高考數(shù)一輪復習 第七章 第三節(jié) 空間、線、面之間的位置關系演練知能檢測 文

第三節(jié)空間點、線、面之間的位置關系[全盤鞏固]1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c()A．一定平行B．一定相交C．一定是異面直線D．平行、相交或異面都有可能解析：選D當a，b，c共面時，a∥c；當a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交．2．以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2解析：選B①中，假設存在三點共線，則這四點必共面，與題設矛盾，故①正確；②中，若A、B、C三點共線，則A、B、C、D、E有可能不共面，故②錯誤；③中，如圖所示正方體的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c異面，故③錯誤；④中，空間四邊形的四條線段不共面，故④錯誤，故選B.3．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面解析：選BA選項，l1⊥l2，l2⊥l3，則l1與l3的位置關系可能是相交、平行或異面；B選項正確；C選項，l1∥l2∥l3，則l1、l2、l3既可能共面，也可能異面；D選項，如長方體共頂點的三條棱為l1、l2、l3，但這三條直線不共面．4．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1A．3B．4C．5D．6解析：選C由條件知，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條．5．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α、β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面解析：選D依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．6．(·杭州模擬)如圖，平面α與平面β交于直線l，A，C是平面α內不同的兩點，B，D是平面β內不同的兩點，且A，B，C，D不在直線l上，M，N分別是線段AB，CD的中點．下列判斷正確的是()A．若AB與CD相交，且直線AC平行于l時，則直線BD與l可能平行也有可能相交B．若AB，CD是異面直線，則直線MN可能與l平行C．若存在異于AB，CD的直線同時與直線AC，MN，BD都相交，則AB，CD不可能是異面直線D．M，N兩點可能重合，但此時直線AC與l不可能相交解析：選DA錯誤，若AB與CD相交，則AB，CD共面，當AC∥l時，則AC∥平面β，經過AC的平面ABCD與平面β的交線為BD，則AC∥BD，又AC∥l，故BD∥l；B錯誤，采用反證法，假定直線MN∥l，連接AD，取AD的中點G，連接MG，NG，由于MG∥BD，又MN∥l，由面面平行的推論可證得平面MGN∥平面β，故l∥平面β，易推理AC∥平面β，因為直線AC與l共面且平行同一平面MGN，故AC∥l，又MN∥l，故AC∥MN，此時易證A，B，C，D四點共面，與AB與CD異面不符合，故MN與直線l不可能平行；C錯誤，存在，如經過點N的直線可與AB與CD相交，此時AB，CD可以為異面直線；D正確，若M，N兩點重合，即AC與BD交于一點且相互平分，故四邊形ABCD為平行四邊形，即AC∥BD，易證得直線AC∥平面β，又直線l?β，故AC與直線l必無公共點，即兩直線不可能相交，故選D.7．對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中使三條直線共面的充分條件有________．解析：易知①中的三條直線一定共面；三棱柱三側棱兩兩平行，但不共面，故②錯；三棱錐三側棱交于一點，但不共面，故③錯；④中兩條直線平行可確定一個平面，第三條直線和這兩條直線相交于兩點，則第三條直線也在這個平面內，故三條直線共面．答案：①④8．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．在上面結論中，正確的是________(寫出所有正確結論的序號)．解析：只有當a∥b時，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯，其余都有可能．答案：①②④9．設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出五個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；⑤若a，b與c成等角，則a∥b.其中正確的命題是________(只填序號)．解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③不正確；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故⑤不正確．答案：①10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R證明：(1)如圖所示．因為E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1所以EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD所以EF∥BD.所以EF，BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面．(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設A1A與CC1確定的平面為α，又設平面BDEF為β因為Q∈A1C1，所以Q∈α又Q∈EF，所以Q∈β，則Q是α與β的公共點，同理，P點也是α與β的公共點，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈則R∈PQ，故P、Q、R三點共線．11．已知長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，BC＝3，AA′＝5，求異面直線D′B與AC所成角的余弦值．解：法一：(平移法)如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，連接BD交AC于點E，取DD′的中點F，連接EF，AF，則EF∥eq\f(1,2)D′B，EF=eq\f(1,2)D′B,∴∠FEA是D′B與AC所成的角，∵AE＝eq\f(\r(42＋32),2)＝eq\f(5,2)，EF＝eq\f(\r(25＋25),2)＝eq\f(5\r(2),2)，AF＝eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(\r(61),2)，∴在△FEA中，cos∠FEA＝eq\f(EF2＋AE2－AF2,2EF·AE)＝eq\f(7\r(2),50).法二：(補形法)如圖，在長方體的一旁補一個全等的長方體，則BE∥AC,BE=AC.∴∠D′BE(或其補角)是D′B與AC所成的角，∵D′B＝5eq\r(2)，BE＝5，D′E＝eq\r(89)，∴在△D′BE中，cos∠D′BE＝－eq\f(7\r(2),50)，∴D′B與AC所成角的余弦值為eq\f(7\r(2),50).12.如圖所示，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求證：AC⊥平面ABF；(2)求異面直線BE與AF所成的角；(3)求該幾何體的表面積．解：(1)證明：因為平面ADEF⊥平面ABCD，且交線為AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.又AC?平面ABCD，故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF，所以AC⊥平面ABF.(2)因為ADEF為正方形，所以DE∥AF，所以DE與BE所成的角即為異面直線BE與AF所成的角．連接BD，由(1)易知DE⊥BD.在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝2eq\r(3)，所以tan∠BED＝eq\f(BD,DE)＝eq\r(3)，所以∠BED＝60°，即異面直線BE與AF所成的角為60°.(3)由(1)知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，所以AB＝BC·cos60°＝2，所以△ABF的面積S1＝eq\f(1,2)|AF|·|AB|＝2.同理△CDE的面積S2＝2.等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2eq\r(2)，則它的高為eq\r(7)，所以其面積S3＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(7)＝3eq\r(7).等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，則它的高為eq\r(3)，所以其面積S4＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3).故該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S4＋4＝3eq\r(3)＋3eq\r(7)＋8.[沖擊名校]1．設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0,eq\r(2))B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r(2))D．(1,eq\r(3))解析：選A如圖所示，AB＝eq\r(2)，CD＝a，設點E為AB的中點，則ED⊥AB，EC⊥AB，則ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(\r(2),2)，同理EC＝eq\f(\r(2),2).由構成三角形的條件知0<a<ED＋EC＝eq\r(2)，所以0<a<eq\r(2).2．(·江西高考)如圖所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝()A．8B．9C．10解析：選A如圖所示，∵CE?平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE與正方體的其余四個面所在平面均相交，m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1∴EF與正方體的其余四個面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8.[高頻滾動]1．如圖是底面為正方形、一條側棱垂直于底面的四棱錐的三視圖，那么該四棱錐