高二年級(jí)上冊(cè)期末【壓軸60題考點(diǎn)】（選修一+選修二）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019選修第一冊(cè)）（解析版）

高二上學(xué)期期末【壓軸60題考點(diǎn)專練】

（選修一+選修二）

一、單選題

1.（2022?湖北?鄂州市教學(xué)研究室高二期末）已知6，G分別是雙曲線CJ-/=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn),

以百鳥為直徑的圓與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn)P,設(shè)△Pf；6的面積為S,若（怛￡|+|尸居『=12S,則雙曲線C

的離心率為（）

A.2B.—C.應(yīng)D.20

2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形勾股定理及面積公式列式，再結(jié)合雙曲線定義即可計(jì)算作答.

【詳解】依題意,PF^PF2,令4（-C,0）,F2（C,0）,則有|PK|2+|P6|2=H6|2=4C2,

22

由（|即|+|P瑪|）=12S得：|尸"2+|尸5|2+2|尸耳||PF2\=6\PFt\\PF2\,即有|PF\||PF2\=c,

而4/=（|「不-|「居|）2=|尸甲2+|刊訐―2|「耳"居|=2。2,所以e，=0.

a

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)

的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|「用-|尸勾|=2%得到a，C的關(guān)系.

2.（2021?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）已知雙曲線1-￡=1S>0）的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的

距離等于亞，拋物線丁=2px（p>0）的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線

4：4x-3y+8=0和4：4=-3的距離之和的最小值為（）

11「14_16>21

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，借助雙曲線求出拋物線焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線定義及幾何意義求解最值作

答.

【詳解】雙曲線'-*=1（匕>0）的漸近線法士&y=0,右焦點(diǎn)尸（7^萬(wàn),0），

依題意，辛士￡=近，解得匕=血，因此拋物線的焦點(diǎn)為尸（2,0）,方程為>2=8X，其準(zhǔn)線為X=_2,

卜[4x-.3y+8=0消t去X并整「理得:

由y2-6y+16=0,A=62-4xl6<0,即直線4與拋物線丁=8x相離,

過(guò)點(diǎn)F作/于點(diǎn)P,交拋物線于點(diǎn)M,過(guò)M作用QI/2于點(diǎn)。交直線工=-2于點(diǎn)N,

4x2+8+1衛(wèi)

則有|“「|+|/。|=|加「|+|仰|+|可0|=|叱|+|板|+1=|五尸|+1=

比2+(-3)25，

在拋物線y2=8x上任取點(diǎn)”，過(guò)“作MP//「于點(diǎn)尸，作MQ'//?于點(diǎn)Q',交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,連M'F,FP',

顯然I"尸|+也。|=|〃戶'1+1加*'1+1'。|=|/〃1+1"戶1+1習(xí)尸產(chǎn)以0|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)M重合時(shí)

取等號(hào)，

21

所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線卜4x-3y+8=0和/?：》=-3的距離之和的最小值為g.

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離和或到定直線與準(zhǔn)線距離和的最小值問(wèn)題，利

用拋物線定義轉(zhuǎn)化求解即可.

3.(2022?江蘇?蘇州中學(xué)高二期末)對(duì)任意x>0,若不等式方2we*+odnx(a>0)恒成立，則。的取值范圍

為()

A.(0,2e]B.(0,e]C.(0,1]D.[l,e]

【答案】B

【分析】將以24/+以111無(wú)(4>0)變形為《-〃111《20,設(shè)/(x)=《(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求得了(x"e,

XXX

r=—,(/>e),則，-alnfNO,所以?！炊?QNe)恒成立，構(gòu)造函數(shù)gQ)=7^-,QNe),利用導(dǎo)數(shù)求得其最小

xInrInz

值，即可求得答案.

【詳解】對(duì)任意x>0,若不等式6We"+odnx(。>0)恒成立,

BP-——6z(x-lnx)>0，HP-—tzln—>0,

XXX

設(shè)/(x)=父(x>0)，則/(x)=e(X~l)，/⑴=0，

XX

當(dāng)Ovxvl時(shí),f\x)<0,，(x)在Ovxvl時(shí)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)>0,/(X)在X>1時(shí)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=l時(shí)，/*)取得極小值也是最小值，即/(x)2〃l)=e,

☆f=J,(f2e),則f-aln/NO,所以“4」-,(r2e)恒成立，

xIn/

設(shè)gQ)=j"2e),.⑴=>0,

Inr(In/)

故g(r)=L，(rNe)是單調(diào)遞增函數(shù)，故g(r)2g(e)=e，

Inf

所以aVe,又因?yàn)閍>0,

所以。的取值范圍為(0，e],

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的恒成立成立問(wèn)題，解答時(shí)要注意對(duì)不等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?，從而分離參數(shù)，

構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決.

4.(2022?吉林?高二期末)下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是()

@ln3<^ln2;?lnn<J|；③2歷<15；④3eln2>40.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題首先可以構(gòu)造函數(shù)/(x)=用，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)計(jì)算出函數(shù)/(x)=F的單調(diào)性以及最值，然

后通過(guò)對(duì)①②③④四組數(shù)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^(guò)函數(shù)/(x)=W的單調(diào)性即可比較出大小.

【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)〃力=\土，則/(萬(wàn))=上詈，

當(dāng)Ovxve時(shí)，>0,x>e時(shí)，/z(x)<0,

所以函數(shù)“對(duì)=—在(0?上遞增，在(e,行)上遞減，

所以當(dāng)x=e時(shí)“X)取得最大值g,

In3<^ln2?21nx/3<^ln2<=>^^<—,

G2

由百<2<e可得/（g）<〃2）,故①正確;

In%〈喑，由&<6<e,可得f（G）</（五），故②錯(cuò)誤;

In2lnV15In4lnV15

2作<15<^V151n2<lnl5<=>——<-7=^O——<—

2V154V15

因?yàn)楹瘮?shù)/3=平在3”）上遞減,

所以〃4）</（岳），故③正確；

因?yàn)?夜>e，所以/（20）<〃e）,

日n1n2&Inesn31n>/21m.rr

即---T=—<------>即----j=~<—>則3eln5/^<，

2V2e2V2e

即3eln2<4/，故④錯(cuò)誤，

綜上所述，有2個(gè)正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查如何比較數(shù)的大小，當(dāng)兩個(gè)數(shù)無(wú)法直接通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行大小比較時(shí)，如果兩個(gè)數(shù)都可以轉(zhuǎn)

化為某個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù)值，那么可以構(gòu)造函數(shù)，然后通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷兩個(gè)數(shù)的大小，考查函

數(shù)思想，是難題.

5.（2022.全國(guó)?高二期末）將數(shù)列｛2〃-1｝中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括

號(hào)4個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)16個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列，（1）,（3,5）,

（7,9,11,13）,（15,17,19,21,23,25,27,29）....則以下結(jié)論中正確的是（）

A.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1025B.2021在第11個(gè)括號(hào)內(nèi)

C.前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1025個(gè)數(shù)D.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和Se（2?220）

【答案】D

【分析】由第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第512項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2"-1｝的第1023項(xiàng)，

進(jìn)行分析求解即可

【詳解】由題意可得，第〃個(gè)括號(hào)內(nèi)有2"T個(gè)數(shù)，

對(duì)于A,由題意得前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1+2+2,+…+28=上幺=29-1=511個(gè)數(shù)，

1-2

所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第512項(xiàng)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為

2x512-1=1023,所以A錯(cuò)誤，

i_710

對(duì)于C,前10個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1+2+2"+…+29=-----=21°-1=1023個(gè)數(shù)，所以C錯(cuò)誤,

1-2

對(duì)于B,令2”-1=2021,得”=1011,所以2021為數(shù)列｛2,-1｝的第1011項(xiàng)，由AC選項(xiàng)的分析可得2021

在第10個(gè)括號(hào)內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)榈?0個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為2x512-1=1023,最后一個(gè)數(shù)為2*1023-1=2045,所以第10

個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和為S=29（1023+2045）=義匕34e（2|9,220），所以D正確，

2

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意確定出第10個(gè)括號(hào)內(nèi)第一個(gè)數(shù)和最

后一個(gè)數(shù)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列｛2〃-1｝的哪一項(xiàng)，考查分析問(wèn)題的能力，屬于較難題

6.（2022?上海市控江中學(xué)高二期末）已知〃（。,3）是拋物線C：丁=2/5>0）上一點(diǎn)，且位于第一象限，

點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)尸的距離為4,過(guò)點(diǎn)P（4,2）向拋物線C作兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,貝=

（）

A.-1B.1C.16D.-12

【答案】B

【分析】先通過(guò)拋物線的定義求出拋物線的方程，再設(shè)4（不，3）,8（々,必），然后求出嘉.晶并化簡(jiǎn)，然后

求出直線AB的方程并代入拋物線方程，最后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.

【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線y=-5的距離為4,則3+]=4n0=2,即拋

物線C:/=4y,則尸（0,1）.

設(shè)A（%,y）,8（孫力），則

—>—>—>—>啥-蛔+小1

AF-BF=E4-FB=(X,,y,-1)?(x2,y2-1)=芭々-+%)+1=XW

厘-扣+/+|中

v2111

由丫=丁ny'=jx,則怎/>=5再，%<=5々，所以

4N乙乙

!”：y_y=

x2x-2y+2y2-x1=0=>x2x-2y-2y2=0,

X-4-2-2-2yl=0_4x,-2y,-4=0

因?yàn)辄c(diǎn)P（4,2）在這兩條直線上，所以Xj-4-2-2-2y,=0^4,_2；-4=0'于是點(diǎn)4方都在直線

4x-2y-4=0上，即&,:y=2x-2,代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得：x2-8x+8=O,由根與系數(shù)的關(guān)系可知

x,+x2=XjX2=8.

TT爐]Q

于是A月BF=--------X82+-X8+1=I.

1642

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題運(yùn)算較為復(fù)雜，注意要先求出&.而，再判斷題目到底需要什么，另外本題求解直線AB的

方法需要熟練掌握.

7.（2022.全國(guó)?高二期末）已知函數(shù)=?若數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,，且滿足5,=〃。,用），4=”“，

則4的最大值為（）

A.9B.12C.20D.—

4

【答案】C

2

【分析】先得到q.吟及遞推公式（一+4,）（%-《「2）=0,要想為最大，則分兩種情況，見為負(fù)數(shù)

且最小或。2為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.

【詳解】4=2-￡?、?當(dāng)"=1時(shí)，4=]■若，當(dāng)〃22時(shí),S“T所以①一②得：

%=；a；+i,整理得：（。"+1+4,）（4用一?！耙?）=0,所以或",=2,

當(dāng)。，…，4o是公差為2的等差數(shù)列,且知=-即>時(shí)，%最小,可最大,此時(shí)4（）=%+8x2=-a“=-4,所

以（4）2?=一8,此時(shí)4=20；

當(dāng)為=-%且％，…，即是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，的最大，%最大，此時(shí)即=。3+8、2=-4+16=%,所以

（%）max=8,此時(shí)q=12

綜上：%的最大值為20

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)

行求解.

二、多選題

8.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高二期末）已知圓C:（x-3）2+（y-4）2=l和兩點(diǎn)A（-利,1）,8（見-1）（加>0）,若圓C上存在

點(diǎn)P,使得NAP3=90。，則巾可能的取值為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】CD

【分析】先求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，再利用圓與圓的位置關(guān)系可求機(jī)的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)尸（x，N），則AP=（x+〃?,y-l）,3P=（x-m,y+l）,

因?yàn)镹AP3=90。，故".BP=0即*2+；/=加2+],

故尸的軌跡為圓。（原點(diǎn)為圓心，半徑為J〃，+i,不含AB兩點(diǎn)），

因?yàn)锳B分別在第二象限和第四象限，而圓C在第一象限，

又P在圓C:（x-3）2+（y-4f=l上，故圓C與圓。有公共點(diǎn)，

所以y/m2+\—141cq<1+\Jm2+1即1病+1—1<5<1+\/m2+1，

解得<m<\/26,

故選：CD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓中的隱圓問(wèn)題，大多需要考慮動(dòng)點(diǎn)的軌跡（常為圓），從而把動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)

題歸結(jié)圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.

9.（2022?廣東深圳?高二期末）已知曲線C的方程為尸（x,y）=0,集合T={（x,y）|F（x,y）=0},若對(duì)于任意

的（％，X）eT,都存在（々,當(dāng)）門，使得玉成立，則稱曲線C為Z曲線.下列方程所表示的曲線中，

是Z曲線的有（）

A.y+^-=lB.x2-y2=\C.y2=2xD.|y|=|x|+l

【答案】AC

【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P（4M）eT,存在。（々,以）€7,使得OPLOQ,根據(jù)這一條件逐一判斷即可.

【詳解】A：[+]=1的圖象既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，且圖象是封閉圖形.所以對(duì)于任意的點(diǎn)

P（xt,yt）eT,存在著點(diǎn)Q（玄，”）使得。尸，。。，所以滿足；

B：產(chǎn)=1的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為±1,所以漸近線將平面分為四個(gè)夾角為90。的區(qū)域,

當(dāng)P,Q在雙曲線同一支上，此時(shí)/尸。。＜90。，當(dāng)P,。不在雙曲線同一支上，此時(shí)/尸。。＞90。，所以

NPOQ*90°,OP，不滿足；

C：V=2x的圖象是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作OP的垂線,

則垂線一定與拋物線交于。點(diǎn)，所以ZPOQ=90。,，所以O(shè)PLOQ

D：取P（0,1）,若OPLOQ,則有力=0顯然不成立，所以此時(shí)OP_LOQ不成立，

故選：AC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?河北滄州?高二期末）如圖，在正四棱柱A8CO-4SGA中，DC=DA=2,DQ=4,點(diǎn)、E在CQ

上，且CE=1.則下列說(shuō)法正確的是（）

B.異面直線A。與所成角的正切值為2

C.AC_L平面

D.直線BE與平面所成角的正弦值為名叵

【答案】ACD

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線線垂直、線面垂直的向量判斷方法，線線角和線面

角的向量求法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,OC,￡>〃為x，，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,4),B,(2,2,4),5(2,2,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),￡(0,2,1),

對(duì)于A,4。=(一2,0,-4),8￡=(-2,0,1),.?.A?3E=0，A正確;

對(duì)于B,AZ)=(-2,0,T),B4=(0,0,4),設(shè)異面直線4。與同B所成角為。，

162石1

...3。=卜』_^=卷,.?.tane=B錯(cuò)誤；

碼2j5x452

,/、.、/、A,CDE=0

對(duì)于C,AC=(_2,2,Y),DE=(0,2,1),OB=(2,2,0),OB—。，

[\CVDE

又DEcDB=D,OE,OBu平面..AC，平面。BE,C正確;

[A,C±DB

對(duì)于D,AO=(—2,0,T),DE=(0,2,1),設(shè)平面AOE的法向量”=(x,y,z),

\Dn=-2x-4z=0

令y=l,則z=—2,x=4,.,.n=(4,l,-2),

DEn=2y+z=0

?I\BE-n\io2\f\05

又BE=V(-2,0,71),「.1cos(加1

\BE\U75X72121

即直線8E與平面AOE所成角的正弦值為名叵，D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間向量法求解直線AB與平面a所成角的基本步驟為：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出所需的點(diǎn)和向量；

\AB-4

（2）求得平面。的法向量〃，設(shè)所求角為凡則sin?=^^.

HH

（3）根據(jù)Oe0,-可求得線面所成角的大小.

11.（2022?福建?泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期末）若圓C,：V+y2=l與圓C”（“短+（丫-。）2=1的公共

弦AB的長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論正確的有（）

A.a2+b2=1

B.直線43的方程為2ar+2b-3=0

C.A3中點(diǎn)的軌跡方程為V+y2=；

4

D.圓G與圓C?公共部分的面積為2一走

32

【答案】BC

【分析】?jī)蓤A方程相減求出直線48的方程，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)求得片+分=3,即可判斷AB選項(xiàng)；然后由圓

的性質(zhì)可知直線CC垂直平分線段A8,進(jìn)而可得（0,0）到直線2ar+2勿-/-從=0的距離即為48中點(diǎn)

與點(diǎn)G的距離，從而可求出AB中點(diǎn)的軌跡方程，因此可判斷C選項(xiàng)；對(duì)應(yīng)扇形的面積減去三角形的面積

乘以2即可求出圓G與圓C?公共部分的面積，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】?jī)蓤A方程相減可得直線AB的方程為/+從一2如-2制=0,g|J2ax+2by-a2-h2=0,

因?yàn)閳AG的圓心為C1（0,0）,半徑為1,且公共弦AB的長(zhǎng)為1,貝IJC（0,0）至IJ直線2ar+物，-6—〃=0的距

、ha2+b26

離為券，所以桃2+及）=不解得a?+〃=3,

所以直線A8的方程為2奴+2勿-3=0,故A錯(cuò)誤，B正確；

1

由圓的性質(zhì)可知直線C,C2垂直平分線段A3,所以C|（0,0）到直線lax+lby-a=0的距離即為AS中點(diǎn)

與點(diǎn)C1的距離，設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,因此J（x-O）2+（y-O）2=#,即/+/=],故c正確；

因?yàn)锳8=GA=G8=1,所以N3CA=1,即圓G中弧A3所對(duì)的圓心角為1,所以扇形的面積為

J_x;rxl2=fL'三角形CAB的面積為」、1義1義4=正，所以圓G與圓G公共部分的面積為

2死6

2x住一夕|=g-￡故D錯(cuò)誤.

(64J32

故選：BC.

【點(diǎn)睛】圓的弦長(zhǎng)的常用求法：

(1)幾何法：求圓的半徑為r,弦心距為d,弦長(zhǎng)為/,貝打=2折二T'；

(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：=-xj

12.(2022.廣東深圳.高二期末)聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成

的，純音的數(shù)學(xué)函數(shù)為＞=Asin?x,其中A影響音的響度和音長(zhǎng)，。影響音的頻率，平時(shí)我們聽到的音樂(lè)都

是有許多音構(gòu)成的復(fù)合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是〃x)=sinx+!sin2x+?sin3x+--+1sinnx+--^

23n

力(x)=t)sin丘則下列說(shuō)法正確的有()

k=lk

A.力(x)是奇函數(shù)

B.，(x)是周期函數(shù)

C.y=△(x)的最大值為g

rrrr

D.人(x)在上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】由奇偶性定義可知A正確；由＜(%+24)=力(可知B正確；利用導(dǎo)數(shù)可求得力(x)在[0,句上的值

域，結(jié)合奇偶性和周期性可確定力(x)最大值，知C錯(cuò)誤；求導(dǎo)后可證得4(x)20,由此可知D正確.

【詳解】對(duì)于A,￡(-x)=fJsin(-3=-f]sinh=-￡,(x),."(x)是奇函數(shù)，A正確；

太=1k*=ik

?1n1

對(duì)于B,，(x+2乃)=Z7sin(丘+2萬(wàn))=Z￡sinfcr=/；(x),二2乃是/.(x)的一個(gè)周期，B正確；

*=ikJt=ik

2

對(duì)于C,.f2(x)=sin—sin2x,.\^(x)=cosx+cos2x=2cosx+cosx-l=(2cosx-l)(cosx+l)；

當(dāng)xe[O,句時(shí),cosx+120,則當(dāng)xe吟）時(shí)，力'（力＞。；當(dāng)小信》時(shí),月（小0；

.?/（》）在[。,￡|上單調(diào)遞增，在（半萬(wàn)]上單調(diào)遞減，

又人（。）=力（萬(wàn)）=0,f2

則當(dāng)xe[0,句時(shí)，04人（力4亭；

力（x）為奇函數(shù)，，當(dāng)xe[-7,0]時(shí)，-力（x）40;

又力（x）周期為2萬(wàn)，.?「竽4￡（力4乎，即力（x）最大值為乎，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,「?力’(X)=cosX+cos2x+cos3x；

,7C7T._37r34

當(dāng)時(shí)，2xe3xe

44T,T

,近i

cos2xe[0,l],cos3xe----，]，?"'(x)2

2

jrjr

.?/（x）在上單調(diào)遞增，D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性和最值的求法；求解關(guān)鍵是能夠充分理

解所給函數(shù)的表達(dá)式，靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和值域，通過(guò)函數(shù)的周期性推導(dǎo)得

到結(jié)果.

13.（2022?全國(guó)?高二期末）已知S“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若4=1,”,產(chǎn)0（〃eN*）,〃以“=3S“-1（〃eN）,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.七=2B.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

C.an+an+i=2an+2D.$。=3。0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件探求出數(shù)列｛4｝的特性，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.

【詳解】〃wN*,《4+1=35“一1,當(dāng)〃22時(shí)，a"”=3S,i-1,兩式相減得：an(an+l-a?_l)=3a,I,而30,

則4,+|-凡-|=3,

當(dāng)〃=1時(shí)，=3S[-1=3q-1=2,則4=2,A正確;

因4=q+3=4,%-4=1，/-。2=2,即%-“2，數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列，B不正確；

因“eN",4,+2-a”=3,則%+4-%+2=3,即有?！?4一%+2=。“+2-。“，”“+”田=2q+2成立，C正確；

由C選項(xiàng)的判斷信息知，數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)是以4=1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛q｝的偶數(shù)項(xiàng)是以外=2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

S2（）=（%+。3++49）+（%+。4++。2。）=（1。。1+45x3）+（10?2+45x3）=300,D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：等差數(shù)列定義是判斷數(shù)列是等差數(shù)列的重要依據(jù)，但易漏掉定義中的“從第2項(xiàng)起”與“同

一個(gè)常數(shù)”的條件.

14.（2022?浙江?溫州中學(xué)高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的

動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）

A.存在點(diǎn)〃，使得和“，平面4Q8

B.存在點(diǎn)〃，使得直線AM與直線4c所成的角為45

C.存在點(diǎn)M,使得三棱錐A-CQM的體積為9

O

D.不存在點(diǎn)〃，使得￡>〃，其中a為二面角M-AA-8的大小，4為直線與直線AB所成的角

【答案】ACD

【分析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA、B瓦所在直線分別為X、》、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC.BA,B與所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

系,

則4(0,1,0)、8(0,0,0)、C(l,0,0),0(1,1,0)、A(0，U)、4(0,0,1)、

c,(1,0,1),<(,1,1),設(shè)即點(diǎn)其中04Y1.

對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)M,使得GM,平面AOB,

應(yīng))=(1,1,0),網(wǎng)=(0,1,1),則忱:d：,解得T，

?C|/V7,D/\.=zr-i=uz

故當(dāng)點(diǎn)M為線段B2的中點(diǎn)時(shí)，q/J.平面4/力，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，AM4c=(1,0,-1),

由已知可得卜酬<AM,BG>|=|瑞|晨卜。則AMIB?,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，5.改=gxF=；，點(diǎn)加到平面8Z)C的距離為IT,

則％-G&W=〃-CQ9彳，解得r=0,c對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，AA=(0,0,1),設(shè)平面的用的法向量為川=(x,y,z),

m-AA=z=0,、

則｛，.彳/八，取X=1T,可得m=(l-f/,0),

tn-AM=/x+(f—l)y+/z=0'

易知平面的一個(gè)法向量為，=(1,0,0),

I?"〃|1-?

由圖可得cosa=|cos<〃>|=F|丁!產(chǎn)--,

11)

H-HJ(1T)2+“

AM=（3，1）,BA=（0,1,0）,

因?yàn)?<J*+（_r）24#+2（IH,l-re[0,l],

JTTT

Qa、0,-,且余弦函數(shù)y=cosx在0,-上單調(diào)遞減，則D對(duì).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：

（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件,

解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；

（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與

平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.

15.（2022?福建龍巖?高二期末）若正方體4BCD-A蜴GA的棱長(zhǎng)為1，S.AP^niAD+nAA,,其中

zne[0,l],ne[0,l],則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)〃?=；時(shí)，三棱錐尸-8。用的體積為定值

B.當(dāng)〃=g時(shí)，三棱錐P-BO4的體積為定值

C.當(dāng)加+〃=1時(shí)，P4+P3的最小值為二十3

2

D.若/PR8=NBQ超，點(diǎn)尸的軌跡為一段圓弧

【答案】AC

【分析】當(dāng)機(jī)=；時(shí)，可得點(diǎn)P的軌跡，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)，可得P到平面用的距離不變,

即可判斷A的正誤；當(dāng)”=；時(shí)，可得點(diǎn)尸的軌跡，利用反證法可證，P到平面用的距離在變化，即可

判斷B的正誤；當(dāng)M+〃=1時(shí)，可得A、P、。三點(diǎn)共線，利用翻折法，可判斷C的正誤；如圖建系，求得

各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得NPR8和/與R8的余弦值，列出方程，計(jì)算分析，可判斷D的正誤，即可得答案.

>

【詳解】因?yàn)锳/=mA￡）+〃A41,其中,

所以點(diǎn)P在平面AORA內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

對(duì)于A：取4。中點(diǎn)E、AA中點(diǎn)F,連接EF,

所以EF//4A//8與，

因?yàn)镋F<Z平面BDB、,BB、u平面BDB、,

所以E尸〃平面8。四，

11

當(dāng)〃7=一時(shí)，則AP=-4O+“A4,,

22

所以點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，

因?yàn)樘?/平面BOB-

所以無(wú)論點(diǎn)P在EF任何位置，尸到平面BOB1的距離不變，即高不變,

所以三棱錐尸-B。片的體積為定值，故A正確：

對(duì)于B：取力A中點(diǎn)G,。口中點(diǎn)H,連接G",

當(dāng)〃=J■時(shí)，AP=mAD+^AA,,

所以點(diǎn)P在GH上運(yùn)動(dòng)，

假設(shè)GH//平面BDB],

又GA//BB、,G4O平面8。片，BB|U平面Big,

所以GA//平面

因?yàn)?4門6〃=6,64,64<=平面6印》，

所以平面GHZM//平面8￡>與，與已知矛盾，故假設(shè)不成立,

所以G4不平行平面8。片,

所以P在G”上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到平面BD用的距離在變化,

所以三棱錐尸-8。片的體積不是定值，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：連接A。，BD,當(dāng)帆+〃=1時(shí)，可得A、P、。三點(diǎn)共線,

將；明。沿A,。翻折至與平面ABD共面，如下圖所示

連接AB,當(dāng)P為AB與AQ交點(diǎn)時(shí)一，PA+PB最小,即為A8,

因?yàn)锳B,A,D,BD均為面對(duì)角線，

所以A3=AO=8O=0，即,AB。為等邊三角形，

又幺&。=90°,AA=4C=1,

所以NAOB=NAAB=105°,ADB^AAtB,

所以ZABZ)=30。

在?做中,由正弦定理得鼻AD

sinZABD

>/2+>/6

所以AB=-----------xsin105°=2(sin450cos60。+cos45。sin60°)=故C正確;

sin30°2

D,G

對(duì)于D：分別以04、DC、為x,y,z軸正方向建系，如圖所示,

則8(1,1,0),2(0,0,1),設(shè)尸(x,0,z),

所以。尸=(x,0,z-1),AB=(1,1,—1),

,.?D、P?D、Bx-z+1

所以8S〃Dr*=E=kE

因?yàn)锽B11平面agCQi，BRu平面A4GA,

所以

又B、D1=M,BD[=6,

所以cosN8QB=^=4,

DL)X3

x-z+176

所以Jf+(Z-l)2/—.整理得d+z2+2xz-2x-2z+l=0,

所以(x+z-l)2=(),即x+z—1=0,XG[0,1],ZG[0,1]

故選：AC

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行判定與性質(zhì)，向量共線、數(shù)量積求夾角等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難

度較大，考查學(xué)生分析理解，計(jì)算求值的能力，屬難題.

16.(2022?重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末)已知直線/：履—y-Z+l=0與圓C：(x-Z)?+(y+2p=16相交于A,

B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()

A.|4同的最小值為2指B.若圓C關(guān)于直線/對(duì)稱，則上=3

C.若ZACB=2NCAB,貝1」％=1或左=-‘D.若4,B,C,。四點(diǎn)共圓，則憶=一，

73

【答案】ACD

【分析】判斷出直線/過(guò)定點(diǎn)結(jié)合勾股定理、圓的對(duì)稱性、點(diǎn)到直線的距離公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí)

對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】直線/：y=A(xT)+l過(guò)點(diǎn)。(I4)，

0C:(x-2)2+(y+2)2=16,B|Jx2+y2-4x+4>'-8=0@,

圓心為C(2,-2),半徑為r=4,

由于(1一2『+(1+2『<16,所以。在圓C內(nèi).[8|=1(2-1)2+(-2-1)2=M，

所以|A或山=2,以-(而『=2遙,此時(shí)ABYCD,所以A選項(xiàng)正確.

若圓C關(guān)于直線/對(duì)稱，則直線/過(guò)C,。兩點(diǎn)，斜率為棄?=-3,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2-1

7T

設(shè)Z4a=2NC4B=2e,則。+。+2夕=元,，=:，此時(shí)三角形A8C是等腰直角三角形，

C到直線48的距離為4x變=2&,即憎

2收+1

解得左=1或%=-；，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若A,反C,O四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓E,圓E的圓心為E(a,b),

O，C的中點(diǎn)為(1,-1),k比=T，

所以O(shè)C的垂直平分線為/：y+i=xTy=x-2,則》=“-2②，

圓E的方程為(x-a)2+(y-4=a2+b2,

整理得》2+八2以-2b，=（^,

直線43是圓C和圓E的交線，

由①-③并整理得43：（4-加卜-（沙+4）），+8=0,

將0（1,1）代入上式得（4-加）-（加+4）+8=0,a+b-4=0④，

由②④解得a=3,。=1,

所以直線A8即直線/的斜率為==D選項(xiàng)正確.

2A+463

故選：ACD

【點(diǎn)睛】求解直線和圓位置關(guān)系有關(guān)題目，首先要注意的是圓和直線的位置，是相交、相切還是相離.可通

過(guò)點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷，也可以通過(guò)直線所過(guò)定點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判斷.

17.（2022?山東德州?高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CO-A4CQ中，M為棱的中點(diǎn)，P為

線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（包含8,C兩個(gè)端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）.

9

平面MBG截正方體A2C3-4耳GA所得截面圖形的面積為:

O

存在一點(diǎn)尸，使得直線AA與直線OP的公垂線段長(zhǎng)為運(yùn)

直線CP與平面MBG所成角的最小值為當(dāng)

D.當(dāng)P從8移動(dòng)到G的過(guò)程中，直線。尸與直線MB的夾角由小變大

【答案】ABD

【分析】取棱AR中點(diǎn)，作出截面并求其面積判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算判斷B,C,

D作答.

【詳解】對(duì)于A,取棱AR中點(diǎn)E,連接用旦GEAA，如圖,

%

Cl

正方體A8CQ—A8cA中，對(duì)角面A8G。是矩形，M為棱AA的中點(diǎn)，則ME//AR//8G，

ME=-BC.=—,BM=GE=叵,等腰梯形是平面MBG截正方體ABC。-A4G。所得截面,

222

等腰梯形BC,EM的高/,=麻;匹=羋，SBC<EM=ME；B3./?=，，

V242o

因此，平面MBG截正方體A88-AgGR所得截面圖形的面積為亮9，A正確；

8

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線D4,OC,。。分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

D(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,1),M(1,0,1),e=(0,0,1),=(-1,0,1),

因尸為線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)加=出弓=(一「,0,力，0</<1,點(diǎn)P(l-f,l,r),DP=(l-t,l,t),

對(duì)于B,令與例、OP都垂直的向量為〃=(%,y,Z]),則(-不/_7_，

Ift,HAt3sBnV

InDP=(1—t)xt+Vi+tz,=0

一」\DA-n\12y/5

令X=l,得〃=(lj_l,0),D4=(l,0,0),異面直線A%與直線OP的距離d=c-=~y^=^^=-^-,

\n\^/l2+(r-l)25

而04Y1,解得f=g,點(diǎn)P為BQ的中點(diǎn)，即存在一點(diǎn)P,使得直線A4與直線OP的公垂線段長(zhǎng)為半,

B正確；

Im-BM=—y+—z=0

BA/=(0,-1,-),令平面Mg的法向量為機(jī)=(9,%*2)，則o2o2,

[m-BC]=-x2+z2=0

令%=1,得m=(2』,2),令直線QP與平面MBG所成角為巴

則SEC〉1=氤麗落石07rM。/后當(dāng)，顯然°最小值

TT

為二，c不正確；

4

對(duì)于D,令直線OP與直線MB的夾角為a,則cosa=|cos〈BM,DP)?J夕”?OP|

|BM||DP\

.1,___________,_____________

2

—__M--------=2T=h/-4f+4=J_j_(4—,3/；,

好J(1T)2+］+*"10(/T+I)V10r-t+1v10r-t+1

當(dāng)，=0時(shí)，cosa=巫，當(dāng)fe(O,l］時(shí)，cosa=記(4-11)對(duì)fe(O,l］遞減,

5Y?-7+1

即cosa隨r的增大而減小，而銳角a隨cosa的增大而遞減，

因此，當(dāng)戶從8移動(dòng)到G的過(guò)程中，直線。尸與直線MB的夾角由小變大，D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及幾何體中動(dòng)點(diǎn)按規(guī)律移動(dòng)問(wèn)題，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的運(yùn)算

解決.

18