第12講 等腰三角形的性質(zhì)和判定（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級人教版）

第12講等腰三角形的性質(zhì)和判定【人教版】·模塊一等腰三角形的性質(zhì)·模塊二等腰三角形的判定·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.【考點1等腰三角形性質(zhì)“等邊對等角”的應(yīng)用】【例1.1】在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，則∠C=（

）A．40° B．70° C．100° D．70°或100°【例1.2】已知O為三邊垂直平分線交點，∠BAC=70°，則∠BOC=_________．【例1.3】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點E、F分別是邊AB、AC上，且AF=EF．若∠CFE=72°，則∠B=【變式1.1】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，則∠CAD的度數(shù)為（A．30° B．25° C．22.5° D．21°【變式1.2】如圖，AB∥CD，AB=CB，∠B=80°，則∠ACD等于（

）A．50° B．55° C．60° D．85°【變式1.3】如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AB=AD=CD．若∠BAD=40°，則∠C的大小為_____度．【例2.2】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，在AD上取一點E，連結(jié)CE，使得AE=CE，若∠ECD=20°，則∠B=_____．【例2.3】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：DF=DE．（不證△BFD≌△CED）

【變式2.1】如圖AD，BE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC，∠CAD=20°【變式2.2】如圖，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，BF=8，則DE的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2.3】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AM是△ABC的高，將△AMB沿AM折疊得到△AMN，點N落在線段MC上．(1)求∠MAN的度數(shù)．(2)過點N作∠ANC的平分線NO交AC于點O，若AC=8，求AO的長．模塊二模塊二等腰三角形的判定等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.【考點1等腰三角形的判定】【例1.1】△ABC的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a(chǎn):b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【例1.2】如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E，若DE=5，BD=3，則線段CE的長為（

）

A．2 B．1 C．3 D．4【例1.3】已知：在△ABC中，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E、F，且DE=DF．求證：△ABC是等腰三角形．【變式1.1】如圖，△ABC≌△DEF，點E在AC上，B，F(xiàn)，C，D四點在同一條直線上．若∠A=40°,∠CED=35°，則下列結(jié)論正確的是（

A．EF=EC,AB=FC B．EF≠EC,AE=FCC．EF=EC,AE≠FC D．EF≠EC,AE≠FC【變式1.2】如圖，在長方形ABCD中，AD=5，將長方形沿BD折疊，點A落在點E處，DE與BC交于點F，且BF=3，則EF的長為______．【變式1.3】我們知道，如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．證明這種文字性命題一般思路為：畫草圖，寫出已知求證并證明．按以上思路完成下面的作圖與填空．求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC．求證：AB=AC．證明：用直尺和圓規(guī)作∠CAE的平分線AD．（只保留作圖痕跡）∵AD∥BC，∴①，②，∵AD平分∠CAE，∴③，∴④，∴AB=AC（等角對等邊）．【考點2等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】【例2.1】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，連接DF，交AC于點E，連接BE，若∠A=∠ABE=46°，則∠F的度數(shù)是(

)A．20° B．23° C．44° D．30°【例2.2】如圖所示，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD//BC，則圖中等腰三角形的個數(shù)有________【例2.3】請將下面的證明過程補充完整．已知：如圖，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點E，且AB=AE．求證：∠ABC=∠ACB．證明：∵CE∥AD，∴∠BAD=________（兩直線平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（_____________）．∵∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=_____________（等量代換），∴AE=AC（____________）．∵AB=AE，∴AB=AC（等量代換），∴∠ABC=∠ACB（___________）．【變式2.1】如圖，AD⊥BC于點D，D為BC的中點，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點O，連接OC，若∠AOC=125°，則∠ABC為（）A．80° B．70° C．50° D．60°【變式2.2】如右圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，BF是△EBD的角平分線，若∠BAD=45°，則【變式2.3】如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R．若AQ=AR，求證：△ABC是等腰三角形．模塊三模塊三課后作業(yè)1．等腰三角形的周長為16，其一邊長為4，那么它的底邊長為（

）A．6 B．4 C．8 D．4或82．下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（

）A．a(chǎn)=3，b=3，c=4 B．a(chǎn)：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：23．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若BD=4，DE=7，則線段A．3 B．4 C．3.5 D．24．如圖，點P是∠AOB的角平分線OC上一點，點Q是OA上一點，且PQ∥OB，若PQ=2，則線段OQ的長是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．25．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點A，B在格點上，若點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中線，BE是角平分線，AD與BE交于點O，則∠AOB的度數(shù)為（）A．130° B．125° C．120° D．115°7．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB=AC=BD．若∠B=50°，則∠CAD的度數(shù)為（A．10° B．15° C．20°8．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分線交AD于點E，則9．聰明的小斐同學(xué)這樣檢查他的課桌桌面是否水平：如圖，在等腰直角三角尺斜邊中點O處拴一條繩，繩的另一端掛一個重物，把這塊三角尺的斜邊貼在桌面底部，結(jié)果繩子經(jīng)過三角尺的直角頂點，由此得出桌面是水平的（即掛重物的繩與桌面垂直），小斐用到的數(shù)學(xué)原理是____________．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一條角平分線，若∠BDC＝72°，則∠A的度數(shù)為_____．11．如圖，△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，在射線BA上找一點D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為_____．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是__________．13．如圖，已知點D在△ABC的邊AB上，且AD=CD．

(1)用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并把證明過程補充完整．判斷：DE①AC，理由如下：∵AD=CD（已知）∴∠A=②（

③

）又∵DE平分∠BDC（已知）∴∠BDC=2∠CDE（

④

）又∵∠