高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第一節(jié) 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理突破熱點(diǎn)題型 文

第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理[例1](1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，則有序自然數(shù)對(duì)(x，y)共有________個(gè)．(2)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．[自主解答](1)因?yàn)閤，y∈N*，且x＋y≤6.所以當(dāng)x＝1時(shí)，y有5個(gè)不同的值；當(dāng)x＝2時(shí)，y有4個(gè)不同的值；當(dāng)x＝3時(shí)，y有3個(gè)不同的值；當(dāng)x＝4時(shí)，y有2個(gè)不同的值；當(dāng)x＝5時(shí)，y有1個(gè)不同的值．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有5＋4＋3＋2＋1＝15個(gè)符合條件的有序自然數(shù)對(duì)．(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)為2時(shí)，十位數(shù)只能取1；當(dāng)個(gè)位數(shù)為3時(shí)，十位數(shù)有2種取法；當(dāng)個(gè)位數(shù)取4時(shí)，十位數(shù)有3種取法；…；當(dāng)個(gè)位數(shù)為9時(shí)，十位數(shù)有8種取法．依分類加法計(jì)數(shù)原理知：共有1＋2＋…＋8＝36個(gè)符合條件的兩位數(shù)．[答案](1)15(2)36【互動(dòng)探究】本例(2)中的條件不變，求個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)．解：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個(gè)．同理可知；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有1＋3＋5＋7＋9＝25個(gè)符合條件的兩位數(shù)．【方法規(guī)律】1．分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類．2．使用分類加法計(jì)數(shù)原理遵循的原則有時(shí)分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，但不論是以哪一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則．1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．6解析：選D法一：①公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4；2,4,8；②公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；③公比為eq\f(3,2)時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比數(shù)列，所以共8個(gè)．法二：①當(dāng)q>1時(shí)，分別以1,2,4為首項(xiàng)的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.②當(dāng)0<q<1時(shí)有4,2,1；9,3,1；8,4,2；9,6,4，共8個(gè)．2．(·金華模擬)橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類．第1類：m＝1時(shí)，使n>m，n有6種選擇；第2類：m＝2時(shí)，使n>m，n有5種選擇；第3類：m＝3時(shí)，使n>m，n有4種選擇；第4類：m＝4時(shí)，使n>m，n有3種選擇；第5類：m＝5時(shí)，使n>m，n有2種選擇．由分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的橢圓共有20個(gè)．答案：20考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理[例2]已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點(diǎn)，則(1)P可表示平面上________個(gè)不同的點(diǎn)．(2)P可表示平面上________個(gè)第二象限的點(diǎn)．[自主解答](1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種確定方法；第2步，確定b的值，也有6種確定方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第1步，確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第2步，確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6.[答案](1)36(2)6【方法規(guī)律】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)要注意(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即考慮分步的先后順序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個(gè)事件．(3)對(duì)完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定．1．從－1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答)．解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×3×2＝18個(gè)二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6個(gè)偶函數(shù)．答案：1862.如圖所示，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有________種．解析：電路不通可能是一個(gè)或多個(gè)焊接點(diǎn)脫落，問(wèn)題比較復(fù)雜．但電路通的情況卻只有一種，即各焊接點(diǎn)全未脫落．因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．答案：63高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．2．高考對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題；(2)涂色問(wèn)題．[例3](1)(·福建高考)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14B．13C．12(2)(·煙臺(tái)模擬)如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則涂色方法共有________種．[自主解答](1)當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時(shí)有序數(shù)對(duì)(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．綜上，共有13個(gè)滿足要求的有序數(shù)對(duì)．(2)因?yàn)閰^(qū)域1與其他4個(gè)區(qū)域都相鄰，首先考慮區(qū)域1，有4種涂法，然后再按區(qū)域2,4同色和不同色，分為兩類：第1類，區(qū)域2,4同色，有3種涂法，此時(shí)區(qū)域3,5均有2種涂法，共有4×3×2×2＝48種涂法；第2類，區(qū)域2,4不同色，先涂區(qū)域2，有3種方法，再涂區(qū)域4，有2種方法，此時(shí)區(qū)域3,5都只有1種涂法，共有4×3×2×1×1＝24種涂法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有48＋24＝72種滿足條件的涂色方法．[答案](1)B(2)72與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題．可分類解決，每類中又可分步完成；也可以直接分步解決；(2)涂色問(wèn)題．可按顏色的種數(shù)分類完成；也可以按不同的區(qū)域分步完成．1．(·遵義模擬)某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門(mén)，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一個(gè)部門(mén)；另三名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門(mén)．則不同的分配方案有()A．36種B．38種C．108種D．114種解析：選A分兩步完成，第一步分組有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)種方法；第二步分配到兩個(gè)部門(mén)有Aeq\o\al(2,2)種方法．由分步乘法原理得：共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種分配方案．2．如圖所示，將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法共有________種(以數(shù)字作答)．解析：由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法．當(dāng)S，A，B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見(jiàn)，當(dāng)S，A，B已染好時(shí)，C，D還有7種染法，故有60×7＝420種不同的染色方法．答案：420———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————2個(gè)區(qū)別——兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一每類辦法都能獨(dú)立完成這件事．它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后的結(jié)果，只需一種方法就完成每一步得到的只是其中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類辦法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的各