高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第四節(jié) 隨機(jī)事件的概率突破熱點(diǎn)題型 文

第四節(jié)隨機(jī)事件的概率考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系[例1](1)一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)不超過3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4”，則()A．A與B是互斥而非對(duì)立事件B．A與B是對(duì)立事件C．B與C是互斥而非對(duì)立事件D．B與C是對(duì)立事件(2)判斷下列給出的每對(duì)事件是互斥事件還是對(duì)立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都為1～10)中，任取一張．①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；③“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．[自主解答](1)A∩B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對(duì)立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為所有基本事件的全集)，故事件B、C是對(duì)立事件．(2)①是互斥事件，不是對(duì)立事件．原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．②既是互斥事件，又是對(duì)立事件．原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時(shí)發(fā)生的，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．③不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．[答案](1)D【方法規(guī)律】1．互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系．(2)所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中所涉及的．(3)兩個(gè)事件互斥是從“試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)”來確定的．2．從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對(duì)立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件：(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”．解：任取3只球，共有以下4種可能結(jié)果：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個(gè)都不發(fā)生，故不是對(duì)立事件．(2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，可能同時(shí)不發(fā)生，故不是對(duì)立事件．(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有一只白球”不可能同時(shí)發(fā)生，故互斥．其中必有一個(gè)發(fā)生，故對(duì)立．(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對(duì)立事件．高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率1．隨機(jī)事件的頻率與概率有著一定的聯(lián)系，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，可通過計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算事件的概率，因此，它們也成為近幾年高考的命題熱點(diǎn)．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．多為容易題或中檔題．2．高考對(duì)該部分內(nèi)容的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)列出頻率分布表；(2)由頻率估計(jì)概率；(3)由頻率計(jì)算某部分的數(shù)量．[例2](·湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．[自主解答](1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株．列表如下：Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為eq\f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f(102＋192＋270＋126,15)＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq\f(2,15)，P(Y＝48)＝eq\f(4,15).故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq\f(2,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(2,5).【互動(dòng)探究】若本例中的條件不變，試估計(jì)年收獲量介于[42,48]之間的可能性．解：依題意知：法一：P(42≤x≤48)＝P(x＝42)＋P(x＝45)＋P(x＝48)＝eq\f(3,15)＋eq\f(6,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(13,15).法二：P(42≤x≤48)＝1－P(x＝51)＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).隨機(jī)事件的頻率與概率的常見類型及解題策略(1)補(bǔ)全或?qū)懗鲱l率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一計(jì)數(shù)，寫出頻率．(2)由頻率估計(jì)概率．可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計(jì)概率．(3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值．可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，各次訓(xùn)練的成績(jī)?nèi)缦卤恚荷鋼舸螖?shù)100120150100150160150擊中飛碟數(shù)819512382119127121擊中飛碟的頻率(1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中；(2)這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為多少？解：利用頻率公式依次計(jì)算出擊中飛碟的頻率．(1)射擊次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是eq\f(81,100)＝0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為0.81.考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率[例3](·洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？[自主解答]記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.【方法規(guī)律】求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算．(2)間接求法：先求此事件的對(duì)立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就會(huì)較簡(jiǎn)便．提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)難點(diǎn)——對(duì)頻率和概率的理解(1)依據(jù)定義求一個(gè)隨機(jī)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個(gè)常數(shù)，而頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計(jì)”是不同的．也就是說，單獨(dú)一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性．1個(gè)重點(diǎn)——對(duì)互斥事件與對(duì)立事件的理解(1)對(duì)于互斥事件要抓住如下特征進(jìn)行理解：①互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間