數學分析三試卷及答案

《數學分析(三)》參考答案及評分標準第11頁共14頁《數學分析》(三)――參考答案及評分標準一.計算題（共8題，每題9分，共72分）。求函數在點(0,0)處的二次極限與二重極限.解：，因此二重極限為.……(4分)因為與均不存在，故二次極限均不存在?！?9分)設是由方程組所確定的隱函數,其中和分別具有連續(xù)的導數和偏導數,求.解：對兩方程分別關于求偏導:，……(4分)。

解此方程組并整理得.……(9分)取為新自變量及為新函數，變換方程。設（假設出現(xiàn)的導數皆連續(xù)）.解：看成是的復合函數如下：。……(4分)代人原方程，并將變換為。整理得：?！?9分)要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省?解：設圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為：求目標函數在約束條件下的最小值，其中目標函數:,約束條件:?！?3分)構造Lagrange函數：。令……(6分)解得，故有由題意知問題的最小值必存在，當底面半徑為高為時，制作圓桶用料最省?！?9分)設,計算.解：由含參積分的求導公式……(5分)。……(9分)求曲線所圍的面積，其中常數.解：利用坐標變換由于，則圖象在第一三象限，從而可以利用對稱性，只需求第一象限內的面積。?！?3分)則……(6分).……(9分)7.計算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時針方向.解：取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面，定向為上側，則的法向量為?！?3分)由Stokes公式得……(6分)……(9分)8.計算積分,為橢球的上半部分的下側.解：橢球的參數方程為，其中且?！?3分)積分方向向下，取負號，因此，……(6分)……(9分)二.證明題（共3題，共28分）。9.（9分）討論函數在原點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導性和可微性.解：連續(xù)性：當時，，當，從而函數在原點處連續(xù)?！?3分)可偏導性：，，即函數在原點處可偏導?！?5分)可微性：不存在，從而函數在原點處不可微?！?9分)10.（9分）（9分）設滿足：（1）在上連續(xù)，（2），（3）當固定時，函數是的嚴格單減函數。試證：存在，使得在上通過定義了一個函數，且在上連續(xù)。證明：（i）先證隱函數的存在性。由條件（3）知，在上是的嚴格單減函數，而由條件（2）知，從而由函數的連續(xù)性得，。現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數。由于，則必存在使得，。同理，則必存在使得，。取，則在鄰域內同時成立，?！?3分)于是，對鄰域內的任意一點，都成立，。固定此，考慮一元連續(xù)函數。由上式和函數關于的連續(xù)性可知，存在的零點使得＝0。而關于嚴格單減，從而使＝0的是唯一的。再由的任意性，證明了對內任意一點，總能從找到唯一確定的與相對應，即存在函數關系或。此證明了隱函數的存在性。……(6分)（ii）下證隱函數的連續(xù)性。設是內的任意一點，記。對任意給定的，作兩平行線，。由上述證明知，。由的連續(xù)性，必存在的鄰域使得，，。對任意的，固定此并考慮的函數，它關于嚴格單減且，。于是在內存在唯一的一個零點使，即對任意的，它對應的函數值滿足。這證明了函數是連續(xù)的?！?9分)11.（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。證明：此積分在上非一致收斂。證明如下：作變量替換，則。……(3分)不論正整數多么大，當時，恒有。……(5分)因此，……(7分)，當時。因此原積分在上非一致收斂?！?10分)注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：盡管對任意的積分一致有界，且函數關于單調，但是當時，關于并非一致趨于零。事實上，取相應地取，則，并非趨于零?！稊祵W分析[3]》模擬試題解答下列各題（每小題5分，共40分）設求；2、求3、設求在點處的值；4、求由方程所確定的函數在點處的全微分；5、求函數在點處的梯度；6、求曲面在點（1，2，0）處的切平面和法線方程；7、計算積分：；8、計算積分：；(10分)求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面。（10分）若是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且，求（10分）計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域.（10分）計算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時針方向。（10分）計算，其中是半球面。（10分）討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。參考答案一、解答下列各題（每小題5分，共40分）設求；解：；。2、求；解：3、設求在點處的值；解：。4、求由方程所確定的函數在點處的全微分；解：在原方程的兩邊求微分，可得將代入上式，化簡后得到5、求函數在點處的梯度；解：。6、求曲面在點（1，2，0）處的切平面和法線方程；解：記在點（1，2，0）處的法向量為：則切平面方程為：即法線方程為：，即。7、計算積分：；解： 而在上連續(xù)，且在[1，2]上一致收斂，則可交換積分次序，于是有原式。8、計算積分：；解：交換積分順序得：求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面。解：設長方體在第一卦限的頂點坐標為（x,y,z），則長方體的體積為：拉格朗日函數為由解得：根據實際情況必有最大值，所以當長方體在第一卦限內的頂點坐標為時體積最大。若D是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且，求解：計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域.解：。計算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時針方向。解：由格林公式：所以計算，其中是半球面。解：討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。解：，而收斂，所以由M判別法知，在內的一致收斂?！稊祵W分析[3]》模擬試題解答下列各題（每小題5分，共40分）1、設，求；2、，求；3、設，求；4、設是方程所確定的與的函數，求；5、求函數在點處沿從點到點的方向導數；6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面，求P點的坐標。7、計算積分：;8、計算積分：；(10分)原點到曲線的最大距離和最小距離。三、（10分）已知，其中為球體：，求四、（10分）計算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。五、（10分）計算，其中為圓周，取逆時針方向。六、（10分）計算，其中為錐面被拄面所割下部分。（10分）討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。參考答案解答下列各題（每小題5分，共40分）1、設，求；解：。2、，求；解：。3、設，求；解：。4、設是方程所確定的與的函數，求；解：方程兩邊求微分，得。5、求函數在點處沿從點到點的方向導數；解：方向即向量的方向，因此x軸到方向的轉角。故所求方向導數為：。6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面，求P點的坐標。解：設P點的坐標為，則P點處的切平面為又因該平面與平面平行，則有，，即。7、計算積分：;解： 而在上連續(xù)，且在[2，3]上一致收斂，則可交換積分次序，于是有原式。8、計算積分：；解：交換積分順序得：原點到曲線的最大距離和最小距離。解：設P（x,y,z）為曲線上任意點，則目標函數為，約