高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第三章 第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)突破熱點(diǎn)題型 文

eq\a\vs4\al(第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù))考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判定[例1](1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角；(3)已知角α為第三象限角，試確定2α的終邊所在的象限．[自主解答](1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依題意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)＜2π?－eq\f(3,7)≤k＜eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸．【互動(dòng)探究】在本例(3)的條件下，判斷eq\f(α,2)為第幾象限角？解：∵π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，eq\f(π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋2nπ，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，eq\f(3π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(7π,4)＋2nπ，∴eq\f(α,2)為第二或第四象限角．【方法規(guī)律】象限角和終邊相同角的判斷及表示方法(1)若要確定一個(gè)絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷．(2)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()解析：選A當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，α在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，α在第三象限．2．設(shè)集合M＝，N＝，那么()A．M＝NB．M?NC．N?MD．M∩N＝?解析：選B法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N.考點(diǎn)二弧度制的應(yīng)用[例2]已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；(2)若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？[自主解答](1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l(xiāng)＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.(2)∵扇形的周長為20cm，∴2R＋l＝20，即2R＋Rα＝20，∴S＝eq\f(1,2)R2α＝eq\f(1,2)R(20－2R)＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25，∴當(dāng)R＝5時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)α＝eq\f(20－10,5)＝2，即α＝2弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大．【互動(dòng)探究】解：設(shè)弧形的面積為S，則S＝S扇－S△＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×102×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50π,3)－25\r(3)))cm2.【方法規(guī)律】應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.解析：設(shè)扇形所在圓的半徑為rcm，則扇形的弧長l＝8－2r.由題意得S＝eq\f(1,2)(8－2r)×r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2，即l＝4，故|α|＝eq\f(l,r)＝2.答案：22．已知扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，求弧長l.解：設(shè)扇形的半徑為Rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(6,R)，得R＝4eq\r(3)cm.故l＝|α|·R＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3)π,3)cm.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義[例3](1)(·江西高考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.(2)(·山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為___________．(3)(·日照模擬)已知點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，則角θ是第________象限角．[自主解答](1)r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以θ為第四象限角，解得y＝－8.(2)如圖，連接AP，分別過P，A作PC，AB垂直x軸于C，B點(diǎn)，過A作AD⊥PC于D點(diǎn)．由題意知eq\x\to(BP)的長為2.∵圓的半徑為1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－eq\f(π,2).∴DP＝AP·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，∴PC＝1－cos2，DA＝APcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，∴OC＝2－sin2.故＝(2－sin2,1－cos2)．(3)因?yàn)辄c(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ為第二象限角．[答案](1)－8(2)(2－sin2,1－cos2)(3)二三角函數(shù)定義問題的常見類型及解題策略(1)利用定義求三角函數(shù)值．在利用三角函數(shù)的定義求角α的三角函數(shù)值時(shí)，若角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)是以參數(shù)的形式給出的，則要根據(jù)問題的實(shí)際及解題的需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．(2)三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷．已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況．(3)與向量等問題形成的交匯問題．抓住問題的實(shí)質(zhì)，尋找相應(yīng)的角度，然后通過解三角形求得解．1．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：選A由三角函數(shù)定義可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).2．若三角形的兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則該三角形的形狀為________．解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的兩個(gè)內(nèi)角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β為鈍角．故三角形為鈍角三角形．答案：鈍角三角形3．若角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為________．解析：∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m＞0，eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)—————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1條規(guī)律——三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2個(gè)技巧——三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的