高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 11.6 矩陣的初等變換

§11.6矩陣的初等變換

一、矩陣的初等變換

二、初等矩陣

三、求逆矩陣的初等變換法內(nèi)容提要

四、初等變換法求解矩陣方程引例：①②③④求解線性方程組一、矩陣的初等變換①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③

③④①②③④①②③④取x3

為自由變量，則令x3=c

，則①②③④恒等式三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程，記作；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實(shí)際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj

從求解過程可以看到，每一次消元只是未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生變化，未知數(shù)本身并不改變．如果將線性方程組中所有的未知數(shù)、等號、加號去掉，只考察未知數(shù)和系數(shù)和常數(shù)構(gòu)成的矩陣，消元的過程就是一個(gè)矩陣變化的過程。若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對該矩陣的變換。上述矩陣稱為方程組的增廣矩陣．

矩陣初等變換的定義：對調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：①②③÷2

①②③④①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②

④－3×②

①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5

對應(yīng)方程組為令x3=c

，則備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“=”．例如：矩陣加法 ＋數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 ×矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式 |?|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“～”或“→”．例如：初等行變換初等列變換有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對稱性若，則；傳遞性若，則．3.矩陣之間的等價(jià)關(guān)系行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.（1）元素全為0的行（稱為零行）均在矩陣的下方（如果有零行的話）；（2）兩個(gè)相鄰的非零行中，下一行的從左邊數(shù)起的第一個(gè)非0元素（稱為該行的主元）必位于上一行的主元的右邊.具有這兩個(gè)特點(diǎn)的矩陣稱為行階梯形矩陣.4.行階梯矩陣和行最簡形矩陣

判別下列矩陣是否為行階梯形矩陣行最簡形矩陣：（1）非零行的第一個(gè)非零元為1;（2）每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零.矩陣行階梯形矩陣行最簡形矩陣B4,B5都是行階梯形矩陣，但是，B5有更多的特點(diǎn)。任何矩陣行最簡形矩陣行階梯形矩陣有限次初等行變換有限次初等變換有限次初等行變換定理11.6

任何一個(gè)非零矩陣A都可以經(jīng)過一系列（有限次）初等行變換化成行階梯形矩陣，并進(jìn)而化為行最簡形矩陣.推論

如果A為n階可逆矩陣,則矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可化為單位矩陣E,即例1矩陣

對其作初等行變換，化為行階梯形矩陣、行最簡形矩陣．解

這里的矩陣B依其形狀的特征稱為行階梯形矩陣.行最簡形矩陣.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二、初等矩陣定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為

初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣：對調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．(1)對調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

E(3,5)記作

E(i,j)．(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E(3(k))記作

E(i(k))．(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

E(35(k))記作

E(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！定理11.7設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左乘行變換，右乘列變換.例如，設(shè)則有

使得即例4設(shè)有矩陣而

，則

即用

左乘

，相當(dāng)于交換矩陣

的第一與第二行。

則

即用

右乘

，相當(dāng)于矩陣

的第3列乘2加于第1列。

利用初等變換求逆陣的方法：定理11-8

如果A為可逆矩陣，則經(jīng)過有限次初等變換可將A化為同階單位矩陣，即可逆矩陣A與同階單位矩陣等價(jià)。推論

方陣A可逆的充要條件是存在是A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。三、求逆矩陣的初等變換法

解例5即初等行變換設(shè)矩陣A可逆，則求解矩陣方程AX=B等價(jià)于求可采用類似初等行變換求逆矩陣的方法，構(gòu)造矩陣（A

B），對其實(shí)施初等行變換將A化為單位矩陣E，則上述初等行變換同時(shí)也將矩陣B化為四、初等變換法求解矩陣方程例6解課堂練習(xí)解

這里的矩陣B依其形狀的特征稱為行階梯形矩陣.將矩陣

化為行階梯形矩陣和行最簡階梯形矩陣。行最簡形矩陣.