第08講 全等三角形的常見模型（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級人教版）

第08講全等三角形的常見模型【人教版】·模塊一“X”型·模塊二共頂點的三角形旋轉(zhuǎn)（手拉手模型）·模塊三一線三垂直型·模塊四中點型·模塊五課后作業(yè)模塊一模塊一“X”型【例1】如圖，AB與CD相交于點O，且O是AB，CD的中點，則△AOC與A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【例2】如圖，線段AC，BD相交于點O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF【例3】如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，試求DE的長．【變式1】如圖，點C是AE上一點，CD交EB于點F，CF=DF，EA∥

模塊二模塊二共頂點的三角形旋轉(zhuǎn)（手拉手模型）【例1】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點，且BC=3BD，△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，則CE的長度為（）A．6 B．5 C．3 D．2【例2】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB＝10°，則∠ABE是()A．75° B．78° C．80° D．92°【例3】如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點C的對應(yīng)點為點C'，C'B'的延長線交A．△ABC?△AB'CC．∠CDC'=∠CAC'【變式1】如圖，已知O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是線段BO延長線上一點，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_____．【變式3】以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連結(jié)BE、CF.（1）你能找到哪兩個圖形可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.（2）試探索BE和CF有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說明理由.模塊三模塊三一線三垂直型【例1】如圖，兩座建筑物AB，CD相距160m，小月從點B沿BC走向點C，行走ts后她到達點E，此時她仰望兩座建筑物的頂點A和D，兩條視線的夾角正好為90°，且EA=ED．已知建筑物AB的高為60m，小月行走的速度為1m/s，則小月行走的時間t的值為（

）A．100 B．80 C．60 D．50【例2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于點E，BD⊥CD于點D，AE=5cm，BD=2cm，則DE的長是（A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm【例3】如圖，已知點O（0，0），P（1，2），將線段PO繞點P按順時針方向以每秒90°的速度旋轉(zhuǎn)，則第19秒時，點O的對應(yīng)點坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）【變式1】如圖，點A，B，D在同一條直線上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．連接CE，試判斷△CBE的形狀，并說明理由．【變式2】如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°,?BC=2,?AC=3，點D在RtΔABC的邊AC上，DC=m，以BD為直角邊在AC同側(cè)作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，連接AE，若A．nm=6 B．m+n=5 C．n-m=1 D．2n=3m【變式3】已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）模塊四模塊四中點型【例1】在△ABC中，AC=6，中線AD=10，則AB邊的長可以是（

）A．30 B．22 C．14 D．6【例2】某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】如下圖，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的長．【例3】我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．【變式1】如圖，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進行證明．【變式2】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC上的一點，BE交AD于點F，已知AE=EF．求證：AC=BF．【變式3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D為BC的中點，AD⊥AB，則AC的長為__________．模塊五模塊五課后作業(yè)1．如圖，將兩根鋼條AA'、BB'的中點O連在一起，使AA'、BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=9，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（

）A．2<AD<16 B．0<AD<16 C．1<AD<8 D．7<AD<93.如圖，ΔABC中，D是邊BC的中點，過點C作CE//AB,交AD的延長線于點E．求證:D是AE的中點．證明:∵CE//AB(已知)，∴∠B=_(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∵D是邊BC的中點，∴BD=(_），(_），在ΔABD和ΔECD中，∠ADB=∠EDCBD=CD∴ΔABD?ΔECD()，∴AD=(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，∴D是AE的中點．4.如圖,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB,則∠APB的度數(shù)______．5．如圖，AB，CD相交于點O，AO=CO，DO=BO，連接AD，6．如圖，AD，BC相交于點O，OB=OC，OA=OD，延長AD到F，延長DA到E，AE=DF，連接

7．（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．如圖，A4,0,B0,6，以B點為直角頂點在第一象限作等腰直角ΔABC，則C9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AEF，延長BC交EF于點D，若BD＝5，BC＝4，則DE＝___．10.如圖1，AD為△ABC的中線，延長AD至E，使DE＝AD．（1）試證明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列問題：如圖2，AD為△ABC的中線，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求證：BG＝AC．11．已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD．(1)如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．直接寫出BD和CE數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點D在線段BC延長線