高中數(shù)學：10-2事件的關系和運算（學案）

第02講事件的關系和運算

0目標導航

課程標準課標解讀

1.結合具體的事例理解事件的包含關系與相等關系；

通過本節(jié)課的學習，要求掌握隨機事件間的

2.結合具體事例能進行隨機事件的并、交的運算；

關系，能進行事件的交、并運算.

3.通過具體事例理解隨機事件的互斥與對立關系；

陽’知識精講

知識點

1.事件的關系

定義符號圖示

一般地，若事件A發(fā)生，則事件

包含

B一定發(fā)生，稱事件B包含事件824或AUB）

關系

A（或事件A包含于事件3）

如果事件8包含事件A,事件A

相等

也包含事件B,即B2A且A2B,A=B

關系

則稱事件A與事件8相等

2.交事件與并事件

定義符號圖示

一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，

并事件這樣的一個事件中的樣本點或者在事件4AUB

（或和事件）中，或者在事件8中，我們稱這個事件為（或A+8）Q

事件A與事件B的并事件（或和事件）

一般地，事件A與事件8同時發(fā)生，這樣

交事件的一個事件中的樣本點既在事件A中，也ACIB

（或積事件）在事件8中，我們稱這樣的一個事件為事（或AB）________0_

件4與事件B的交事件（或積事件）

3.互斥事件和對立事件

定義符號圖不

一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)

生，也就是說4nB是一個不可能事件，

互斥事件0s

即AnB=0,則稱事件A與事件B互斥（或Q

互不相容）

一般地，如果事件A和事件B在任何一次

試驗中有且僅有一個發(fā)生，即4UB=Q,

對立事件

且。，那么稱事件與事件互為

ACB=AB4n3=0n

對立，事件A的對立事件記為N

4.事件的關系或運算的含義及符號表示

事件的關系或運算含義符號表示

包含A發(fā)生導致8發(fā)生AQB

并事件（和事件）A與8至少一個發(fā)生AUB或A+B

交事件（積事件）A與2同時發(fā)生ACB或AB

互斥（互不相容）A與8不能同時發(fā)生AC\B=0

互為對立A與8有且僅有一個發(fā)生

【微點撥】定義多個事件的和事件以及積事件.

對于三個事件A、B、C,AUBUC（或A+B+。發(fā)生，當且僅當A、B、C中至少一個發(fā)生，ACBCC（或ABC）

發(fā)生，當且僅當A、B、C同時發(fā)生.

【即學即練1】許洋說：“本周我至少做完三套練習題.”設許洋所說的事件為A,則A的對立事件為（）

A.至多做完三套練習題B.至多做完兩套練習題

C.至多做完四套練習題D.至少做完兩套練習題

【答案】B

【解析】

【分析】

兩個事件互為對立事件，是指它們的交集為空集，并集為全集.由對立事件的概念可快速求解.

【詳解】

至少做完3套練習題包含做完3,4,5,6,…套練習題，故它的對立事件為做完0,1,2套練習題，即至

多做完2套練習題.

故選：B.

【即學即練2】拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：4="向上的點數(shù)為i“，其中i=1,2,3,4,5,6,

”向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是()

A.Aq8B.4+B=QC.4與B互斥D.A4與夕對立

【答案】C

【解析】

【分析】

對于選項中的事件，分別寫出對應的基本事件構成的集合，依次分析，即可

【詳解】

對于A,4={2,3,4,5,6},B={2,4,6}(AA,cB,故A錯誤;

對于B,4+8={2}32,4,6}={2,4,6}WC,故B錯誤；

對于C,4與8不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；

對于D,A,={4},B={1,3,5},4與豆是互斥但不對立事件，故D錯誤；

故選：C

【即學即練3】從裝有2個白球和3個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么下列事件中是互斥而不對立的事件是

()

A.“恰有兩個白球”與“恰有一個黑球”

B.“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”

C.“都是白球”與“至少有一個黑球”

D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

【答案】A

【解析】對于A,事件：“恰有兩個白球”與事件：“恰有一個黑球”不能同時發(fā)生，

但從口袋中任取兩個球時還有可能兩個都是黑球，

，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，，A正確；

對于B,事件：”至少有一個黑球''與事件：”至少有一個白球''可以同時發(fā)生，

如：一個白球一個黑球，這兩個事件不是互斥事件，；.B不正確；

對于C.“都是白球”與“至少有一個黑球”不能同時發(fā)生，且對立，故C錯誤：

對于D,“至少有一個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)生，故不互斥.故選：A.

【即學即練4】如果事件A,B互斥，那么（）

A.A是必然事件

B.A的對立事件與B的對立事件的和事件是必然事件

C.A的對立事件與B的對立事件是互斥事件

D.A的對立事件與B的對立事件不是互斥事件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)互斥事件和對立事件的含義判斷.

【詳解】

A.因為事件A,8互斥，若對立，則AUB是必然事件，若不對立，則AU8不是必然事件，故錯誤；

B.A的對立事件與B的對立事件的和事件是必然事件，故正確；

C.若事件A,B互斥，不對立，則A的對立事件與8的對立事件不是互斥事件，故錯誤；

D.若事件4,8互斥，且對立，則A的對立事件與8的對立事件是對立事件，故錯誤；

故選：B

【即學即練5】抽查10件產(chǎn)品，設試驗的樣本空間為。，4=”至多有1件次品“，8="至少有兩件次品”，

貝IJ（）

A.AQBB.BQAC.APB#D.ACI8=0,且AUB=Q

【答案】D

【解析】

【分析】

分析事件A、B包含的基本事件，判斷二者的關系.

【詳解】

A="至多有1件次品“，包含：。件次品和1件次品；

8="至少有兩件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9

件次品和10件次品、

故ACB=0,且AUB=Q

故選：D

【點睛】

判斷兩個事件是否互斥（對立）：

①定義法；②直接法：利用生活常識宜接判斷；③集合法：把事件A,B對應的基本事件用集合表示，根據(jù)

兩個集合的交集為空集，可判斷A、8互斥；若兩個集合的交集為空集，同時二者的并集為全集，則A、B

為對立事件.

【即學即練6】對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設4="兩次都擊中飛機"，8="兩次

都沒擊中飛機"，C="恰有一枚炮彈擊中飛機”，。="至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系不正確的是（）

A.ACDB.BHD=0C.AUC=DD.AUB^BUD

【答案】D

【解析】

【分析】

按照事件間的互斥關系和包含關系分析求解即可.

【詳解】

“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中“包含兩

種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中.故,AUC=。

B,。為互斥事件，Bno=0；

AU8="兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，8U。為必然事件，這兩者不相等

故選：D

【即學即練7】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設E表示事件“3件產(chǎn)品全

不是次品”，F(xiàn)表示事件”3件產(chǎn)品全是次品”，G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品“，則下列結論正

確的是（）

A.F與G互斥B.E與G互斥但不對立

C.瓦EG任意兩個事件均互斥D.E與G對立

【答案】D

【解析】

【分析】

列出基本事件，再結合互斥事件，對立事件的定義即可判斷.

【詳解】

設1表示取到正品,0表示取到次品,所有事件。=｛（1』,1）,（1,1,0）,（1,0,0）,（0,0,0）｝.

則E=｛（1,1,1）｝,F=｛（0,0,0）｝,G=｛（1,1,0）,（1,0,0）,（0,0,0）｝

FcG=F,故尸與G不互斥，故A,C錯

EcG=0,EuG=C，故EhiG互斥且對立，故B錯，D正確

故選：D

【即學即練8】（多選）下列命題中為真命題的是（）

A.若事件A與事件8互為對立事件，則事件A與事件8為互斥事件

B.若事件A與事件8為互斥事件，則事件A與事件5互為對立事件

C.若事件A與事件8互為對立事件，則事件A+8為必然事件

D.若事件4+8為必然事件，則事件A與事件B為互斥事件

【答案】AC

【解析】

根據(jù)互斥與對立事件的定義逐個辨析即可.

【詳解】

對于A,對立事件首先是互斥事件，故A為真命題.

對于B,互斥事件不一定是對立事件，如將一枚硬幣拋擲兩次,共出現(xiàn)（正,正），（正,反），（反,正），（反，反）

四種結果，事件”兩次出現(xiàn)正面''與事件"="只有一次出現(xiàn)反面”是互斥事件，但不是對立事件，故B為假

命題.

對于C,事件A8為對立事件，則在一次試驗中A,B一定有一個發(fā)生，故C為真命題.

對于D,事件A+8表示事件AB至少有一個要發(fā)生,4,5不一定互斥，故D為假命題.

故選：AC

【點睛】

本題主要考查了互斥事件與對立事件的辨析.

【即學即練9】在隨機拋擲一顆骰子的試驗中，事件4=“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點"，事件8=”出現(xiàn)小于6的

點數(shù)”，則事件4豆的含義為,事件A8的含義為一.

【答案】出現(xiàn)2,4,6點出現(xiàn)2,4點

【解析】

分析事件的基本事件再判斷即可.

【詳解】

易知萬="出現(xiàn)6點”，則A口片="出現(xiàn)2,4,6點”,AB="出現(xiàn)2,4點”.

故答案為：(1).出現(xiàn)2,4,6點(2).出現(xiàn)2,4點

【點睛】

本題主要考查了事件的基本運算,屬于基礎題.

【即學即練10】電路如圖所示用4表示事件“電燈變亮”,用B,C,。依次表示“開關I閉合”“開關H閉合”“開

關山閉合“，則4=.(用B,C,。間的運算關系式表示)

I_—?

出

——hi>-------?—

【答案】(BOU(BD)或Bn(CUD)

【解析】

【分析】

燈亮必須形狀開關I閉合，開關II和III中至少有一個閉合，由此可得.

【詳解】

燈亮必須形狀開關I閉合，開關II和HI中至少有一個閉合，

因此A=Z?(CD).

故答案為：B(CUD).也可寫成：(BC)U(B￡>).

【即學即練11】在10件產(chǎn)品中有8件一級品，2件二級品，從中任取3件，若記“3件都是一級品”為事件A,

則A的對立事件是.

【答案】3件至多有2件一級品

【解析】

【分析】

根據(jù)對立事件的定義即可得到答案.

【詳解】

“3件都是一級品”為事件4則4的對立事件為“3件不都是一級品”，

即為“3件至多有2件一級品”.

故答案為：3件至多有2件一級品.

【即學即練12】拋擲3枚硬幣，試驗的樣本點用(x,y,z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”,

貝ljM=.

【答案】｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）

｝.

【解析】

【分析】

根據(jù)試驗結果，直接寫出事件M包含的基本事件即可求解.

【詳解】

拋擲3枚硬幣，試驗的樣本點用（x,y,z）表示，其中x，%z分別表示正反，

則"=｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反,正））.

故答案為：｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）

｝.

【即學即練13】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不

是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件.

（1）恰有1名男生與恰有2名男生；

（2）至少有1名男生與全是男生；

（3）至少有1名男生與全是女生；

（4）至少有1名男生與至少有1名女生.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析：（3）答案見解析；（4）答案見解析

【分析】

判別兩個事件是否互斥，就要考察它們是否能同時發(fā)生；判別兩個互斥事件是否對立，就要考察它們是否

必有一個發(fā)生.

【解析】

（1）因為“恰有1名男生"與'’恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當恰有2名女生時它們

都不發(fā)生，所以它們不是對立事件.

（2）因為恰有2名男生時“至少有I名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

（3）因為“至少有1名男生''與"全是女生”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個發(fā)生，所以它

們是對立事件.

（4）由于選出的是1名男生1名女生時“至少有1名男生”與“至少有1名女生“同時發(fā)生，所以它們不是互斥

事件.

【即學即練14］擲一枚骰子，給出下列事件:

A=”出現(xiàn)奇數(shù)點”，8=”出現(xiàn)偶數(shù)點"，C=”出現(xiàn)的點數(shù)小于3”.

求：(1)AB,BcC；

(2)AB,BoC.

【答案】(1)A8=0,3cC="出現(xiàn)2點”.

(2)="出現(xiàn)1,2,3,4,5或6點”，8UC=”出現(xiàn)1,2,4或6點

【解析】

根據(jù)題意表示出集合A,aC,再求(1)AB,BcC；(2)AB,BuC即可.

【詳解】

由題意知：4=”出現(xiàn)奇數(shù)點”={1,3,5},3="出現(xiàn)偶數(shù)點”={2,4,6},

C="出現(xiàn)的點數(shù)小于3"={1,2},

(1)A8=0,3cC={2}=出現(xiàn)2點”；

(2)AB={1,2,3,4,5,6}="出現(xiàn)1,2,3,4,5或6點”,

BuC={1,2,4,6}="出現(xiàn)1,2,4或6點”.

【點睛】

本題主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的運算.

u能力拓展

考法01

事件的關系判斷：1.判斷事件間的包含關系，交事件、并事件關系要以定義為標準來判斷.

2.判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事

件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件；判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一

次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.這兩個條件同時成立,

那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件.

【典例1】同時拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面“為事件“至少有一枚的向上面是正面“為事件N,則有

()

A.MqNB.M好NC.M=ND.M<N

【答案】A

【解析】

列出事件N包含的結果再分析與事件M的關系即可.

【詳解】

事件N包含兩種結果：“向上面都是正面''和"向上面是一正一反”.所以當M發(fā)生時，事件N一定發(fā)生，則有

M三N.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了事件的包含關系，屬于基礎題型.

【典例2】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，與事件“至少有1個白球“相等的事件是（）

A.全是紅球B.至少有1個紅球

C.至多有1個紅球D.1個紅球，1個白球

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，寫出事件“至少有I個白球”所包含的基本事件，根據(jù)選項即可判斷和選擇.

【詳解】

從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，若至少有1個白球，

則其包含的基本事件是：1個白球1個紅球，2個白球；

又至多有1個紅球包含的基本事件也是：1個白球1個紅球，2個白球.

故選：C.

【典例3】抽查10件產(chǎn)品，設人=｛至多有1件次品｝,則事件A的對立事件是（）

A.｛至多有2件正品｝B.｛至多有1件次品｝

C.｛至少有1件正品｝D.｛至少有2件次品｝

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對立事件的定義，結合題意，即可寫出事件A的對立事件.

【詳解】

因為抽查10件產(chǎn)品，設4=（至多有1件次品｝,

故事件A的對立事件是：｛至少有2件次品｝.

故選：D.

【典例4],從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中的兩個事件是互斥事件的為

（）

A.“都是紅球”與“至少1個紅球”

B.“恰有2個紅球”與“至少1個白球”

C.“至少1個白球”與“至多1個紅球”

D.“2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”

【答案】D

【解析】

【分析】

分析每個選項中的兩個事件是否有共同的基本事件判斷并作答.

【詳解】

對于A選項：“至少1個紅球”的事件中含有“都是紅球”這一事件，即兩個事件可以同時發(fā)生，A中的兩個

事件不互斥；

對于B選項：“恰有2個紅球”和“至少1個白球”的事件中都含有“兩紅球，一白球”的事件，B中的兩個事件

不互斥；

對于C選項：“至少1個白球”與“至多1個紅球”的事件中都含有“三白球”與“一紅球，兩白球”的兩個事件，

C中的兩個事件不互斥：

對于D選項，3個球中“2個紅球，1個白球”的事件與“2個白球，1個紅球”的事件不可能同時發(fā)生，是互斥

事件，所以兩個事件是互斥事件的為D.故選：D

【典例5】某人打靶時，連續(xù)射擊兩次，事件A="至少有一次中靶"，8="兩次都不中靶”，則（）

A.AQBB.BQA

C.AC\B=0D.XDB=0

【答案】c

【解析】

【分析】

列舉射擊2次的基本事件，分析A、8的關系.

【詳解】

連續(xù)射擊兩次，用（x,y）,（x、y取0,1,取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括：

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),

其中A=｛(0,0),((),1),(1,())｝,8=｛(1,1)｝

故An8=。，其他都不對?.

故選：c

【點睛】

判斷兩個事件是否互斥(對立)：

①定義法；②直接法：利用生活常識直接判斷；③集合法：把事件4,8對應的基本事件用集合表示，根據(jù)

兩個集合的交集為空集，可判斷4、8互斥；若兩個集合的交集為空集，同時二者的并集為全集，則A、B

為對立事件.

【典例6】拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件4,“一次正面向上，兩次反面向上“為事件

B,“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C,“至少一次反面向上”為事件。，“3次都正面向上”為事件E

(1)試判斷事件A與事件B,C,E的關系；

(2)試求A。，2+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關系.

【答案】WBOA,CQA,EQA,A=B+C+E

(2)40=｛有正面向上，也有反面向上｝,8+C=｛一次正面向上或兩次正面向上｝,AD=B+C

【分析】

(1)寫出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；(2)寫

出事件。所包含的基本事件，與事件4進行比較，得到AO所包含的樣本點，再寫出B+C所包含的樣本點,

可得到AO與B+C的關系.

【解析】

(1)事件A為“至少有一次正面向上“，包含“一次正面向上，兩次反面向上“，“兩次正面向上，一次反面向

上''和"3次都正面向上”三個基本事件，所以8UA,CQA,EQA,A^B+C+E.

(2)“至少一次反面向上”為事件/),包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”

和“3次都反面向上'’三個基本事件，可以看出事件A與事件。有相同的兩個基本事件，即“一次正面向上，

兩次反面向上“，"兩次正面向上，一次反面向上“，故｛一次正面向上或兩次正面向上｝,B+C=｛一次正

面向上或兩次正面向上｝,所以4￡>=8+C.

【典例7】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為''只訂甲報”，事件8為“至少訂一種報”，事件

C為“至多訂一種報“，事件。為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”.判斷下列事件是不是互斥事件，如

果是，判斷它們是不是對立事件.

(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)8與C；(5)C與E

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)若只訂甲報，則事件A與事件C有可能同時發(fā)生，從而可判斷；

(2)由事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，事件B和事件E必有一個發(fā)生，

從而可判斷.

(3)若只訂乙報，則事件8與事件?？赡芡瑫r發(fā)生，從而可判斷；

(4)寫出事件&至少訂一種報''可能結果和事件C'至多訂一種報”的所有可能結果，從而可判斷；

(5)由事件&一種報也不訂'’僅僅是事件C的一種可能，從而可判斷；

【詳解】

(1)由于事件。'至多訂一種報''中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故4與C不是互斥

事件.

(2)事件中至少訂一種報“與事件一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，

故事件B與E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件.

(3)事件8"至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件2發(fā)生，事件。也可能

發(fā)生，故8與。不是互斥事件.

(4)事件8"至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報小只訂乙報施訂甲、乙兩種報

事件C'至多訂一種報“中有3種可能：“一種報也不訂”"只訂甲報'“'只訂乙報即事件B與事件C可能同時

發(fā)生，故8與C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析可知，事件『一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故

C與E不是互斥事件.

考法02

事件的交、并運算：事件間運算方法

(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結果，分析并利用這些結果進行事件間的

運算.

(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結果，把這些結果在圖中

列出，進行運算.

【典例8】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A="出現(xiàn)的點數(shù)是1或2"，事件8=”出現(xiàn)的點數(shù)是2或3或

4”，則事件“出現(xiàn)的點數(shù)是2”可以記為()

A.ABB.ABC.AcBD.A=B

【答案】B

【解析】

根據(jù)事件A和事件8,計算AB,AB,根據(jù)結果即可得到符合要求的答案.

【詳解】

由題意可得：A={L2},B={3,4},

.?.A8={1,2,3,4},AcB={2}.

故選B.

【點睛】

本題主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的運算，集合與集合的關

系來解決，是基礎題.

【典例9】設A,B是兩個任意事件，下面關系正確的是()

A.A+B=AB.A+AB=A

C.'ABQAD.A(A+B)=A

【答案】BD

【解析】

根據(jù)事件的運算法則逐個分析即可.

【詳解】

若A+3=A,則故A錯誤；

由題知ABuA+AB=A,B正確；

?.?當事件A、8都不發(fā)生時,而發(fā)生，但A不發(fā)生,.?.而不是A的子集,C錯誤；

Au(4+3),;.A(A+8)=A,D正確.

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查了事件的基本運算，屬于基礎題型.

【典例10】拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，若事件A={1,3,5},事件5={2,3},求事件AB,AB.

【答案】Au8={l,2,3,5},4c8={3}.

【解析】

【分析】

利用隨機事件的運算，求AB,AB.

【詳解】

由題設,A8={1,3,5}。{2,3}={1,2,3,5},AB={l,3,5}c{2,3}={3}.

【典例11］生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要2道工序，設事件A="第一道工序加工合格“，事件8="第二道工序加工合

格“，用A,B,后表示下列事件：C=“產(chǎn)品合格”，。="產(chǎn)品不合格”.

【答案】C=AB；。=麗+社+而.

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件利用事件的運算即可列式作答.

【詳解】

要使得產(chǎn)品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A,8同時發(fā)生，

所以C=A8；

產(chǎn)品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，

所以，D=AB+AB+^B-

考法03

事件的關系和運算的綜合應用：

【典例12］如圖所示，事件A="甲元件正常"，8="乙元件正常“，C="丙元件正?！?則AUBUC表示的

含義為________，可門后0仁表示的含義為.

r-TWb-i

----------------

HH

【答案】電路工作正常電路工作不正常

【解析】

【分析】

結合事件的關系和運算即可.

【詳解】

A8UC表示甲、乙、丙元件至少有一個正常，即電路工作正常;

其石々表示甲、乙、丙元件都不正常，即電路工作不正常.

故答案為：電路工作正常；電路工作不正常.

【典例13】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,事件M={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},則事件M

的含義是.

【答案】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為8

【解析】

【分析】

根據(jù)事件可歸納出M的含義.

【詳解】

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,事件M=((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)),

歸納可知，事件M的含義是：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為8的事件.

故答案為：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為8.

【典例14】從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，判斷下列每對事件是不是互斥事件，是不

是對立事件.

⑴“取出3個紅球”與“取出3個球中至少有1個白球”；

(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”；

(3)“取出3個紅球”與“取出的球中至少有1個紅球

【答案】(1)是互斥事件，也是對立事件；

(2)是互斥事件，但不是對立事件；

(3)既不是互斥事件，也不是對立事件.

【分析】

根據(jù)題意，求得從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球所有的基本事件，再寫出每個事件中包含

的基本事件，即可判斷.

【解析】

(1)從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，從顏色的角度出發(fā)，包含如卜基本事件：

3個白球，2個白球1個紅球，1個白球2個紅球，3個紅球.

事件“取出3個球中至少有1個白球”，包括：3個白球，2個臼球1個紅球，1個白球2個紅球，

故該事件與“取出3個紅球”是互斥事件，也是對立事件.

(2)根據(jù)(1)中所求，顯然：

“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”是互斥事件，但不是對立事件.

(3)“取出的球中至少有1個紅球”包括基本事件：2個白球1個紅球，I個白球2個紅球，3個紅球，

故該事件與“取出3個紅球”不是互斥事件，因為有共同的基本事件：3個紅球；

同時，也不是對立事件.

【典例15】設A,B,C表示三個隨機事件，試將下列事件用A,B,C表示出來.

(1)三個事件都發(fā)生；

(2)三個事件至少有一個發(fā)生；

(3)A發(fā)生，B,C不發(fā)生；

(4)A,8都發(fā)生，C不發(fā)生；

(5)A,8至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；

(6)A,B,C中恰好有兩個發(fā)生.

【答案】(1)ABC-.(2)ABC,(3)ABC-.(4)ABC-,(5)(AB)C-(6)(ABC)(ABC)(ABC)

【解析】

【分析】

由互斥事件和對立事件的定義、事件的間的關系求解即可

【詳解】

解：(1)三個事件都發(fā)生表示為ABC；

(2)三個事件至少有一個發(fā)生表示為ABC.

(3)4發(fā)生，B,C不發(fā)生表示為48d;

(4)4,8都發(fā)生，C不發(fā)生表示為

(5)A,8至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生表示為(AB)C;

(6)4,B,C中恰好有兩個發(fā)生表示為卜86)(ABC)(ABC).

【典例16】記某射手一次射擊訓練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件A,B,C,D,指出下

列事件的含義：

(1)ABC；

(2)Bnc；

(3)BUCUD.

【答案】(1)射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).

(2)射中9環(huán).

(3)射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).

【解析】

（1）根據(jù)意義即可得到；

（2）先求出即可得出BCe;

（3）先求出8CD,即可得出BUCUQ.

【詳解】

（I）A=射中10環(huán)，5=射中9環(huán)，C=射中8環(huán)，

.-.AU3UC=射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).

（2）,.<=射中8環(huán)，

，心=射中環(huán)數(shù)不是8環(huán)，

則=射中9環(huán).

（3）BUCUO=射中9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)，

則萬=射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).

【點睛】

本題主要考查的是交事件（積事件）與并事件（和事件）的理解和應用以及對互斥事件、對立事件的概念

理解，以及集合間的基本運算，是基礎題.

【典例17】一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有有2個紅色球（標號為1和2）,2個綠色球（標

號為3和4）,從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R|廿第一次摸到紅球“，&="第二次摸到紅球”,

R="兩次都摸到紅球”，G="兩次都摸到綠球"，M="兩個球顏色相同"，N="兩個球顏色不同”.

（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；

（2）事件R與R1,R與G,M與N之間各有什么關系？

（3）事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件"與事件R2的交事件與事件R有什么關系？

【答案】（1）詳見解析（2）事件與包含事件品事件R與事件G互斥；事件”與事件N互為對立事件（3）

事件M是事件R與事件G的并事件；事件R是事件/?,與事件&的交事件.

【解析】（1）所有的試驗結果如圖所示，

（D?（DOQQ

?OOO0?

OQQ0Q0

QQQ?Q0

用數(shù)組（%,/）表示可能的結果,*是第一次摸到的球的標號是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空

間

復=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝

事件Rk''第一次摸到紅球''，即斗=1或2,于是

N=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）｝；

事件&="第二次摸到紅球''，即々=1或2,于是

&=｛（2,1）,（3,1）,（4,1）,（1,2）,（3,2）,（4,2）｝.

同理，有

/?=｛（1,2）,（2,1）｝.

G=｛（3,4）,（4,3）｝,

M=｛（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）｝,

N=｛（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）｝.

（2）因為所以事件R|包含事件R；

因為RG=0,所以事件R與事件G互斥；

因為MLN=C.McN=0,所以事件M與事件N互為對立事件.

（3）因為RI」G=M，所以事件M是事件R與事件G的并事件；

因為&/?2=R，所以事件R是事件"與事件"的交事件.

【典例18】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件Ci=｛出現(xiàn)1點｝,事件C2=｛出現(xiàn)2點｝,

事件G=｛出現(xiàn)3點｝,事件C4=｛出現(xiàn)4點｝,事件Cs=｛出現(xiàn)5點｝,事件。6=｛出現(xiàn)6點｝,事件￡>]=｛出

現(xiàn)的點數(shù)不大于1｝,事件。2=｛出現(xiàn)的點數(shù)大于3｝,事件。3=｛出現(xiàn)的點數(shù)小于5｝,事件E=｛出現(xiàn)的點數(shù)

小于7｝,事件F=｛出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)｝,事件G=｛出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)｝,請根據(jù)上述定義的事件，回答下

列問題：

（1）請舉出符合包含關系、相等關系的事件；

（2）利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.

【答案】（1）見解析；（2）事件。2,6,E,F,G為和事件.

【解析】（1）若事件G，Ci，Ci，C4發(fā)生，則事件。3必發(fā)生，所以GU6，C.QDi，C3CD3，C4CD3.

同理可得，事件。2包含事件C4，C5,C6；事件E包含事件Ci，C2,C3,C4,C5，C6；

事件廠包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件C”C3,C5.

易知事件G與事件。相等，即Ci=。.

（2）因為事件止=｛出現(xiàn)的點數(shù)大于3｝=（出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點｝,

所以Z>2=C4UC5UCU或5=C4+C5+C6）.

同理可得，￡>3=。1+。2+。3+。4，￡*=C|+C2+C3+C4+C5+C6，尸=。2+。4+。6，G=Cl+Cs+Cs.

故事件。2.。3,E,F,G為和事件.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.一個射手進行一次射擊，事件A：命中環(huán)數(shù)大于8;事件及命中環(huán)數(shù)大于5,則（）

A.4與8是互斥事件B.A與8是對立事件

C.AQBD.

【答案】C

【解析】

【分析】

列出事件A、B的樣本點，即可判斷；

【詳解】

解:事件A:命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事件8:命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故AQB.

故選：C

2.從1,2,3,7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：

①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；

②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；

③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；

④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)

上述事件中，是對立事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

【答案】C

【解析】

【分析】

列舉出從1~7中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可共有三件事件：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶

數(shù)”，再由對立事件的定義即可得出選項.

【詳解】

解析：③中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，

而從1~7中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認為共有三件事件：

“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，

故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)''是對立事件，其余都不是對立事件.

故選：C

3.從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出三件產(chǎn)品，設4=｛三件產(chǎn)品全不是次品｝,B=｛三件產(chǎn)品全是次品｝,

C=｛三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品｝,則下列結論中錯誤的是（）

A.A與C互斥B.B與C互斥

C.任何兩個都互斥D.任何兩個都不互斥

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)互斥事件的定義進行判斷即可

【詳解】

由題意知事件A,B,C兩兩不可能同時發(fā)生，因此兩兩互斥.

故答案選：D

4.打靶3次，事件A,表示“擊中i發(fā)"，其中i=0、1、2、3.那么A=AA4表示（）

A.全部擊中B.至少擊中1發(fā)

C.至少擊中2發(fā)D.以上均不正確

【答案】B

【解析】

【分析】

利用并事件的定義可得出結論.

【詳解】

A=AA4所表示的含義是A、4、&這三個事件中至少有一個發(fā)生，即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā).

故選：B.

5.某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級，其中甲級為正品，乙、丙兩級均屬次品.從等級分別為甲、乙、丙的三件

產(chǎn)品中任取一件，抽到甲、乙、丙三級產(chǎn)品分別為事件A,B,C,則抽得次品為（）

A.AB.

C.CD.A

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)事件的運算逐個判斷即可.

【詳解】

事件A為抽到一件正品，故A錯誤.

事件萬為抽到乙的反面，即抽到正品，故B錯誤.

事件已為抽到丙的反面，即抽到正品，故C錯誤.

事件7為抽取甲級產(chǎn)品的反面，即抽到次品，故D正確.

故選：D.

6.從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）

A.至少有一個白球與都是紅球B.恰好有一個白球與都是紅球

C.至少有一個白球與都是白球D.至少有一個白球與至少一個紅球

【答案】B

【解析】

【分析】

列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.

【詳解】

解：對于A,事件：”至少有一個白球''與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；

對于B,事件：“恰好有一個白球''與事件：''都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個球時還有可能是

兩個都是白球，

所以兩個事件互斥而不對立，故B1E確；

對于C,事件：“至少有一個白球''與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯

誤；

對于D,事件：“至少有一個白球''與事件："至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所

以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.

故選：B.

7.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對事件中是互斥事件的有（）

①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至

少有一名男生和全是女生.

A.①③④B.②③④C.②③D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

按互斥事件的概念逐個判斷即可.

【詳解】

由互斥事件的概念可知，①④中的兩個事件是互斥事件，②③兩個事件不是互斥事件.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查利用互斥事件的概念判斷兩個事件是否互斥，屬基礎題.

8.拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為事件8,則（）

A.AcB

B.A=B

C.A+3表示向上的點數(shù)是1或2或3

D.A8表示向上的點數(shù)是1或2或3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可得A={1,2},8={2,3},求得A8={1},AIB={1,2,3},即可求解.

【詳解】

由題意,可知A={1，2},3={2,3},

則Afi={123},；.A3表示向上的點數(shù)為1或2或3.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了隨機事件的概念及其應用，其中解答中正確理解拋擲一枚骰子得到基本事件的個數(shù)是解答

的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

9.把電影院的4張電影票隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號”與事

件“乙分得4排1號”是()

A.對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上答案都不對

【答案】C

【解析】

【分析】

事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號''不可能同時發(fā)生，故它們是互斥事件.事件“甲分得4排1號”

與事件“乙分得4排1號”可能都不發(fā)生，故它們不是對立事件.

【詳解】

由題意知，事件“甲分得4排1號”與事件"乙分得4排1號''不可能同時發(fā)生.由互斥事件的定義可知，它們

是互斥事件.

又事件“丙分得4排1號”與事件"丁分得4排I號”其中一個可能發(fā)生，即事件“甲分得4排I號”與事件“乙

分得4排1號”可能都不發(fā)生.由對立事件的定義知，它們不是對立事件.

故選：C.

【點睛】

本題考查互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎題.

10.甲、乙兩個元件構成一串聯(lián)電路，設