2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)57習(xí)題課正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合問(wèn)題新人教A版必修第一冊(cè)

課時(shí)作業(yè)57習(xí)題課正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合問(wèn)題基礎(chǔ)強(qiáng)化1.函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象中，相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是()A．2πB．πC．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)2．函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,4))的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸方程是()A．x＝－eq\f(π,8)B．x＝－eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,8)D．x＝eq\f(π,4)3．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋eq\f(π,2))，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)f(x)最小正周期為2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(kπ，0)(k∈Z)對(duì)稱D．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)4．若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對(duì)隨意的x都有f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)，則f(eq\f(π,3))＝()A．3或0B．－3或0C．0D．－3或35．(多選)已知函數(shù)f(x)＝2sinx，則()A．f(x)是R上的奇函數(shù)B．f(x)的最小正周期為2πC．f(x)有最大值1D．f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x－eq\f(5π,2))(x∈R)，下面結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期為πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱7．在函數(shù)y＝2sin(2x－eq\f(π,6))的圖象中，離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸的方程為_(kāi)_______．8．函數(shù)y＝3－3sinx－2cos2x的最小值是________．9．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)，y＝f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(eq\f(π,6)，0).(1)求φ的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．10．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，φ∈(0，eq\f(π,2)).條件①：函數(shù)f(x)最小正周期為π；條件②：函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(－eq\f(π,6)，0)對(duì)稱；條件③：函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x＝eq\f(π,12)對(duì)稱．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求：(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]的最大值和最小值．實(shí)力提升11.已知f(x)＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3))，下列命題中錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,3)對(duì)稱B．函數(shù)y＝f(x)在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增C．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(5π,3)，0)對(duì)稱D.函數(shù)y＝f(x)在[－eq\f(4π,3)，π]上的值域是[－1，eq\f(1,2)]12．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,6)，0)中心對(duì)稱，則|φ|的最小值為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(4π,3)13．已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋eq\f(π,3))(ω>0)在(0，eq\f(4π,3))單調(diào)遞減，在(eq\f(4π,3)，2π)單調(diào)遞增，則f(x)的最小正周期為()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π14．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，則()A．函數(shù)f(x)在[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞減B．函數(shù)f(x＋eq\f(π,3))為偶函數(shù)C．由f(x1)＝f(x2)＝eq\f(1,2)可得x1－x2是π的整數(shù)倍D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2π)上有3個(gè)零點(diǎn)15.試寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿意下列三個(gè)條件的函數(shù)f(x)＝________．①f(x)是奇函數(shù)；②f(x)的最小正周期為π；③f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上單調(diào)遞減．16．已知函數(shù)f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6)).(1)求f(x)的最小正周期和對(duì)稱中心；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)y＝f(x)－a在x∈[eq\f(π,12)，eq\f(5π,12)]存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．課時(shí)作業(yè)571．解析：函數(shù)的最小正周期是T＝eq\f(2π,2)＝π，因此相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(T,2)＝eq\f(π,2).故選C.答案：C2．解析：對(duì)于函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,4))，令2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，故函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，令k＝0，可知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為x＝eq\f(π,8).故選C.答案：C3．解析：f(x)＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,1)＝2π，即A正確；在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞減，即B正確；關(guān)于(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)對(duì)稱，即C錯(cuò)誤；是偶函數(shù)，即D正確．故選C.答案：C4．解析：∵隨意實(shí)數(shù)x都有f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)恒成立，∴x＝eq\f(π,3)是f(x)的一條對(duì)稱軸，∴當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)取得最大值3或最小值－3.故選D.答案：D5．解析：A：函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝2sin(－x)＝－2sinx＝－f(x)，為奇函數(shù)，故A正確；B：函數(shù)的最小正周期為T(mén)＝eq\f(2π,1)＝2π，故B正確；C：－1≤sinx≤1，得f(x)＝2sinx的最大值為2，故C錯(cuò)誤；D：函數(shù)f(x)＝2sinx的單調(diào)增區(qū)間為[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]＝[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，即函數(shù)在[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選AB.答案：AB6．解析：f(x)＝2sin(2x－eq\f(5π,2))＝2sin(2x－eq\f(π,2))＝－2cos2x，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(2π,2)＝π，故A正確；當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，2x∈[0，π]，所以y＝cos2x在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增，故B正確；因?yàn)閒(－x)＝－2cos2x＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故D正確．故選ABD.答案：ABD7．解析：由2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)得對(duì)稱軸的方程為x＝eq\f(π,3)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，其中離坐標(biāo)原點(diǎn)最近時(shí)，k＝－1，即x＝－eq\f(π,6).答案：x＝－eq\f(π,6)8．解析：y＝3－3sinx－2cos2x＝2sin2x－3sinx＋1＝2(sinx－eq\f(3,4))2－eq\f(1,8)，所以當(dāng)sinx＝eq\f(3,4)時(shí)，ymin＝－eq\f(1,8).答案：－eq\f(1,8)9．解析：(1)∵y＝f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(eq\f(π,6)，0)，∴cos(2×eq\f(π,6)＋φ)＝0，∴2×eq\f(π,6)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(π,6).(2)由(1)得函數(shù)f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,6))，∴2kπ－π≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ，k∈Z，即kπ－eq\f(7π,12)≤x≤kπ－eq\f(π,12)，k∈Z；故y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(7π,12)，kπ－eq\f(π,12)]，k∈Z.10．解析：(1)若選條件①②時(shí)，則ω＝eq\f(2π,π)＝2，即：f(x)＝sin(2x＋φ)，又∵f(x)關(guān)于(－eq\f(π,6)，0)對(duì)稱，∴f(－eq\f(π,6))＝0，即：2×(－eq\f(π,6))＋φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，整理得：－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤eq\f(π,12)＋kπ，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(5π,12)＋kπ，eq\f(π,12)＋kπ]，k∈Z，若選條件①③時(shí)，則ω＝eq\f(2π,π)＝2，即：f(x)＝sin(2x＋φ)，又∵f(x)關(guān)于x＝eq\f(π,12)對(duì)稱，∴f(eq\f(π,12))＝±1，即：2×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得：φ＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，整理得：－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤eq\f(π,12)＋kπ，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(5π,12)＋kπ，eq\f(π,12)＋kπ]，k∈Z，若選條件②③時(shí)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(ωπ,6)＋φ＝k1π，k1∈Z，,\f(ωπ,12)＋φ＝k2π＋\f(π,2)，k2∈Z，))不能確定函數(shù)的最小正周期，無(wú)法確定ω，所以無(wú)法確定函數(shù)解析式．(2)若選條件①②或選條件①③時(shí)，f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，∴當(dāng)2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,12)時(shí)，f(x)取得最大值為1，當(dāng)2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(4π,3)，即x＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)取得最小值為－eq\f(\r(3),2).11．解析：對(duì)于A，因?yàn)閒(－eq\f(π,3))＝sin(－eq\f(π,2))＝－1為最小值，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,3)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閤∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]，所以eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,2)，－eq\f(π,12)]，所以函數(shù)y＝f(x)在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(eq\f(5π,3))＝sineq\f(π,2)＝1，所以點(diǎn)(eq\f(5π,3)，0)不是函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閇－eq\f(4π,3)，π]，所以eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)∈[－π，eq\f(π,6)]，所以f(x)∈[－1，eq\f(1,2)]，故D正確．故選C.答案：C12．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,6)，0)中心對(duì)稱，所以sin(2×eq\f(π,6)＋φ)＝0，則2×eq\f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，故|φ|的最小值為eq\f(π,3).故選B.答案：B13．解析：由題意結(jié)合余弦函數(shù)圖象可得eq\f(4π,3)ω＋eq\f(π,3)＝π，∴ω＝eq\f(1,2)，最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝4π.故選D.答案：D14．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，可得φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6)).對(duì)于A，當(dāng)x∈[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,2)，eq\f(5π,6)]，由正弦函數(shù)性質(zhì)知f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，f(x＋eq\f(π,3))＝sin[2(x＋eq\f(π,3))－eq\f(π,6)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)x1＝eq\f(π,6)，x2＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x1)＝f(x2)＝eq\f(1,2)，但x1－x2＝－eq\f(π,3)不是π的整數(shù)倍，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＝0，則2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，即x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，由0<eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)<2π，解得－eq\f(1,6)<k<4－eq\f(1,6)，因?yàn)閗∈Z，所以k＝0，1，2，3，因此f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))上有4個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選AB.答案：AB15．解析：因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，故f(x)可為三角函數(shù)，且ω＝eq\f(2π,π)