山西省晉城市陵川縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)試題含解析

考生留意∶本試卷共有兩道大題，時(shí)間120分鐘，滿分為150分．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題包括12個(gè)小題，每小題5分，共60分.1~10為單選，11、12為多選）1.為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)成立時(shí)，點(diǎn)P位于（）A.△ABC的AB邊上B.△ABC的BC邊上C.△ABC的內(nèi)部D.△ABC的外部【答案】D【解析】【分析】利用向量加法的平行四邊形法則，推斷選項(xiàng).【詳解】，如圖，依據(jù)平行四邊形法則，可知點(diǎn)P在的外部．故選：D2.（）A.1 B.?1C.i D.?i【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.3.下列命題中∶①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；②若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)；③則；④；⑤若實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的概念，逐項(xiàng)推斷，即可得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)(為實(shí)數(shù))，當(dāng)時(shí)可以比較大小，當(dāng)時(shí)，不能比較大小，故①錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)，當(dāng)為實(shí)數(shù)且時(shí)，為純虛數(shù)，故②錯(cuò)誤;若,則，但不成立，故③錯(cuò)誤;只有當(dāng)時(shí)，有，故④錯(cuò)誤;若，則，不是純虛數(shù)，故⑤錯(cuò)誤.綜上可知，有0個(gè)命題正確.故選：A.4.設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出推斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)隨意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最簡(jiǎn)潔犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯(cuò)誤．5.某中學(xué)有中學(xué)生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從中學(xué)生中抽取70人，則n為()A.100 B.150C.200 D.250【答案】A【解析】【詳解】試題分析：依據(jù)已知可得：，故選擇A考點(diǎn)：分層抽樣6.如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，則該幾何體的體積為：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用兩個(gè)完全相同的幾何體將題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，再計(jì)算體積得到答案.【詳解】如圖所示：用兩個(gè)完全相同幾何體將題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，則圓柱的體積為，故所求幾何體的體積為10π.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的體積，用兩個(gè)完全相同的幾何體將題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱是解題的關(guān)鍵.7.有3個(gè)愛(ài)好小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛(ài)好小組的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】每個(gè)同學(xué)參與的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參與一組的情形有9種，而參與同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A8.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的（）A.內(nèi)心 B.重心 C.外心 D.垂心【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，利用已知條件，證明，從而得到，由此推出結(jié)論．【詳解】設(shè)點(diǎn)作平面的射影為，連接，∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，∴，∵底面，，，，∴∴所以為三角形的外心．故選：C．9.甲?乙?丙三人獨(dú)立地去譯一個(gè)密碼,譯出的概率分別,,,則此密碼能被譯出的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算出不能被譯出的概率，由此求得被譯出的概率.【詳解】用事務(wù)A,B,C分別表示甲?乙?丙三人能破譯出密碼,則,,,且.∴此密碼能被譯出的概率為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查相互獨(dú)立事務(wù)概率計(jì)算，考查對(duì)立事務(wù)概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏-局就獲得冠軍，乙隊(duì)須要再贏兩局才能獲得冠軍．若兩隊(duì)每局獲勝的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知中的競(jìng)賽規(guī)則，我們可得甲要獲得冠軍可分為甲第一場(chǎng)就取勝，或甲第一場(chǎng)失敗，其次場(chǎng)取勝，由獨(dú)立事務(wù)概率的乘法公式和互斥事務(wù)概率加法公式，我們分別求出兩種狀況的概率，即得解【詳解】甲要獲得冠軍共分為兩個(gè)狀況：一是第一場(chǎng)就取勝，這種狀況的概率為一是第一場(chǎng)失敗，其次場(chǎng)取勝，這種狀況的概率為則甲獲得冠軍的概率為故選：D11.若直線a平行于平面α，則下列結(jié)論正確的是（）A.a平行于α內(nèi)的有限條直線B.α內(nèi)有多數(shù)條直線與a平行C.直線a上的點(diǎn)到平面α的距離相等D.α內(nèi)存在多數(shù)條直線與a成90°角【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)即可推斷.【詳解】因?yàn)橹本€a平行于平面α，所以a與平面α內(nèi)的直線平行或異面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，C，D正確.故選：BCD.12.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿意，則下列結(jié)論可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出，結(jié)合角的取值范圍以及正弦定理可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，，?所以，或，，或.故選：AD.第II卷（非選擇題共90分）二、填空題∶本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)，()，試求當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，結(jié)合點(diǎn)在第三象限可得不等式組，解不等式組可得．【詳解】設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∵點(diǎn)在第三象限，∴，解得，故答案為：.14.如圖，設(shè)平面,點(diǎn),直線與交于點(diǎn),且，當(dāng)在之間時(shí),______.【答案】【解析】【詳解】直線與相交，過(guò)于可作一平面，設(shè)為，由且點(diǎn)所在的平面，故有兩平面平行的性質(zhì)，，，即，故答案為.15.在正方體中，點(diǎn)是底面的中心，過(guò)點(diǎn)作一條直線與平行，設(shè)直線與直線的夾角為，則____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，易證，依據(jù)異面直線成角的概念可知角即為或，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在中利用余弦定理，即可求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】如圖所示，設(shè)正方體的表面的中心為，連接，由中位線定理，可得，所以直線即為直線，角即為或；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則,則.故答案為：.16.設(shè)復(fù)數(shù)，滿意，，則=__________.【答案】【解析】【分析】方法一：令，，依據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得，代入復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式中即可得到結(jié)果.方法二：設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判定平行四邊形為菱形，，進(jìn)而依據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計(jì)算.【詳解】方法一：設(shè)，，，，又，所以，，.故答案為：.方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,由已知,∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，∴.【點(diǎn)睛】方法一：本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解實(shí)力，是一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解三、解答題∶（每小題10分共70分）17.設(shè)兩個(gè)向量滿意，，的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩向量夾角為鈍角可知，由數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的范圍；又時(shí)不合題意，由，可構(gòu)造方程求得；綜合可得結(jié)果.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，向量與的夾角為鈍角，，，解得：；當(dāng)時(shí)，也有，設(shè)，，由不共線得：，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查依據(jù)兩向量夾角范圍求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視兩向量夾角為時(shí)，兩向量數(shù)量積依舊小于零，由此造成范圍求解錯(cuò)誤.18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?【答案】詳見(jiàn)解析【解析】【分析】解法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，依據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到的長(zhǎng)度，依據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析推斷和求解.解法二：利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得的值，得到角的值，然后依據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析推斷和求解.【詳解】解法一：由可得：，不妨設(shè)，則：，即.選擇條件①的解析：據(jù)此可得：，，此時(shí).選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時(shí)：，則：.選擇條件③的解析：可得，，與條件沖突，則問(wèn)題中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件沖突.【點(diǎn)睛】在處理三角形中邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采納到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采納到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，留意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，留意角的限制范圍．19.在奧運(yùn)學(xué)問(wèn)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)學(xué)問(wèn)的問(wèn)題，已知甲答對(duì)這道題的概率是，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立的.(Ⅰ）求乙答對(duì)這道題的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）設(shè)乙答對(duì)這道題的概率為，由對(duì)立事務(wù)概率關(guān)系和相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式，求出乙答對(duì)這道題的概率；（Ⅱ）設(shè)丙答對(duì)這道題的概率，由相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式，求出丙答對(duì)這道題的概率和甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤的概率，再由對(duì)立事務(wù)的概率公式，求得答案.詳解：解：（Ⅰ）記甲、乙、丙3人獨(dú)自答對(duì)這道題分別為事務(wù),設(shè)乙答對(duì)這道題的概率，由于每人回答問(wèn)題正確與否是相互獨(dú)立的，因此是相互獨(dú)立事務(wù).由題意，并依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式，得解得，所以，乙對(duì)這道題的概率為(Ⅱ）設(shè)“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答對(duì)這道題”為事務(wù),丙答對(duì)這道題的概率.由（Ⅰ），并依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式，得,解得甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤的概率為因?yàn)槭聞?wù)“甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤”與事務(wù)“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題”是對(duì)立事務(wù)，所以，所求事務(wù)概率為點(diǎn)睛：本題主要考查相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式，對(duì)立事務(wù)的概率關(guān)系，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意相互獨(dú)立事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的辨析.20.如圖所示，平面角為銳角的二面角-EF-β，A∈EF，AG，∠GAE=45°，若AG與β所成角為30°，求二面角a-EF-β的大?。敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥孔饔邳c(diǎn),作于點(diǎn),連接,,分析可得是二面角的平面角,進(jìn)而求解即可【詳解】如圖,作于點(diǎn),作于點(diǎn),連接,,因?yàn)?,,,平面,所以平面,所以,所以是二面角的平面角,又是與所成的角,所以,設(shè),則,所以,故二面角的大小為,21.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.的分組企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）附：.【答案】(1)增長(zhǎng)率超過(guò)的企業(yè)比例為，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為；（2）平均數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)差.【解析】【分析】(1)本題首先可以通過(guò)題意確定個(gè)企業(yè)中增長(zhǎng)率超過(guò)的企業(yè)以及產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)的個(gè)數(shù)，然后通過(guò)增長(zhǎng)率超過(guò)的企業(yè)以及產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)的個(gè)數(shù)除隨機(jī)調(diào)查的企業(yè)總數(shù)即可得出結(jié)果；(2)可通過(guò)平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，隨機(jī)調(diào)查的個(gè)企業(yè)中增長(zhǎng)率超過(guò)的企業(yè)有個(gè)，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)有個(gè)，所以增長(zhǎng)率超過(guò)的企業(yè)比例為，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為．(2)由題意可知，平均值，標(biāo)準(zhǔn)差的平方：，所以標(biāo)準(zhǔn)差．【點(diǎn)睛】本題考查平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，主要考查平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，考查學(xué)生從信息題中獲得所需信息的實(shí)力，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，是簡(jiǎn)潔題．22.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分別是AD1、BD和B1C的中點(diǎn)，求證：(1)MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【詳解】試題分析：（1）連接AC,CD1，N為BD中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，又因?yàn)镸為AD1中點(diǎn)，MN//CD1MN//平面CC1D1D(2)連接BC1,C1D，B1BCC1為正方形，P為B1C中點(diǎn)，P為BC1中點(diǎn)，N為BD中點(diǎn)，PN//C1DPN//平面CC1D1D，且MN∩PN=N平面MNP∥平面CC1D1D.試題解析：證明：（1）連接AC,CD1，因?yàn)锳BCD為正方形，N為BD中點(diǎn)，所以N為AC中點(diǎn)，又因?yàn)镸為AD1中點(diǎn)，所以MN//CD1因?yàn)镸N￠平面CC1D1D,CD1平面CC1D1D,所以MN//平面CC1D1D（2）連接BC1,C1D，因?yàn)锽1BCC1為正方形，P為B