專(zhuān)題13 坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)變換-九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（解析版）

專(zhuān)題13坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)變換考點(diǎn)1：點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)；考點(diǎn)2：線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)；考點(diǎn)3：圖形旋轉(zhuǎn)。題型01點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)題型01點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'，則P'的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）解：作PQ⊥y軸于Q，如圖，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'相當(dāng)于把△OPQ繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）．答案：D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），以原點(diǎn)為中心，將點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)A'，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）解：如圖，作AE⊥y軸于E，A′F⊥x軸于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′OF，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴OF＝OE=3，A′F＝AE∴A′（3，1）．答案：A．3．（易錯(cuò)題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)A（4，1），以點(diǎn)P為中心，把點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到點(diǎn)B，在M1（﹣1，?3），M2（?33，0），M3（1，3?1），M4（2，2A．M1 B．M2 C．M3 D．M4解：∵點(diǎn)A（4，1），點(diǎn)P（0，1），∴PA⊥y軸，PA＝4，由旋轉(zhuǎn)得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝23，∴B（2，1+23），設(shè)直線(xiàn)PB的解析式為：y＝kx+b，則2k+b=1+23∴k=3∴直線(xiàn)PB的解析式為：y=3x當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y=?3∴點(diǎn)M1（﹣1，?3）不在直線(xiàn)PB當(dāng)x=?33時(shí)，∴M2（?33，0）在直線(xiàn)當(dāng)x＝1時(shí)，y=3∴M3（1，3?1）不在直線(xiàn)PB當(dāng)x＝2時(shí)，y＝23+∴M4（2，23）不在直線(xiàn)PB上．答案：B．4．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（4，5）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)（﹣5，4）．解：如圖，點(diǎn)A（4，5）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到的點(diǎn)B的坐標(biāo)（﹣5，4）．答案：（﹣5，4）．5．平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（3，4）繞點(diǎn)B（1，0）旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣3，2）或（5，﹣2）．解：如圖，點(diǎn)A（3，4）繞點(diǎn)B（1，0）順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（5，﹣2），A″（﹣3，2）．答案：（﹣3，2）或（5，﹣2）．6．（易錯(cuò)題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，3），將點(diǎn)A繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F．∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，在△AEC和△CFB中，∠AEC=∠CFB∠ACE=∠B∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，EC＝BF，∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2，∴B（2，2），答案：（2，2）．題型02線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)題型02線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)7．如圖，線(xiàn)段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），線(xiàn)段OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段OA'，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）解：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A′作A′C⊥x軸于點(diǎn)C，如圖，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），∴OB＝2，AB＝5．由題意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．∴∠AOB+∠A′OC＝90°．∵∠A′OC+∠A′＝90°，∴∠A′＝∠AOB．在△A′OC和△OAB中，∠A′=∠AOB∠A′CO=∠OBA=90°∴△A′OC≌△OAB（AAS）．∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，∴A′（﹣5，2）．答案：A．8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，線(xiàn)段A1B1是將△ABC繞著點(diǎn)P（3，2）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）解：連接AP，A1P．∵線(xiàn)段A1B1是將△ABC繞著點(diǎn)P（3，2）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，∴A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1，∴∠APA1＝90°，∴旋轉(zhuǎn)角為90°，∴點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的C1點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3），答案：A．9．（易錯(cuò)題）如圖，將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段A′B′，那么A（﹣2，5）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）解：∵線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O．作AC⊥y軸于C，A′C′⊥x軸于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，∠ACO=∠A′C′O∠AOC=∠A′OC′∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC＝A′C′，CO＝C′O．∵A（﹣2，5），∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，OC′＝5，∴A′（5，2）．答案：B．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得，則AC所在直線(xiàn)的解析式是y＝2x﹣4．解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則易知△ACD≌△BAO（AAS）∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2∴C（3，2）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)代入得0=2k+b2=3k+b∴k=2∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝2x﹣4．答案：y＝2x﹣4．11．（易錯(cuò)題）如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系．規(guī)定：過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)A在x軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B在y軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）為點(diǎn)P的斜坐標(biāo)，在某平面斜坐標(biāo)系中，已知θ＝60°，點(diǎn)M的斜坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)N的斜坐標(biāo)為（﹣3，5）．解：如圖作ND∥x軸交y軸于D，作NC∥y軸交x軸于C．MN交y軸于K．∵NK＝MK，∠DNK＝∠BMK，∠NKD＝∠MKB，∴△NDK≌△MBK，∴DN＝BM＝OC＝3，DK＝BK，在Rt△KBM中，BM＝3，∠MBK＝60°，∴∠BMK＝30°，∴DK＝BK=12BM∴OD＝5，∴N（﹣3，5），答案：（﹣3，5）12．（易錯(cuò)題）如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣1），小明發(fā)現(xiàn)：線(xiàn)段AB與線(xiàn)段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線(xiàn)段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線(xiàn)段，你認(rèn)為這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（1，1）或（4，4）．解：①當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，連接AC、BD，分別作線(xiàn)段AC、BD的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，如圖1所示，∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；②當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D時(shí)，連接AD、BC，分別作線(xiàn)段AD、BC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，如圖2所示，∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4）．綜上所述：這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（1，1）或（4，4）．答案：（1，1）或（4，4）．13．（易錯(cuò)題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P（0，3），OM是第一象限的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AB垂直于y軸，交OM于點(diǎn)B，將線(xiàn)段PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P1B．（Ⅰ）求PP1的長(zhǎng)；（Ⅱ）求點(diǎn)P1的坐標(biāo)．解：（Ⅰ）∵∠AOB＝45°，AB⊥y軸，∴∠OBA＝45°，∴OA＝AB＝1，∴PB=P∵∠PBP1＝90°，PB＝P1B，∴PP1=2PB=（Ⅱ）過(guò)P1點(diǎn)作P1E⊥x軸于E，交直線(xiàn)AB于F點(diǎn)，則P1F⊥AB，∵∠PBA+∠P1BF＝90°，∠PBA+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠P1BF，在△PAB和△P1BF中，∠PAB=∠P1∴△PAB≌△P1FB（AAS），∴P1F＝AB＝1，BF＝PA＝2，∵AF∥OE，∴EF＝OA＝1，∴P1（3，2）．題型03圖形旋轉(zhuǎn)題型03圖形旋轉(zhuǎn)14．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0），現(xiàn)將△ABC繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）解：觀察圖象，可知C′（﹣2，3），答案：B．15．如圖，△AOB為等腰三角形，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，5），底邊OB在x軸上．將△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得△A′O′B，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在x軸上，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（）A．（203，103） B．（163，453） C．（203，45解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于C，過(guò)點(diǎn)O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，5），∴OC＝2，AC=5由勾股定理得，OA=OC∵△AOB為等腰三角形，OB是底邊，∴OB＝2OC＝2×2＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，∴O′D＝4×5BD＝4×2∴OD＝OB+BD＝4+8∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（203，4答案：C．16．（易錯(cuò)題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=3x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，將△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)CA．（﹣1，3） B．（﹣2，3） C．（?3，1） D．（?解：作CH⊥x軸于H，如圖，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），AB⊥x軸于點(diǎn)B，∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，當(dāng)x＝2時(shí)，y=3x＝23∴A（2，23），∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，∴BC＝BA＝23，∠ABC＝60°，∴∠CBH＝30°，在Rt△CBH中，CH=12BCBH=3CHOH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，∴C（﹣1，3）．答案：A．17．（易錯(cuò)題）如圖，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)D在第一象限，AB＝23，OD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸上，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（?3，1） B．（﹣1，3）C．（﹣1，3）或（1，?3） D．（?3，1）或（1，解：在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝23，∠DCO＝90°，∵OD＝4，∴∠DOC＝60°，OC＝2，①當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△OD′C′時(shí)，如圖，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2，過(guò)C′作C′E⊥OD′于E，則OE=12OC′＝1，C′E=32∴C′（1，?3②當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△OD″C″時(shí)，如圖，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2，過(guò)C″作C″F⊥OD″于F，則OF=12OC″＝1，C″F=32∴C″（﹣1，3），綜上所述：點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，?3），（﹣1，3答案：C．18．如圖，直線(xiàn)y=?43x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是解：直線(xiàn)y=?43x+4與x軸，y軸分別交于A（3，0），∵旋轉(zhuǎn)前后三角形全等，∠O′AO＝90°，∠B′O′A＝90°∴OA＝O′A，OB＝O′B′，O′B′∥x軸，∴點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)為OA長(zhǎng)，即為3，橫坐標(biāo)為OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7，故點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（7，3），答案：（7，3）．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等腰三角形，OA＝AB＝5，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣4，8）．解：過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥y軸，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，點(diǎn)B到x軸的距離為4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），答案：（﹣4，8）．20．（易錯(cuò)題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，2），OC＝4，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'坐標(biāo)是（﹣2，3）或（2，﹣3）．解：∵A（﹣1，2），OC＝4，∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x軸，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O分別順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，由旋轉(zhuǎn)得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴B1和B2的坐標(biāo)分別為：（﹣2，3）、（2，﹣3），∴B'即是圖中的B1和B2，坐標(biāo)就是（﹣2，3）或（2，﹣3），答案：（﹣2，3）或（2，﹣3）．21．（易錯(cuò)題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形