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第四節(jié)求通項公式第七章數(shù)列核心考點·分類突破核心考點·分類突破模型一形如an+1=pan+q[例1](1)數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,則a2025等于(

)A.22024-1

B.42024-1C.22024+1

D.42024+1【解析】選B.因為an=4an-1+3(n≥2),所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),所以{an+1}是以1為首項,4為公比的等比數(shù)列,則an+1=4n-1.所以an=4n-1-1,所以a2025=42024-1.

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2n+n解題技法形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)第①步:假設將遞推公式改寫為an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;第②步:由待定系數(shù)法,求出x,y的值;第③步:寫出數(shù)列{an+xn+y}的通項公式;第④步:寫出數(shù)列{an}的通項公式.

模型三形如an+1=pan+qn[例3]在數(shù)列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,則an=

.

【解析】方法一:原遞推式可化為an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①比較系數(shù)得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).則數(shù)列{an-4·3n-1}是首項為a1-4×31-1=-5,公比為2的等比數(shù)列,所以an-4·3n-1=-5·2n-1,即an=4·3n-1-5·2n-1.4·3n-1-5·2n-1

(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),則an=

.

【解析】因為an=2an-1+3an-2(n≥3),所以an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=7,所以{an+an-1}是首項為7,公比為3的等比數(shù)列,則an+an-1=7×3n-2①,n≥2,又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3),a2-3a1=-13,所以{an-3an-1}是首項為-13,公比為-1的等比數(shù)列,則an-3an-1=(-13)·(-1)n-2②,n≥2,

解題技法形如an+1=pan+qan-1(其中p,q為常數(shù),且pq≠0,n≥2)第①步:假設將遞推公式改寫成an+1+san=t(an+san-1);第②步:利用待定系數(shù)法,求出s,t的值;第③步:求數(shù)列{an+1+san}的通項

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