高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 10.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

第10章無(wú)窮級(jí)數(shù)§10.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)§10.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法§10.3冪級(jí)數(shù)§10.4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)§10.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念圖

10-1第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction圖

10-1圖

10-1

如果內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增多，即

n無(wú)限增大，那么和的極限就是所要求的圓面積A.這時(shí)和式中的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多，于是出現(xiàn)了無(wú)窮多個(gè)數(shù)量依次相加的數(shù)學(xué)式子.

從這個(gè)例子我們可以看出，無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加可能得到一個(gè)確定的有限常數(shù)，也就是說(shuō)，在一定條件下無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加是有意義的.

為了研究無(wú)窮多項(xiàng)依次相加的問(wèn)題，我們引入無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction設(shè)

，，（10-2）例10.1.1判定是否發(fā)散.

解該級(jí)數(shù)的部分和為顯然因此所給的級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例10.1.2判定級(jí)數(shù)的斂散性.

解因?yàn)樗詮亩?0.1.3級(jí)數(shù)解稱為等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))，其中

叫做級(jí)數(shù)的公比.試討論該級(jí)數(shù)的斂散性.因?yàn)樗砸虼说缺燃?jí)數(shù)發(fā)散.等比級(jí)數(shù)前項(xiàng)的和為兩端同乘以得將上式兩端對(duì)應(yīng)相減并加以整理得例10.1.4判定級(jí)數(shù)的斂散性.

解因?yàn)樗詮亩床糠趾蛿?shù)列

發(fā)散，因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例10.1.5證明調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性.

證明即因此調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.取調(diào)和級(jí)數(shù)的前

項(xiàng)部分和

二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

這說(shuō)明：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零的常數(shù)后，它的斂散性不改變.注：兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或相減得到的級(jí)數(shù)斂散性不確定.仍收斂，且其和不變.

這說(shuō)明：收斂的級(jí)數(shù)滿足加法結(jié)合律.

注:①但發(fā)散的級(jí)數(shù)卻未必滿足加法結(jié)合律.例如，級(jí)數(shù)因?yàn)椴糠趾?/p>

，，所以部分和數(shù)列

發(fā)散，因而級(jí)數(shù)發(fā)散.但級(jí)數(shù)自第一項(xiàng)開(kāi)始相鄰兩項(xiàng)均加括號(hào)后形成的級(jí)數(shù)卻收斂.②如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂.例如，級(jí)數(shù)收斂于零，但級(jí)數(shù)卻是發(fā)散的.

性質(zhì)10-4增加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性.這說(shuō)明：例10.1.6判定級(jí)數(shù)的斂散性.

解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)因?yàn)樗裕尚再|(zhì)10-5級(jí)數(shù)收斂的必要條件知，該級(jí)數(shù)發(fā)散.1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念（1）理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念（2）理解級(jí)數(shù)的和及級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念（3）會(huì)用級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念判斷級(jí)數(shù)的斂散性2.無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1）理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性