專題23 導數(shù)及其應用大題綜合- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學分項匯編（全國用）

專題23導數(shù)及其應用大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1切線方程及其應用（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷2023·全國乙卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷2022·天津卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全國乙卷、2020·北京卷、2020·全國卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全國卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·山東卷、2017·北京卷、2016·北京卷2016·北京卷、2016·全國卷、2015·重慶卷2015·全國卷、2015·天津卷、2015·山東卷2015·北京卷1.能理解導數(shù)的幾何意義并會求切線方程，會求參數(shù)2.理解函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的關系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，并會求單調區(qū)間，能夠利用導數(shù)解決與函數(shù)單調性的綜合問題，該內容是新高考卷的必考內容，近年來導數(shù)和其他版塊知識點關聯(lián)密集，是新高考備考的重要內容。3.能夠利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值，體會導數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關系，該內容是新高考卷的必考內容，會結合導數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內容，需綜合復習4.能進行函數(shù)轉化證明不等式，會函數(shù)中的恒成立問題與有解問題，會求零點及其應用，會隱零點、雙變量、極偏等內容的學習，都可能成為高考命題方向考點2具體函數(shù)及含參函數(shù)的單調性（10年6考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國甲卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷2018·全國卷考點3含參函數(shù)的單調性（10年10考）2024·全國甲卷、2023·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·浙江卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷2018·天津卷、2018·全國卷、2017·全國卷2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全國卷2017·全國卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·全國卷、2016·北京卷、2016·山東卷2016·四川卷、2016·全國卷、2015·江蘇卷2015·重慶卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·四川卷、2015·北京卷考點4極值最值及其應用（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國甲卷、2023·北京卷2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷2022·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷2021·全國乙卷、2020·北京卷、2019·全國卷2019·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全國卷、2018·全國卷、2017·山東卷2017·江蘇卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·北京卷、2016·山東卷、2016·天津卷2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷2015·山東卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·山東卷、2015·全國卷考點5證明不等式（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國乙卷、2019·北京卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2017·全國卷、2016·浙江卷、2016·全國卷2015·全國卷、2015·湖北卷、2015·福建卷2015·北京卷考點6恒成立與能成立（有解）問題（10年9考）2024·天津卷、2024·全國甲卷、2023·全國甲卷2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷2021·天津卷、2020·山東卷、2020·全國卷2019·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·四川卷2015·四川卷、2015·山東卷、2015·湖南卷2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷考點7零點問題（10年8考）2022·全國乙卷、2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅱ卷2020·浙江卷、2020·全國卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷2018·浙江卷、2018·全國卷、2017·全國卷2016·江蘇卷、2016·北京卷、2016·全國卷2015·江蘇卷、2015·全國卷、2015·全國卷2015·陜西卷、2015·北京卷考點8方程的根（10年4考）2022·浙江卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全國甲卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷考點09雙變量問題（10年6考）2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全國卷2015·湖北卷考點10隱零點問題（10年4考）2023·全國甲卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·全國卷考點11極值點偏移問題（10年4考）2022·全國甲卷、2019·天津卷2016·全國卷、2015·天津卷考點12導數(shù)與其他知識點聯(lián)動問題（10年4考）2024·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅱ卷、2021·全國乙卷考點01切線方程及其應用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；2．（2024·天津·高考真題）設函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；3．（2023·北京·高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；6．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；7．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；8．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；9．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；10．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；11．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：12．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；13．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．14．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；15．（2020·全國·高考真題）設函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．16．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；17．（2018·北京·高考真題）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；18．（2018·北京·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；19．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；20．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明：；（III）證明：當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.21．（2017·天津·高考真題）設，.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：在處的導數(shù)等于0；（ii）若關于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.22．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).(I)當a=2時,求曲線在點處的切線方程；23．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；24．（2016·北京·高考真題）設函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；25．（2016·北京·高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；26．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).（I）當時，求曲線在處的切線方程；27．（2015·重慶·高考真題）設函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；28．（2015·全國·高考真題）已知函數(shù)，．（1）當為何值時，軸為曲線的切線；29．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）設曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；30．（2015·山東·高考真題）設函數(shù).已知曲線在點處的切線與直線平行.（Ⅰ）求的值；31．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；考點02具體函數(shù)的單調性1．（2024·北京·高考真題）設函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調區(qū)間.2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調性；4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；5．（2021·全國甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；6．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；7．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求的單調區(qū)間；考點03含參函數(shù)的單調性1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；2．（2023·北京·高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；4．（2022·浙江·高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；7．（2021·浙江·高考真題）設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；8．（2021·全國甲卷·高考真題）設函數(shù)，其中.（1）討論的單調性；9．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；10．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調性；11．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調性．12．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調性；13．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；14．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；15．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)（1）討論的單調性；16．（2017·天津·高考真題）設，.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調區(qū)間；17．（2017·天津·高考真題）設，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內有一個零點，為的導函數(shù).（Ⅰ）求的單調區(qū)間；18．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調性；19．（2017·全國·高考真題）設函數(shù).（I）討論函數(shù)的單調性；20．（2016·山東·高考真題）設f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區(qū)間；21．（2016·四川·高考真題）設函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）討論f(x)的單調性；22．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調性；23．（2016·北京·高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調區(qū)間.24．（2016·山東·高考真題）已知．（Ⅰ）討論的單調性；25．（2016·四川·高考真題）設函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論f(x)的單調性；26．（2016·全國·高考真題）設函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調性；27．（2015·江蘇·高考真題）已知函數(shù).（1）試討論的單調性；28．（2015·重慶·高考真題）設函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍．29．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論的單調性；30．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）設g（x）為f（x）的導函數(shù)，討論g（x）的單調性；31．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)，其中.（1）設是的導函數(shù)，討論的單調性；32．（2015·北京·高考真題）設函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間和極值；考點04極值最值及其應用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．3．（2023·北京·高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．6．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．8．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．9．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．10．（2021·全國乙卷·高考真題）設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．11．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．12．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).13．（2019·江蘇·高考真題）設函數(shù)，為f（x）的導函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．14．（2018·北京·高考真題）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．15．（2018·北京·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.16．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．17．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）設是的極值點．求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．18．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).(I)當a=2時,求曲線在點處的切線方程；(II)設函數(shù),討論的單調性并判斷有無極值,有極值時求出極值.19．（2017·江蘇·高考真題）已知函數(shù)有極值，且導函數(shù)的極值點是的零點．（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值）（1）求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（2）證明：b2>3a;（3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍．20．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求a的值；（2）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．21．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）令，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.22．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．23．（2016·山東·高考真題）設f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.24．（2016·天津·高考真題）設函數(shù)x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；（Ⅲ）設a＞0,函數(shù)g（x）=|f（x）|,求證：g（x）在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.25．（2016·全國·高考真題）(1)討論函數(shù)的單調性，并證明當>0時，(2)證明：當時，函數(shù)有最小值.設g（x）的最小值為，求函數(shù)的值域.26．（2015·重慶·高考真題）已知函數(shù)在處取得極值．確定a的值；若，討論的單調性．27．（2015·重慶·高考真題）設函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍．28．（2015·山東·高考真題）設函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.29．（2015·湖南·高考真題）已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點，證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列（2）若，則對一切，恒成立.30．（2015·安徽·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)在內的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；（Ⅱ）記，求函數(shù)在上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求滿足時的最大值.31．（2015·山東·高考真題）設函數(shù).已知曲線在點處的切線與直線平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程在內存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；（Ⅲ）設函數(shù)（表示，中的較小值），求的最大值.32．（2015·全國·高考真題）已知.(1)討論的單調性；(2)當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍.考點05證明不等式等證明問題1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．3．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；(2)求證：當時，；(3)證明：．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．5．（2021·全國乙卷·高考真題）設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．6．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當時，求證：；（Ⅲ）設，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．7．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．8．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．9．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）設是的極值點．求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．10．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點，且.11．（2016·浙江·高考真題）設函數(shù)=，．證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．12．（2016·全國·高考真題）設函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）證明當時，；（Ⅲ）設，證明當時，.13．（2015·全國·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當時.14．（2015·湖北·高考真題）設函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求，的解析式，并證明：當時，，；(2)設，，證明：當時，．15．（2015·福建·高考真題）已知函數(shù)，（Ⅰ）證明：當；（Ⅱ）證明：當時，存在,使得對（Ⅲ）確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有．16．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：當時，；（Ⅲ）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．考點06恒成立與能成立（有解）問題1．（2024·天津·高考真題）設函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)若，求的取值范圍．4．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．6．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．7．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．8．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．9．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.10．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．11．（2017·天津·高考真題）設，.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：在處的導數(shù)等于0；（ii）若關于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.12．（2017·全國·高考真題）設函數(shù).（I）討論函數(shù)的單調性；（II）當時，，求實數(shù)的取值范圍.13．（2016·江蘇·高考真題）已知函數(shù).（1）設.①求方程=2的根；②若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；（2）若，函數(shù)有且只有1個零點，求ab的值.14．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.15．（2016·四川·高考真題）設函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論f(x)的單調性；（2）證明：當x＞1時，g(x)＞0；（3）如果f(x)＞g(x)在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.16．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)，其中.（1）設是的導函數(shù)，討論的單調性；（2）證明：存在，使得在區(qū)間內恒成立，且在內有唯一解.17．（2015·山東·高考真題）設函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.18．（2015·湖南·高考真題）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）若對一切恒成立，求的取值范圍．19．（2015·湖南·高考真題）已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點，證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列（2）若，則對一切，恒成立.20．（2015·福建·高考真題）已知函數(shù)，（Ⅰ）證明：當；（Ⅱ）證明：當時，存在,使得對（Ⅲ）確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有．21．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：當時，；（Ⅲ）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．考點07零點問題1．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．4．（2020·浙江·高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：（?。唬áⅲ?．（2020·全國·高考真題）設函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．6．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．7．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.8．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．9．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．10．（2018·浙江·高考真題）已知函數(shù)．（1）若在處導數(shù)相等，證明：；（2）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．11．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求的單調區(qū)間；（2）證明：只有一個零點．12．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.13．（2016·江蘇·高考真題）已知函數(shù).（1）設.①求方程=2的根；②若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；（2）若，函數(shù)有且只有1個零點，求ab的值.14．（2016·北京·高考真題）設函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）設，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（Ⅲ）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.15．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍.16．（2015·江蘇·高考真題）已知函數(shù).（1）試討論的單調性；（2）若（實數(shù)c是a與無關的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值.17．（2015·全國·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當時.18．（2015·全國·高考真題）已知函數(shù)，．（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示中的最小值，設函數(shù)，討論零點的個數(shù)．19．（2015·陜西·高考真題）設（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：在內有且僅有一個零點（記為），且.20．（2015·北京·高考真題）設函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．考點08方程的根1．（2022·浙江·高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）2．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．3．（2021·浙江·高考真題）設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))4．（2021·全國甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．5．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).6．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內存在“點”，并說明理由．考點09雙變量問題1．（2024·天津·高考真題）設函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．2．（2022·浙江·高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調