安徽省馬鞍山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期2月月考試題含解析

Page13安徽省馬鞍山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期2月月考試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，因此?故選：D.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式干脆求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式：.故選：D3.下列函數(shù)中，值域是的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)依次求值域即可．【詳解】對(duì)于A：的值域?yàn)椋粚?duì)于B：的值域?yàn)?；?duì)于C：的值域?yàn)?；?duì)于D：，，，的值域?yàn)?；故選：D4.若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6 C.6 D.14【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.5.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用協(xié)助角公式可得，，后由周期計(jì)算公式可得答案.【詳解】，則函數(shù)的最小正周期為.故選：B6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“中間數(shù)”比較大小即可.【詳解】，，，所以.故選：B7.“環(huán)境就是民生，青山就是漂亮，藍(lán)天也是華蜜”，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識(shí)日益增加．某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)削減，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么在排放前須要過濾的次數(shù)至少為參考數(shù)據(jù)：，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意可知過濾次數(shù)與污染物的含量關(guān)系為，在依據(jù)題意列出不等式解出即可．【詳解】過濾第一次污染物的含量削減，則為；過濾第兩次污染物的含量削減，則為；過濾第三次污染物的含量削減，則為；過濾第n次污染物的含量削減，則為；要求廢氣中該污染物的含量不能超過，則，即，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故排放前須要過濾的次數(shù)至少為次．故選：A．8.已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖像，將方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有3個(gè)不同的交點(diǎn)即可.【詳解】若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與有3個(gè)不同的交點(diǎn)如圖與的圖像由圖可得函數(shù)與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先利用不等式性質(zhì)得到，再利用不等式性質(zhì)逐一推斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由知，，，即，故，所以，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；由知，，，則，故C正確；由知，，則，故，即，D正確.故選：CD.10.下列推斷正確的是（）A.，B.命題“，”的否定是“，”C.函數(shù)是由函數(shù)向右平移得到的D.“”是“是第一象限角”的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對(duì)于A、B：干脆推斷；對(duì)于C：利用相位變換干脆求解；對(duì)于D：利用定義法推斷.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以恒成立.故A正確；對(duì)于B：命題“，”的否定是“，”.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)向右平移得到.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：充分性：因?yàn)?，所以，所?所以.所以充分性不成立；必要性：因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵?，所?所以必要性滿意.故“”是“是第一象限角”的必要不充分條件.故D正確.故選：AD11.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由且，可得出，依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出，其中，確定的可能取值，即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)榍?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，其中，所以，，其中，解得，其中，所以，，可得，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ACD.12.對(duì)于函數(shù)，則下列推斷正確的是（）A.在定義域內(nèi)是奇函數(shù)B.，，有C.函數(shù)的值域?yàn)镈.對(duì)隨意且，有【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可推斷A，B，C；作差法比較與即可推斷D.【詳解】對(duì)于A,，且定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，故A正確；對(duì)于B,在單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知隨意且，，，而，故，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若扇形的面積為4，圓心角為2弧度，則該扇形所在圓的半徑為________．【答案】2.【解析】【分析】利用扇形的面積公式干脆求得.【詳解】設(shè)扇形的半徑為,圓心角為.由扇形的面積公式可得：，解得：.故答案為：214.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)由奇函數(shù)的定義求值可得答案．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，.故答案為：．15.已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為________．【答案】【解析】【分析】由題可得，后由二倍角公式可得答案.【詳解】因角的終邊過點(diǎn)，則，故.故答案為：.16.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，有同學(xué)發(fā)覺可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)．已知函數(shù)，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為________．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，,是一個(gè)偶函數(shù).的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.故答案為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)，已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）設(shè)；，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由題可得是的真子集，分類探討為空集和不為空集合兩種狀況，即可求得m的取值范圍.【小問1詳解】由題可得，則；【小問2詳解】由題可得是真子集，當(dāng)，則；當(dāng)，，則（等號(hào)不同時(shí)成立），解得綜上：.18.已知，為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得出，再由求解.【小問1詳解】【小問2詳解】因?yàn)闉殇J角，且，所以.所以，.，所以.19.已知點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)的圖像上（1）求，的值；（2）判定函數(shù)在上的單調(diào)性并證明．【答案】（1），.（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，代入點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算可得；（2）依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可推斷函數(shù)的單調(diào)性，利用定義法可證明的單調(diào)性.【小問1詳解】由已知得，為指數(shù)函數(shù)，，解得，故點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)的圖像上，得，解得，，得到.【小問2詳解】，因?yàn)闉閱握{(diào)增函數(shù)，且也為單調(diào)遞增函數(shù)，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：設(shè)，且，有，得，故在上為單調(diào)遞增函數(shù).20.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用圖像分別求出；（2）利用分別常數(shù)法得到，求出在區(qū)間上的值域，即可求解.【小問1詳解】由圖知：.，所以，所以.所以.由，且，所以.所以.【小問2詳解】令得：.對(duì)于，，則.由的圖像和性質(zhì)可得：在區(qū)間上的值域?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，有.21已知函數(shù)．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若，求函數(shù)在上最小值．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及對(duì)參數(shù)分類探討即可求解；（2）依據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.【小問1詳解】由可得，即，當(dāng)時(shí)，不等式，解得，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.【小問2詳解】由，得，解得，所以，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為.22.諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成份，嘉獎(jiǎng)給分別在項(xiàng)（物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平）為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為．資料顯示：年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額約為萬美元．設(shè)表示第年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額（年記為，年記為，，依次類推）．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）分別求出、與的關(guān)系式；（2）依據(jù)（1）所求的結(jié)果歸納出函數(shù)的解析式（無需證明）．（3）若，試求出年諾貝爾獎(jiǎng)每位獲獎(jiǎng)?wù)叩莫?jiǎng)金額是多少．