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文檔簡(jiǎn)介

第5章定積分及其應(yīng)用§5.1定積分的概念§5.2微積分基本定理§5.3定積分的換元積分法和分部積分法§5.4定積分的應(yīng)用§5.2微積分基本定理

一、引例

二、變上限的定積分內(nèi)容提要三、微積分基本定理

根據(jù)定積分的定義，求定積分的值是非常復(fù)雜的，下面我們通過(guò)討論變速直線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系，導(dǎo)出計(jì)算定積分的公式——牛頓—萊布尼茲公式．

一、引例

二、變上限的定積分

設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x

為區(qū)間[a,b]上的一點(diǎn)。由于

x∈[a

,

b]，f(x)

在[a,x]上仍連續(xù)，因此定積分存在。這個(gè)定積分的寫(xiě)法有一個(gè)不方便之處，就是

x

既表示積分上限，又表示積分變量。為避免混淆，我們把積分變量改寫(xiě)成t，于是這個(gè)積分就寫(xiě)成

對(duì)于其他的變限積分函數(shù)利用定積分的補(bǔ)充定義或定積分的可加性均可化為變上限函數(shù)．如．

定理1（原函數(shù)存在定理）若函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)三、微積分基本定理

定理2如果函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，而F(x)

是f(x)

的一個(gè)原函數(shù)，則有上式稱為牛頓—萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式。

微積分基本公式進(jìn)一步揭示了定積分和不定積分之間的聯(lián)系，它把定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定積分的問(wèn)題，即定積分的值等于被積函數(shù)的任一原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量.這給定積分計(jì)算找到了一條捷徑，大大降低了定積分的計(jì)算復(fù)雜性.例3計(jì)算定積分解例4計(jì)算定積分解例5已知

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