高考數(shù)二輪專題突破 （預(yù)測演練+提能訓(xùn)練）第1部分 專題六 第4講 高考中的概率解答題型（以真題和模擬題為例） 理

《創(chuàng)新方案》屆高考數(shù)學(xué)（理科）二輪專題突破預(yù)測演練提能訓(xùn)練（浙江專版）：第1部分專題六第4講高考中的概率解答題型（以年真題和模擬題為例，含答案解析）1．某中學(xué)經(jīng)市人民政府批準(zhǔn)建分校，工程從年年底開工到年年底完工，分三期完成．經(jīng)過初步招標(biāo)淘汰后，確定由甲、乙兩家建筑公司承建，且每期工程由兩公司之一獨(dú)立承建，必須在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權(quán)的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4).(1)求甲、乙兩公司各至少獲得1期工程的概率；(2)求甲公司獲得的工程期數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)由題意，甲、乙兩公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權(quán)是相互對立的，所以乙公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權(quán)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(3,4).法一：記“甲、乙兩公司各至少獲得1期工程”為事件A，記“甲公司獲得1期工程，乙公司獲得2期工程”為事件B，記“甲公司獲得2期工程，乙公司獲得1期工程”為事件C.P(B)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,4)＝eq\f(13,32)；P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(13,32).因?yàn)槭录嗀包含事件B和事件C，且事件B，C互斥，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(13,32)＋eq\f(13,32)＝eq\f(13,16).法二：記“甲、乙兩公司各至少獲得1期工程”為事件A，記其對立事件為eq\x\to(A)，則eq\x\to(A)表示事件“甲公司獲得3期工程或乙公司獲得3期工程”．則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(1,2)×\f(1,4)＋\f(1,4)×))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(3,4)))＝eq\f(13,16).(2)由題意知，ξ表示甲公司獲得的工程期數(shù)，其所有可能的取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,32)；P(ξ＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,4)＝eq\f(13,32)；P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(13,32)；P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,32).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(3,32)eq\f(13,32)eq\f(13,32)eq\f(3,32)數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(3,32)＋1×eq\f(13,32)＋2×eq\f(13,32)＋3×eq\f(3,32)＝eq\f(3,2).2．(·山東高考)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3.由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以，甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為eq\f(8,27)，以3∶2勝利的概率為eq\f(4,27).(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由題意，知隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27)，又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(3,27).故X的分布列為X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)所以E(X)＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(3,27)＝eq\f(7,9).3．(·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq\f(4,16)×eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X＝400)＝1－eq\f(4,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)E(X)＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝506.25.4．(·湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)所種作物總株數(shù)N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,12)＝36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3＋3＋2＝8種．故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列．因?yàn)镻(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k＝1,2,3,4)，則n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.由P(X＝k)＝eq\f(nk,N)，得P(X＝