高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第三章 第七節(jié) 解三角形應(yīng)用舉例突破熱點(diǎn)題型 文

eq\a\vs4\al(第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例)高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一測量距離問題1．測量距離問題是高考的?？純?nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題．2．高考對此類問題的考查常有以下兩個(gè)命題角度：(1)測量問題；(2)行程問題．[例1](1)(·上海高考)在相距2千米的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離是________千米．(2)(·江蘇高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).①求索道AB的長；②問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？③為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？[自主解答](1)如圖，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，得AC＝AB·eq\f(sinB,sinC)＝2×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq\r(6)千米．(2)①在△ABC中，因?yàn)閏osA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040m.所以索道AB的長為1040m.②假設(shè)乙出發(fā)tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝eq\f(35,37)min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．③由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC,sinB)×sinA＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(5,13)＝500m.乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550m，還需走710m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得－3≤eq\f(500,v)－eq\f(710,50)≤3，解得eq\f(1250,43)≤v≤eq\f(625,14)，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)(單位：m/min)范圍內(nèi)．[答案](1)eq\r(6)測量距離問題的常見類型及解題策略(1)測量問題．首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)行程問題．首先根據(jù)題意畫出圖形，建立三角函數(shù)模型，然后運(yùn)用正、余弦定理求解．如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則這條河的寬度為________．解析：∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AB＝AC，∴河寬為eq\f(1,2)AC＝60m.答案：60m2.如圖，某觀測站C在城A的南偏西20°的方向，從城A出發(fā)有一條走向?yàn)槟掀珫|40°的公路，在C處觀測到距離C處31km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)?，行駛?0km后到達(dá)D處，測得C，D兩處的距離為21km，這時(shí)此車距離A城多少千米？解：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，所以cos∠ADC＝eq\f(1,7)，sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7)，在△ACD中，由條件知CD＝21km，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(5\r(3),14).由正弦定理eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sinA)，所以AD＝eq\f(21,\f(\r(3),2))×eq\f(5\r(3),14)＝15km，故這時(shí)此車距離A城15千米.考點(diǎn)二測量高度問題[例2]某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高．[自主解答]如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD＝40m，此時(shí)∠DBF＝45°.過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝30°.在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，則BD＝eq\f(40sin30°,sin135°)＝20eq\r(2).∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝BDsin15°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq\r(3)－1)m.在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，則AB＝BEtan30°＝eq\f(10,3)(3－eq\r(3))m.故塔高為eq\f(10,3)(3－eq\r(3))米．【互動探究】在本例條件下，若該人行走的速度為6km/h，則該人到達(dá)測得仰角最大的地方時(shí)，走了幾分鐘？解：設(shè)該人走了xm時(shí)到達(dá)測得仰角最大的地方，則xtan30°＝(40－x)tan15°，即eq\f(x,40－x)＝eq\f(tan15°,tan30°)＝eq\r(3)tan15°＝eq\r(3)tan(45°－30°)＝2eq\r(3)－3.解得x＝10(3－eq\r(3))．又v＝6km/h＝100m/min，故所用時(shí)間t＝eq\f(103－\r(3),100)＝eq\f(3－\r(3),10)min.即該人到達(dá)測得仰角最大的地方時(shí)，走了eq\f(3－\r(3),10)分鐘．【方法規(guī)律】解決高度問題的注意事項(xiàng)(1)在解決有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個(gè)關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合．如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為α＝60°，在塔底C處測得A處的俯角為β＝45°，已知鐵塔BC部分的高為24eq\r(3)m，則山高解：由已知條件可得tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，則tan∠BAC＝tan(60°－45°)＝eq\f(\f(BD,AD)－\f(CD,AD),1＋\f(BD,AD)×\f(CD,AD))＝eq\f(BC·AD,AD2＋BD·CD)＝eq\f(24\r(3)·CD,CD2＋24\r(3)＋CD·CD)＝eq\f(12\r(3),12\r(3)＋CD)＝2－eq\r(3)，解得CD＝(36＋12eq\r(3))m.答案：36＋12eq\r(3)考點(diǎn)三測量角度問題[例3]某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．[自主解答](1)法一：設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300)，故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，Smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)海里/小時(shí)，即小艇以30eq\法二：若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较颍O(shè)小艇與輪船在C處相遇，如圖所示．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10eq\r(3)，AC＝20sin30°＝10，又AC＝30t，OC＝vt，故t＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)海里/小時(shí)．即小艇以30eq\r(3)海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，如圖所示則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，即v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2).∵0＜v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)時(shí)，v＝30.故v＝30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．【方法規(guī)律】解決測量角度問題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．解：如題中圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)步驟——解三角形應(yīng)用題的一般步驟2種情形——解三角形應(yīng)用題的兩種情形