二，利用三角形法則求解。

(三)向量的應(yīng)用：向量與其它知識(shí)的交匯

交匯問題剖析

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有代數(shù)與幾何的雙重身份，作為工具，

平面向量可以與其他知識(shí)自然交匯在一起，使數(shù)學(xué)問題的情境新穎別致、和諧融

合，既體現(xiàn)了知識(shí)的交匯綜合，又凸現(xiàn)了向量的重要作用，也成為了高考中的熱

點(diǎn)題型.

設(shè)計(jì)意圖］在一輪復(fù)習(xí)中，向量安排在三角函數(shù)與解三角形之后，可通過例6、

7、8,以向量作為載體鞏固三角函數(shù)與解三角形中的相關(guān)運(yùn)算，收到一箭雙雕的

效果。

1、向量與三角函數(shù)的交匯

典例6]已知向量a=(sinx,cosx),3=(sinx,sinx),c=(-l,0).

①若x=工，求向量與的夾角；

3

②若巴］,求函數(shù)/(x)=a4的最值；

84

③函數(shù)/(x)的圖象可以由函數(shù)y=掾sin2x(xwR)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得

到？

解：(t)x=^,|a|=^sin2y+cos2y=1.又|c|=1,

?-c=-sin—+0=-^~,設(shè)、的夾角為a,

32

?a-cV3.54

?coscr=------??oc=—

T6

②f(x)=a-b=(sinx,cosx)?(sin%,sinx)=sin2x+sinxcosx

1-cos2x1._1.-1_1V2.小%、1

-------------1——sin2x=—sin2x—COSZXH—=—sin(2x----)H—,

22222242

X€-7T<2x--<—,

8444

???當(dāng)x=￡時(shí)f(x)=max=1；當(dāng)％=時(shí)，/(x)min=1f

③先把y=，Zsin2x的圖象上的所有點(diǎn)向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

28

y=#sin(2x-()的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，

就得到

y=^^sin(2x-?)+g的圖象.

方法規(guī)律］解決向量與三角知識(shí)的綜合題的關(guān)鍵是把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的有

關(guān)運(yùn)算，然后再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算(即坐標(biāo)運(yùn)算).

2、與三角變換的交匯

典例7］設(shè)向量a=(4cosa,sina),h=(sin⑸4cos0,c=(cos/?,-4sin/?).

①若與1一2c垂直，求tan(6Z+/?)的值；

②求+N的最大值；

③若tanatan/?=16,求證：〃,

解析］①因?yàn)榕c各一2c垂直，所以。?(3-2c)=4cosasin/?-8cosacos/?+

4sinofcos/?+8sincrsin/?=4sin(a+/?)-8cos@+/?)=0

因此tan(a+/7)=2.

(2)由B+c=(sin/?+cos/?,4cos〃-4sin/3)得

|否+c|=J(sin。+cos0)2+(4cos/?—4sin/7)2=J17—15sin2/?<4A歷.

且當(dāng)夕=Z%-工(AwZ)時(shí)，等號(hào)成立，

4

所以|B+3的最大值為40.

@證明由tanatan尸=16,得生上4=心匕，所以〃.

sin(34cos尸

方法規(guī)律］利用向量的數(shù)量積和模的概念等去向量的外衣，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問

題，即可解決。

3、與解三角形的交匯

典例8］在A4BC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足

A2V5-77;2

cos—=----AB-AC=3.

259

①求AABC的面積；

②若/?+c=6,求a的值.

解析］:①因?yàn)閏os(=2『，

所以COSA=2COS24-i=3,sinA=±,

255

又由AC=3得此cosA=3,所以。c=5,

因此5.,?c=-/?csinA=2.

②由(1)知，bc=5,又加c=6.

所以b=5,c=l,或b=l,c=5.

由余弦定理，得/=〃+。2—2bccosA=20,所以a=2百.

方法規(guī)律］向量知識(shí)與解三角形的交匯問題，應(yīng)重視正、余弦定理，以及三角

形面積公式的應(yīng)用.

4、與平面幾何的交匯

設(shè)計(jì)意圖］以三角形四心問題為載體，讓學(xué)生熟悉平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量

積的運(yùn)算法則，可滲透化歸的思想，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用運(yùn)算法則的解題能力。

典例9］三角形四心問題

①、已知點(diǎn)0、N、尸在AABC所在的平面內(nèi)，且|而=|為RnJ,

麗+麗+汨=6,

PAPB=PBPC=PCPA,則點(diǎn)0、N、P依次為MBC的

解析］①：IOA|=|OB|=|OC\,，|OA|=|OB|=|OC|：.0為AA3C的外心.

②取比的中點(diǎn)〃由麗+麗+近=。，麗=—(麗+汨)=—2礪

，AN=2ND即|AN|=2|ND|為A4BC的重心

③由西?麗=麗?正得麗(西一丙=().?.而石=0,BPPBVCA

同理PALBC,PCIAB為A4BC的垂心.

...點(diǎn)0、%、/依次為A4BC的外心、重心、垂心.

②。是AABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=OA+〃誓-+,

\AB\\AC\

2G(0,+8),則點(diǎn)尸的軌跡一定通過AA3C的心.

?/A.2JJ......

解析］令0］=——,,e,=——.,則|e,|=|e,|=1.則OP—OA+A(e,+e2)

IAB|■|AC|

：.OP-OA=A(e^+e^),令而=［+［則崩=2而，又丸＞0

.?.尸在射線附上.又二/0平分NBAC.

.?.點(diǎn)尸的軌跡一定通過AA3C的內(nèi)心。

設(shè)計(jì)意圖］在復(fù)習(xí)完平面向量之后，可在復(fù)習(xí)不等式、數(shù)列、解析幾何時(shí)通過例10、

11、12這樣的題型及時(shí)鞏固向量的運(yùn)算求解能力。進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)向量的載體

作用、工具性作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

5、向量與不等式的交匯

典例10］。已知礪=(x,2x),而^(TxZ，如果NBAC是鈍角，則x的取值范圍是

?定義/(加)=(加,〃,〃)，其中必是AABC內(nèi)一點(diǎn)，加、分別是AMBC、

AMCA,AMAB的面積，

已知AABC中，AB-AC=26,NBAC=30。，f(M)=(-,x,y),則一+一的最小

2xy

值是.

-114

答案：(1)(—co,——)U(——,0)U(―?+°°);(2)18

方法規(guī)律］平面向量與不等式交匯問題是高考的?？碱}型之一，應(yīng)注重一元二次不

等式及基本不等式的應(yīng)用.

6、向量與數(shù)列的交匯

典例11］已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S.

。若平面上的三個(gè)不共線的向量力，0B,反滿足后=卬麗+的60無，且

4B、C三點(diǎn)共線,求益。；

sqqq

②求證：點(diǎn)耳（1,」）,W6（3,二），…，月伽,口）在同一直線上.

123n

①解：由力、B、。三點(diǎn)共線，則向量位與前共線，設(shè)麗=九麗（丸是實(shí)數(shù)）,

/.OA-OB=A,（OC-OB）,即有蘇=（1—㈤而+2歷，

XOA=axOB+a2010OC,a,-1—A,a2mQ-A.,故q+a2oio=L

又S,是等差數(shù)列｛4｝的前A項(xiàng)和，

2010(4+42010)_]005

,,$2010

~1.一,

②證明：設(shè)他“｝的首項(xiàng)為a,公差為d,

in（n-V）,.Snn-l,

則miSc—d-------d9??-Q］d-----d,

n2n2

.d----17—1d

又=（1,-）,—-1＞磅=（n-l）（l,-）,

.?.麗=（〃-1）耳耳，即向量而、耳與共線，

sSSV

:?P\、%-三點(diǎn)共線,也即點(diǎn)4（1，,），2（2,」），8（3,二），…,P”（D

123n

在同一直線上.

方法規(guī)律］近幾年向量與數(shù)列知識(shí)相結(jié)合是高考的?？键c(diǎn)，主要以向量為載體

引出數(shù)列知識(shí)的考查，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)練習(xí).

7、向量與解析幾何的交匯

典例12］已知平面上一定點(diǎn)C（2,0）和直線/:%=8,尸為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，

作PQ_U,垂足為0,且（定+3而）?（無一（而）=0

。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

②若"為圓N:/+（），-1產(chǎn)=1的任一條直徑，求而.方的最值.

解析]①設(shè)P(x,y),則。(8,y).

由（無+,而）?（無一,而）=0,得I正/—_L|而|2=0,

224

2

即（X—2）2+y2-l（x-8）=0,

丫2V2

所以點(diǎn)〃在橢圓上，其方程為二+二=1

1612

...........2.2.2

(2)0PE-PF=(PN+NE)-(PN+NF)=(PN+NE)?(PN-NE)=PN-NE=PN-1,

22

又一是橢圓—+2=1上任一點(diǎn)，設(shè)戶(%,九)，

1612

則有9+9=1,即》；=16-也，又N(0,1),

1612°3

----211

所以PN=焉+(兒—1)2=_“：一2%+17=-)(％+3)2+20

因%€［-26,2右］,所以當(dāng)外=-3時(shí)，而?取得最大值20,故而?麗的最

大值為19；

當(dāng)先=2/時(shí)，麗2取得最小值為13-46(此時(shí)/=0),故而?麗的最小

值為12-46.

方法規(guī)律］向量在解析幾何中的作用：

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題

時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間

的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題。

(2)工具作用：利用=〃各=4區(qū)/()),可解決垂直、

平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、

平行問題是一種比較可行的方法.

四、難點(diǎn)突破策略

(―)本章難點(diǎn)

平面向黨的線性運(yùn)算、數(shù)量積間的數(shù)形轉(zhuǎn)換。

(二)難點(diǎn)突破策略

1、復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)

以教材為藍(lán)本以一輪復(fù)習(xí)資料為載體，通過預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)一一小組討論(解決

預(yù)習(xí)中的問題)一一回歸課本、梳理知識(shí)點(diǎn)、強(qiáng)化概念的理解一一典例分析，

師生互動(dòng)，歸納思想方法一一練習(xí)鞏固反饋提升為主線構(gòu)建高效課堂。

2、在概念理解上下功夫

教師可通過一組小題來強(qiáng)化概念的理解：如單位向量、相等向量、零向量、數(shù)

量積中的投影等。

(1)設(shè)，都是非零向量，則下列四個(gè)條件中，一定能使心-+-2=6成立的是

M聞

()

A.a=--bB.//C.a=2bD.±

3

答案A

(2)AABC的外接圓的圓心為O,AB=2,A(=3,BC=J7,則布?麗=.

答案：-

2

(3)定義兩個(gè)平面向量的一種運(yùn)算“(8)辦=|a|?向sin〈a,B〉，則對(duì)于兩個(gè)平面

向量，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.a?h=b?aB.A(a?b)=(Aa)?b

C.(a0b)2+(a-b)2=\a\2-\b\2

D.若a=(x，y),b=(x2,y2),則=|王必一看,I

答案：B

(4)設(shè)0為兩個(gè)非零向量，的夾角.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|3+G|的最小值為1

()

A.若。確定，則||唯一確定B.若。確定，則|唯一確定

C.若|確定，則。唯一確定D.若」確定，則。唯一確定

答案：B

3、抓住平面向量中兩種主要方法：基向量法和坐標(biāo)法

(1)能轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的可考慮建立平面直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法求解(條件

中有已知兩向量的模和夾角比較特殊時(shí))；

(2)不能轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)滲透函數(shù)、方程的思想靈活運(yùn)用基向量法求解；

?.已知在AABC中，N4"為鈍角，AC=BC=l,cd^xCA+yCB,且

——?——?——?

x+y=l.若函數(shù)—的最小值為券，貝||。。|的最小值為

答案4

(2).設(shè)61為AABC的重心，若￡120。，ABAC=-l,貝U|4G|的最小值為

)

A.3民立C.1D,1

3334

答案：B

（3）.已知A4BC的外接圓的圓心為0,半徑為1,若3蘇+4為+5。己=6,則

AA3C的面積為（）

A.-B.-C.—D.-

52105

4、重視向量運(yùn)算的幾何意義，運(yùn)用幾何作圖法解題。

典例］已知向量為=（2,0）,向量反=（2,2）,向量值=（正cosa,V^sinc）,

則向量次與向量麗的夾角的取值范圍是.

答案：［工，工加

1212

5、關(guān)注兩個(gè)重要結(jié)論在解題中的作用

1）在A4BC中，若D為BC的中點(diǎn)，則A6+AC=2AZ）

"?..3.

2）若0A與08不共線，且OC=/IOA+〃OB,則A、B、C共線的充要條件

2+4=1O

五、訓(xùn)練題的選擇及其意圖

試題以平面向量為主線，重點(diǎn)考查向量共線、垂直、數(shù)量積、模等運(yùn)算

及應(yīng)用問題并穿插集合、邏輯、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形等已復(fù)習(xí)知

識(shí)，讓學(xué)生全面檢查所學(xué)知識(shí)，方法是否掌握，常見方法是否會(huì)用，常見轉(zhuǎn)化

技巧是否掌握，針對(duì)反饋情況在下一階復(fù)習(xí)中再考查掌握不太好的題型，在滾

動(dòng)中逐步熟練掌握復(fù)習(xí)的內(nèi)容。（附一份試卷）

一、選擇題（每小題5分，共50分）

1.設(shè)集合A={2,lnx},B={x,y］,若405={0},則y的值為（）

A.0B.1C.2D.3

2.命題：“存在xGR+,/?！?一叫刈力”的否定是（）

A.存在xGR',r-log2014XB.任意xGR',w-log2014X

20l420l4

C.存在x￡R‘，x>-log20l4xD.任意xWR',x<-log20l4x

3.已知非零向量，，設(shè)與的數(shù)量積為加，與的夾角為a,貝「'加V0”是“a

為鈍角”的（）

A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件

4.已知點(diǎn)4(1,2),6(-2,6),則與AB共線且同向的單位向量為()

A.(一1'§或(一］，$c.?,一|

5.已知函數(shù)y=/(x)在定義域?yàn)椋跿,2］,函數(shù)y=/(log2X)定義域是()

A.[1,2]B.[0,4]C.(0,41D.[-,4J

6.將函數(shù)y=sin(x+2)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不

6

變)，再向左平移爭(zhēng)個(gè)單位，那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為()

c3萬

A.x=0B.否C.X-7TD.x=—

2

7.在平面直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點(diǎn)4(1,2)與動(dòng)點(diǎn)一(1,與滿足

向量而在向量而上的投影為-石，貝|||9|=()

A.1B.3C.V5D.5

—TTTT

8.如在圖所示為函數(shù)/(%)=2sin(w+e)(0<&<耳，2?°W乃)的

部分圖象，若/(一1)=2,貝U|AB|=()

A.3B.4C.5D.6

9.在三角形4?。中，若(4?一3Ao_LCB,則角］的取值范圍是()

Tt

A.(0,f)B.(0,-]C(■D..

66

一』/+一+這一4在％=2處的切線的斜率為3,則當(dāng)

10.已知函數(shù)/*)

3

/(sina)+/f(cos/?)(?,e[0,2r))取得最大值時(shí)，a+(3=()

3冗

A.0D.71D.

BIT

二、填空題(每小題3分，共35分)

11.若|A8|=8,13cl=5,貝]|AC|的取值范圍是

12.設(shè)a、夕都是銳角，且cosa=*，sin(a+/?)=1,則

cosy?

13.設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為。)內(nèi)分別與x軸、y軸方向相

同的兩個(gè)單位向量，且=—2；+］,OB=4i+3j,則AOAB的面積等于

14.已知圓。的直徑為3,在直徑16上取一點(diǎn)〃使而=3而，E,F為另

一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則ZJE?。尸=.

15.在AABC中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

2czsinA=(2sinB+sinC)Z?+(2c+Z?)sinC,則A-.

16.已知Ji，'"。-J-~~=-2tana,則使等式成立的角a的集合為

vl-sinav1+sina

17.已知A45C中，ZA,ZB,/C的對(duì)邊分別為a,b,

c9若a=l,2cosC+c=2b,則AA8C的周長(zhǎng)的取值范圍

是.

三、解答題(共65分)

18.(本小題滿分12分)

△ABC中，力G=3,向量〃2=(血,sinA),n=(cosA,V2)

m-n=2.

(1)求角小

(2)AABC的面積為3,求優(yōu)：

19.(本小題滿分12分)

已知向量a=(cos(2K+V3sin6!K,f(x)),(cos0r,-l)其中。＞0,且。

又函數(shù)/(X)的圖象兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為3萬.(1)求函數(shù)/(X)在區(qū)

間Hr,馬上的值域；

2

(2)若4B,。為AABC三個(gè)內(nèi)角且滿足：

3,

2sinB=cos(A-C)-cos0+C),/(3C)=；,求tanA的值.

20.(本小題滿分13分)

已知向量加=(1,1),單位向量與向量加的數(shù)量積/”?〃=-：!,

(1)求向量；

(2)若向量［=(1,0)且向量］=905423529),其中A、C為MBC

的內(nèi)角，且4B、。依次成等差數(shù)列，求|%+臼的取值范圍.

21.(本小題滿分14分)

22

如圖，橢圓G：q+y2=i和雙曲線。2：3->2=1有公共頂點(diǎn)A、B,P、Q

分別在G、C2且異于A、B點(diǎn)、。直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為

kp42、..且占+k2+1+44=。。

(1)求證：0、P、。共線。

(2)設(shè)耳、鳥分別為C、。2的右焦點(diǎn)，

求婷+婷+婷+左；的值

PFI//QF2,

22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(X)=lnx,g(x)=/(=+#_3x,函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g

(1))處的切線平行于x軸.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)g(x)的極小值；

(3)設(shè)斜率為左的直線與函數(shù)/(x)的圖象交于兩點(diǎn)4>|,必)，B(x2,y2),

其中不〈熱證明」-<k<—.

x2x}

【參考答案】

1-5ABCBD6-10ADCBB

11、3,13]；12、—；13、5；14、-2；15、12QP；

25

rr37r

16、{aa=k7v^2k7T+—<a<lk7r-v—.keZ}；17、(2,3]

18、(1)A=-;(2)AB=2&BC=逐

4

19、(1)(2)tanA=-^^.

222

--A/2A/S

20、(1)〃=(-〃,0)或〃=((),-1)；(2)-y,y-).

21.解：⑴設(shè)尸(和兇),。(乙,必),則

k.+k.+k.+k.=——+——+-+—%—

Xj+2%一2%+2%—2

=2D2*2%

X：-4x；-4

X；―4=_4犬,只-4=4y；4+/+&+/=2：)；+=今一？-

-4%4y-2%2y

=ZLJ——±2_L由K+&+&+々4=0得丫1%2—%玉=0

2y%

即(斗,乂)/心2，S)所以0、P、Q三點(diǎn)共線

(2)耳(g,0),月(石,0)由PF〃QFz知|0P|：|0Q|=73：V5

因?yàn)?、P、Q三點(diǎn)共線，所以3x?=±3...............①

考5

設(shè)直線PQ的斜率為k,則

—+lcx^=\

<4得（”訴=（卜/）考.......②

?一公片=144

22

由①②得k2=2又攵的=/1_=鼻=_工,

2

16-xf-4-4yf4

從而k；+k；+%；+k：=(k、+左2)?+*3+44>—2**2+k3k&)=2(k]+k?)2

2/2

22、(1)a=l；(2)-2.

附錄:

三角函數(shù)微專題教學(xué)設(shè)計(jì)

三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它在解決高中數(shù)學(xué)的問題上具有廣泛的應(yīng)用，是高中

數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一，也是高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容。它對(duì)運(yùn)算求解能力，分析轉(zhuǎn)化能力和邏輯

推理能力要求較高，可作為區(qū)分能力，考查能力的重要手段。因此三角函數(shù)的復(fù)習(xí)要引起我

們足夠的重視，下面我從兩個(gè)部分談?wù)勅呛瘮?shù)的復(fù)習(xí)。

第一部分：三角函數(shù)總體設(shè)計(jì)

一、闡釋考試說明對(duì)該專題的要求

(一)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)三角函數(shù)的要求

(1)任意角、弧度制

了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。

(2)三角函數(shù)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。

②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式g土a,7r±a的正弦、余弦、正切)，能

畫出y=s/cx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。

③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2用，正切函數(shù)在(-f,f)上的性質(zhì)(如

單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等)。

④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:錯(cuò)誤！未找到引用源。

⑤結(jié)合具體實(shí)例，了解錯(cuò)誤！未找到引用源。的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫

出錯(cuò)誤！未找到引用源。的圖象，觀察參數(shù)A,3,◎?qū)瘮?shù)圖象變化的影響。

⑥會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函

數(shù)模型。

(3)三角恒等變換

①經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作

用。

②能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

③能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公

式，但不要求記憶)。

(4)解三角形

①通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一

些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

②能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際

問題。

(-)全國(guó)考試說明對(duì)本專題的要求

1、任意角、弧度制

(1)了解任意角的概念和弧度制的概念。

(2)能進(jìn)行弧度與角度的互化。

2、三角函數(shù)

(1)理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。

(2)能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出三土a,兀土a的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能

畫出y=s加x,y=C05X,y二Sex的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。

（3）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2川上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸

的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在（-1,'）上的單調(diào)性。

（4）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：錯(cuò)誤！未找到引用源。

（5）了解函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的物理意義；能畫出函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的圖

像，了解參數(shù)A,3,0對(duì)函數(shù)圖象變化的影響。

（6）會(huì)利用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函

數(shù)模型。

3、三角恒等變換

（1）會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。

（2）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。

（3）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、

正切公式了解他們的內(nèi)在聯(lián)系。

（4）能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但

不要求記憶）

4、解三角形

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

（2）能運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問

題。

二、本專題可測(cè)的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)、思想點(diǎn)

1、知識(shí)點(diǎn)：本專題的核心知識(shí)是任意角三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖

象與性質(zhì)、正、余弦定理解三角形。

2、能力點(diǎn)：運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力、分析判斷能力。

3、思想點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想。

三、復(fù)習(xí)安排：

第

1講

任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)（1課時(shí)）

講

第2

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式（1課時(shí)）

講

第3

兩角和與差及二倍角公式（2課時(shí)）

講

第4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（2課時(shí)）

講

第5

函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的圖象及應(yīng)用（2課時(shí)）

講

第6

正弦定理、余弦定理及解三角形（2課時(shí)）

講

第7

三角綜合問題（4課時(shí)）

第7講4課時(shí)，包括作業(yè)評(píng)講，測(cè)試卷評(píng)講，本單元復(fù)習(xí)共需兩周時(shí)間。

四、全國(guó)I卷考點(diǎn)分布與考查概況:

年份題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)

（1）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（單調(diào)性）；

20129,1717

（2）解三角形.

（1）三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)（最大值）

201315,1717

（2）解三角形.

（1）三角函數(shù)定義；

20146,8,1615（2）三角恒等變換；

（3）解三角形.

（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角恒等

變換；

20152,8,1615*應(yīng)）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；

（3）解三角形.

（1）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)；

201612,1717

（2）解三角形.

1.考查題型：一般為三個(gè)小題（兩道選擇題，一道填空題），或一小一大（一個(gè)選擇題，

一個(gè)解答題），分值為15分或17分，從近幾年的考查來看，屬于中低檔難度.

2.考查內(nèi)容：小題重在基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、三角恒等變換、

解三角形；大題側(cè)重于對(duì)解三角形問題的考查，主要考查三角恒等變換與解三角形.

五、高考預(yù)測(cè)：

預(yù)計(jì)本專題在今后的高考中，主要考查以下三個(gè)方面的內(nèi)容：

1.三角函數(shù)定義與三角恒等變換（主要考三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題）

2.三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

3.正弦定理、余弦定理解三角形

三角函數(shù)部分，依然強(qiáng)調(diào)對(duì)基本知識(shí)和基本方法的考查。近幾年高考突出“能力立意”，

加強(qiáng)了知識(shí)的綜合性和