三年級上冊奧數(shù)考試試題-和差問題

第一講和差問題

例1兩筐水果共重56千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克?

同步練習(xí)：1、小剛在一次檢測中，語文和數(shù)學(xué)總分是186分，語文比數(shù)學(xué)少考4分。問語

文和數(shù)學(xué)各考了多少分？

2、三（1）班比三（2）班多5名學(xué)生，兩個班共有學(xué)生105名。三（1）班和三（2）班各

有多少名？

例2今年小強7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？

同步練習(xí)：1、今年媽媽36歲，小紅11歲，當(dāng)兩人年齡和是87歲時，兩人年齡各多少歲？

2、小明期末考試時語文和數(shù)學(xué)的平均分數(shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各

得了幾分？

例3、書架的上、下兩層共有書200本，如果從上層移20本到下層，則上、下兩層書的本

書同樣多。問書架的上、下兩層各有書多少本？

同步練習(xí)：1、紅星小學(xué)一年級兩個班一共有108人，如果從一班轉(zhuǎn)3人到二班去，兩個班

學(xué)生就一樣多。兩個班各有學(xué)生多少人？

2、姐姐和妹妹共有糖果39塊，如果姐姐給妹妹7塊，就比妹妹少3塊。那么姐姐和妹妹

原來各有糖果多少

1

課后作業(yè)

1、果園里有桃樹和梨樹共100棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵?

2、某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為95萬元，今年比去年多10萬元，今年與去年的產(chǎn)值各

是多少萬元？

3、甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等,

問甲、乙兩桶原有多少油？

4、甲、乙兩個班共有學(xué)生96人，如果從甲班轉(zhuǎn)3人去乙班后，甲班的人數(shù)比乙班還多4

人，兩班原來各有學(xué)生多少人？

5、在下面。添上“+”或使等式成立。

Io2o3o4o5o6o7o8o9=5

第二講和倍問題

1.小梅家養(yǎng)白兔和黑兔一共32只，白兔的只數(shù)是黑兔的3倍。小梅家養(yǎng)白兔和黑兔各多少

只？

2一學(xué)校將240本書分給二、三年級。已知三年級所分得的本數(shù)是二年級的2倍。二、三年

級各分得多少本書？

3.一本書有360頁，小華已讀的頁數(shù)是剩下頁數(shù)的8倍。小華已讀了多少頁？還剩下多少

頁沒讀？

2

.4.在一道沒有余數(shù)的除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)的和是280,商是6o被除數(shù)和除數(shù)各是

多少？

5.在一道沒有余數(shù)的除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)與商的和是243,商是3。被除數(shù)和除數(shù)各

是多少？

6.兄妹二人共植樹15棵，哥哥植樹的棵樹比妹妹的2倍少3棵。兄妹二人各植樹多少棵?

7.兄妹二人共植樹15棵，哥哥植樹的棵樹比妹妹的3倍多3棵。兄妹二.人各植樹多少棵?

8.甲倉庫存糧50噸，乙倉庫存糧70噸，要使甲倉庫的存糧是乙倉庫的3倍，必須從.乙倉

庫運出多少噸糧食放入甲倉庫？

9.甲有郵票90張，乙有郵票60張。要使甲的郵票張.數(shù)是乙的4倍，那么乙必須給甲多少

張郵票？

10.哥哥和妹妹共有56元零花錢，如果哥哥再增加4元錢，則哥哥的錢數(shù)就是妹妹的5倍。

哥哥和妹妹原來各有多少零花錢？

第三講差倍問題

1.小明到市場買水果'。他買的蘋果個數(shù)是梨的3倍.，蘋果比梨多,18個。小明買蘋果和梨各

多少個？

2.媽媽比小剛大24歲，今年媽媽的年齡正好是小剛年齡的3倍。今年小剛和媽媽各多少歲？

3

3.父親今年54歲，兒子今年14歲。兒子多少歲的時候，父親的年齡是兒子年齡的3倍?

4.父親今年54歲.，兒子今年14.歲。再過幾年，父親的年齡是兒子年齡的3倍?

5.大、小兩個數(shù)，如果將大數(shù)個位數(shù)上的0去掉，就變成了小數(shù)，大數(shù)比小數(shù)多45。大數(shù)、

小數(shù)各是多少？

6.甲、乙兩個數(shù)，如果將甲數(shù)個位數(shù)上的0去掉，就變成了乙數(shù)，甲數(shù)比乙數(shù)多63。甲、

乙兩數(shù)的和是多少？

7.甲筐蘋果的重量是乙筐蘋果的3倍。如果從甲筐取出30千克..放入乙筐，那么兩筐蘋果

的

重量就相等。兩筐蘋果原來各重多少千克？

8.甲倉庫存糧是乙倉庫的5倍。如果從甲倉庫調(diào)入乙倉庫40噸，那么兩倉庫存糧正好相等,

原來兩個倉庫各存糧多.少.噸？

9.兩根繩子，第一根長36米，第二根長18米。兩根繩子用去同樣長的一段后，第一根繩

子剩下的長度是第二根繩子剩下長度的3倍。兩根繩子各剩下幾米？

10.甲乙兩個糧倉共存糧360噸，甲倉庫存糧噸數(shù)比乙倉庫的3倍多40噸。甲、乙兩個倉

庫各存糧多少噸？

4

第四講盈虧問題

【名師解析】

盈虧問題的數(shù)量關(guān)系式：

（1）（盈+虧）+兩次分配差=份數(shù)

（大盈一小盈）:兩次分配差=份數(shù)

（大虧一小虧）+兩次分配差=份數(shù)

（2）每次分得的數(shù)量x份數(shù)+盈=總數(shù)量

每次分得的數(shù)量x份數(shù)一虧=總數(shù)量

【例題精講】

例1：學(xué)校給一批新入學(xué)的學(xué)生分配宿舍。如果每個房間住12人，則34人沒有位置；如果

每個房間住14人，則空出4個房間。求學(xué)生宿舍有多少間？住宿學(xué)生有多少人？

練習(xí)：導(dǎo)游給某旅行團成員分配宿舍，如果每個房間住4人，則24人沒有位置；如果每個

房間住6人，則空出8個房間，問宿舍多少間？成員多少人？

例2：學(xué)雷鋒小組為學(xué)校搬成，如果每人搬18塊，還剩2塊，如果每人搬20塊，就有一位

同學(xué)沒磚可搬，則共有多少塊磚？共有多少人？

練習(xí)：同學(xué)們?nèi)澊绻看?人，則少3只船；如果每船坐6人，還有2人留在岸

邊；有多少同學(xué)去劃船？共有多少船？

例3：大猴子采到一堆桃子，平均分給小猴吃，每只小猴分10個桃子，有兩只小猴沒有分

到。第二次重分，每只小猴分8個桃子，剛巧分完。這堆桃子有多少個？小猴子有多少只？

練習(xí)：老師給學(xué)生發(fā)本子，如果每人發(fā)8本，則有3個學(xué)生沒發(fā)到；如果每人發(fā)6本，正

好發(fā)完，問有多少個學(xué)生？有多少本本子？

例4：同學(xué)們分組去種樹，如果增加一小組，正好每小組5人；如果減少一小組，正好每組

7人，問多少個同學(xué)？

5

練習(xí)：有一個班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如

果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學(xué)？

例5：少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個坑沒人挖；如果其中2人各挖4個,

其余的人各挖6個樹坑，就恰好挖完所有樹坑。少先隊員一共挖多少樹坑？

練習(xí)：老師給幼兒園的小朋友分蘋果。如果每個小朋友分2個，還多30個；如果其中的12

個小朋友每人分3個，剩下的每人分4個，則正好分完。一共有多少個蘋果？

選講：蘋果是梨的2倍，現(xiàn)在把蘋果和梨分給小朋友，每人分5個梨，最后還剩15個；每

人分14個蘋果，還少30個蘋果，問蘋果和梨各有多少個？

【綜合精練】

1.某校安排宿舍，如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個床位。問

宿舍多少間？學(xué)生多少人？

2.同學(xué)們?nèi)ザY堂聽報告，如果每張長椅上坐8人，則剩下50人沒座位；如果每張長椅坐12

人，則空出10個座位。如果每張長椅坐7人，還剩下多少學(xué)生沒座位？

3.某小學(xué)學(xué)生乘車去秋游，如果每車坐45人，則有10人不能乘車；如果每車多坐5人，恰

好多余了一輛車，問一共多少輛車？多少人？

4.老師將一些練習(xí)本發(fā)給班上的學(xué)生。如果每人發(fā)10本，則有2個學(xué)生沒分到；如果每人

發(fā)8本，則正好發(fā)完。有多少個學(xué)生？多少本練習(xí)本？

6

5.學(xué)校分配學(xué)生宿舍。如果每個房間住6人，則少2間宿舍；如果每個房間住9人，則空出

2個房間。問學(xué)生宿舍有多少間？住宿學(xué)生有多少人？

6.在一次大掃除中，老師分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，則

余22塊；如果每人擦7塊，則正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)。

7.小紅家買來一籃橘子分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，則多出4

只；如果其中一人分6只，其余每人分4只，則又缺12只。小紅家買來多少只橘子？小紅

家一共有多少人？

8.學(xué)生去種樹，如果每人種2棵，還有10棵沒種；如果其中2人各種3蝶，其余人各種4

棵，就恰好種完，問有學(xué)生多少人共種多少棵樹？

9.學(xué)生春游到公園劃船，如果在5只船上每只船上坐3人，其余的4人坐一船，則有5人無

船可乘；如果在4只船上每船坐6人，其余的3人坐一船，則最后空著一只船無人乘。共

有船多少只?學(xué)生共有多少人？

挑戰(zhàn)競賽：大米是面粉的2倍，如果每車運面粉3噸，還剩5噸面粉；如果每車運大米7

噸，正好把大米運完，大米和面粉各多少噸？

第五講雞兔同籠問題

例1（古典題）雞兔同籠，頭共46,足共128,雞兔各幾只？

7

分析如果46只都是兔，一共應(yīng)有4x46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了

184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應(yīng)

該換進幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒有了呢？顯然，56+2=28,..只要用28只雞去置換

28只兔就行了.所以，雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)是46-28=18。

解：①雞有多少只？（4x6-128）:（4-2）=（184-128）;2=56+2=28（只）②免有多少只？

46-28=18（只）答：雞有28只，免有18只。

我們來總結(jié)一下這道題的解題思路：先假設(shè)它們?nèi)峭?于是根據(jù)雞.兔的總只數(shù)就可以算出

在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看相差多少.每差2只

腳就說明有一只雞；將所差的腳數(shù)除以2,就可以算出共有多少只雞.我們稱這種解題方法

為假設(shè)法.概括起來，解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：

雞數(shù)=（每只兔腳數(shù)x兔總數(shù)-實際腳數(shù)）-（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）

兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)當(dāng)然，也可以先假設(shè)全是雞。

例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

分析這個例題與前面例題是有區(qū)別的，沒有給出它們腳數(shù)的總和，而是給出了它們腳數(shù)的

差.這又如何解答呢？

假設(shè)100只全是雞，那么腳的總數(shù)是2x100=200（只）這時兔的腳數(shù)為0,雞腳比兔腳多200

只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只），

這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳數(shù)減少4

只.那么，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只），所以換成雞的兔子有120+6=20（只）.

有雞（100-20）=80（只）。

解：（2x100-80.）+（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：雞與兔分別有80只和20

只。

例3紅英小學(xué)三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班

各有多少人？

分析1我們設(shè)想，如果條件中三個班人數(shù)同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由

此得到啟示，是否可以通過假設(shè)三個班人數(shù)同樣多來分析求解。

結(jié)合下圖可以想，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同，以一班為標準，則二班人數(shù)要比

實際人數(shù)少5人.三班人數(shù)要比實際人數(shù)多7-5=2（人）.那么，請你算一算，假設(shè)二班、三

班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多，三個班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少？

解法］一班：［135-5+（7-5）］-3=132^3=44（人）二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

分析2假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多，那么，一班人.數(shù)比實際要多5人，而三班要

1倍

一班（.——）1

?人

三班上——大=!

?人7人

8

比實際人數(shù)多7人.這時的總?cè)藬?shù)又該是多少？

解法2：（135+5+7）-3=147-3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

想一想：根據(jù)解法1、解法2的思路，還可以怎樣假設(shè)？怎樣求解？

例4劉老師帶了4」名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐

4人，問大船、小船各租幾條？分析我們分步來考慮：

①假設(shè)租的10條船都是大船，那么船上應(yīng)該坐6x10=60（人）。

②假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實際人數(shù)多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都

假設(shè)成坐6人。

③一條小船當(dāng)成大船多出2人，多出的18人是把18-2=9（條）小船當(dāng)成大船。

解：［6x10-（41+1）+（6-4）=18-2=9（條）10-9=1（條）

答：有9條小船，1條大船。

例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿H8條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓

6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘

蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動物都是6條腿，則總腿

數(shù)為6x18=108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.

所以，應(yīng)有（118-108）:（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的

只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1x13=13（對），比實際數(shù)少20-13

=7（對）.，這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求

7;（2-1）=7（只）.

解：①假設(shè)蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？6x18=108（條）

②有蜘蛛多少只？（118-108）-（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蟬共有多少只？18-5=13（只）

④假設(shè)蜻蜒也是一對翅膀，共有多少對翅膀？1x13=13（對）

⑤蜻蜒多少只？（20-13）-2-1）=7（只）答:蜻蜒有7只.

習(xí)題

1.小華用二元五角錢買了面值二角和一角的郵票共17張，問兩種郵票各買多少張？

2.有雞兔共20只，腳44只，雞兔各幾只？

3.松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連幾天采了112個松

子，平均每天采14個.問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？

9

4.蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和一對翅膀，現(xiàn)有這三種動物共

21只，共140條腿和23對翅膀，問蜘蛛、蝴蝶、蟬各有幾只？

5.體育老師買了運動服上衣和褲子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、褲子每

件19元，問老師買上衣和褲子各多少件？

6.雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？

第六講歸一問題

歸一問題

歸一問題是一類典型應(yīng)用題，這類問題是用等分除法求出一個單位的數(shù)值（單一量）之后，再

求出題目所栗求解的問題，解答歸一問題的方法叫做歸一法。

歸一問題可以分為兩種：一種是求總量的，求出一個單位量之后，然后利用乘法求出結(jié)果，

這種問題叫做正歸一■問題（也稱正歸一）；如：一?輛汽車3小時行150千米，照這樣，7小

時行駛多少千米？解決此類問題的關(guān)鍵是先求出單位數(shù)量，再求幾個單位數(shù)量是多少；另

一種是求份數(shù)的，求出一個單位量后，再用包含除法求出所求的結(jié)果，這類問題叫做反歸

一問題（也稱反歸一）。如：修路隊6小時修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時？

解決此類問題的關(guān)鍵是先求出單位數(shù)量，再求一共包含多少個單位數(shù)量？

正、反歸一問題的相同點是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點在第二步，正歸一

問題是求幾個單一量是多少，反歸一是求包含多少個單一量.

解答歸一問題的關(guān)鍵是求出單位量的數(shù)值，再根據(jù)題中“照這樣計算”、“用同樣的速度”等

句子的含義，抓準題中數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系，列出算式，求得問題的解決。有的問題一次歸一

不能解決，需栗兩次歸一或與倍比相結(jié)合才能解決。

10

歸一問題的基本關(guān)系式：

總工作量=每份的工作量（單一量”份數(shù)（正歸一）

份數(shù)=總工作量+每份的工作量（單一量）（反歸一）

每份的工作量（單一量）=總工作量十份數(shù)

模塊一、簡單的歸一問題

【例1】某人步行，3小時行15千米，7小時行多少千米？

【考點】簡單的歸一問題【難度】1星【題型】解答

【解析】15+3x7=35（千米）。答：7小時行35千米。

【答案】35

【鞏固】一艘輪船4小時航行108千米，照這樣的速度，繼續(xù)航行270千米，共需多少

小時？

【考點】簡單的歸一問題【難度】1星【題型】解答

【鞏固】小紅騎車3分鐘行600米，照這樣的速度她從家到學(xué)校行了10分鐘，小紅家到

學(xué)校有多少米？

【考點】簡單的歸一問題【難度】1星【題型】解答

【鞏固】一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣的速度，30分鐘爬行多少分米?

【考點】簡單的歸一問題【難度】1星【題型】解答

【例2]一個打字員15分鐘打了1800個字，照這樣的速度，1小時能打多少個字?

【考點】簡單的歸一問題【難度】2星【題型】解答

【解析】先求1分鐘能打多少個字，再求1小時能打多少個字。

1分鐘能打多少個字：1800^15=120（個）。

1小時能打多少個字：120x60=7200（個）

綜合算式：18004-15x60=120x60=7200（個）。

【答案】7200

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［例3］先根據(jù)條件提出問題，使它成為一步計算的應(yīng)用題，再口頭列式解答.⑴孫悟空3

天吃了45個桃子，?⑵學(xué)學(xué)買2支鋼筆用了18元錢，

?

【考點】簡單的歸一問題【難度】2星【題型】填空

【解析】建議老師可以先讓學(xué)生提出問題使它成為一步計算的應(yīng)用題：⑴每天吃多少個？⑵

每只鋼筆多少元？再讓學(xué)生提出問題使它成為兩步計算的應(yīng)用題.如：（1）7天吃多少個桃

子？⑵54元可以買多少只鋼筆？使本道例題成為歸一問題的最典型的題目，使學(xué)生感受歸

一問題的題型.

【答案】答案不唯一：

⑴每天吃多少個？⑵每只鋼筆多少元？再讓學(xué)生提出問題使它成為兩步計算的應(yīng)用題.如：

（1）7天吃多少個桃子？（2）54元可以買多少只鋼筆？

使本道例題成為歸一問題的最典型的題目，使學(xué)生感受歸一問題的題型.

［例4］綠化隊3天種樹210棵，還要種420棵，照這樣的工作效率，完成任務(wù)共需多少

天？

【考點】簡單的歸一問題【難度】2星【題型】解答

【解析】倍比思想.因為工作的效率是一定的，所以可以求出種420棵樹需要的天數(shù)是種210

棵樹的倍數(shù)為：420+210=2（倍），所以種420棵樹需要的天數(shù)為：3x2=6（天），

也就是完成任務(wù)共需3+6=9（天）.

【答案】9

【鞏固】綠化隊4天種樹200棵，還要種400棵，照這樣的工作效率，完成任務(wù)共需多

少天？

【考點】簡單的歸一問題【難度】2星【題型】解答

【鞏固】綠化隊3天種樹200棵，還要種400棵，照這樣的工作效率，完成任務(wù)共需多

少天？

【考點】簡單的歸一問題【難度】2星【題型】解答

【例5】一個工人要磨面粉200千克，3小時磨了60千克.照這樣計算，磨完剩下的面粉

還要幾小時?

12

【考點】簡單的歸一問題【難度】2星【題型】解答

【解析】（方法一）通過3小時磨60千克，可以求出1小時磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾

小時，所以

剩下的量除以1小時磨的數(shù)量，得到問題所求.（200-60）+（60+3）=7（小時）.

（方法二）通過3小時磨60千克，可以求出1小時磨粉數(shù)量.磨完200千克面粉需要的時間為：

200+（60+3）=10（小時），那么磨剩下的面粉需栗時間即為：10-3=7（小時）.

【答案】7

【例6】王奶奶家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可生

產(chǎn)牛奶多少千克？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量，1頭奶牛1天產(chǎn)奶：630+5+7=18（千克），8頭

奶牛1天產(chǎn)奶：18x8=144（千克），8頭奶牛15天產(chǎn)奶：144x15=2160（千克）.

【答案】2160

【鞏固】王奶奶家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛12天可

生產(chǎn)牛奶多少千克？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

[例7]8個人10天修路840米，照這樣算,20人修4200米，要天.

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】先進行兩次歸一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。

綜合算式：4200+（840+10+8x20）=20（天）.

【答案】20

【鞏固】5個人2小時植樹20棵，6個人3小時植樹多少棵？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【例8】3名工人5小時加工零件90個，10名工人10小時加工零件多少個？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】3名工人5小時加工零件90個，就是說每人每小時加工（90+3）+5=6（個），那么

一個人10小時可以加工6x10=60（個），10名工人10小時加工零件：60x10=600（個）.

【答案】600

【例913名工人5小時加工零件90個，要在10小時完成540個零件的加工，需要工人多

少名？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】（方法一）3名工人5小時加工零件90個，就是說每人每小時加工（90+3）+5=6（個），

13

那么一

個人10小時可以加工6x10=60個，540個零件在10小時做完就需要540+60=9（人）.

（方法二）3名工人5小時加工零件90個，假設(shè)在時間相同的情況下3名工人10小時加工零

件180個零件，要完成540個零件用倍比的思想，540個零件是180的3倍，時間相同，完

成零件的數(shù)量是3倍，那么工人也是3倍的關(guān)系，3x3=9（人）.

【答案】9

【鞏固】5個人挖3米長的溝需要用3個小時，那么用50個小時挖50米的溝需要多少

名工人？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【鞏固】2臺機器20分鐘造紙80噸，照這樣計算，1臺機器1小時造紙多少噸？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【鞏固】如桌3臺數(shù)控機床4小時可以加工960個同樣的零件，那么1臺數(shù)控機床加工

400個相同的零件滿要多長時間？.

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】填空

【例10】一個長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個進水管和一個排水管.單開進水管8

小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時把滿池水排

空？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進水速度和排水速度.

當(dāng)兩管齊開時要把滿池水排空，排水速度必須大于進水速度，即單位時間內(nèi)排出的水等于

進水與排水速度差.解決了這個問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時間。①

進水速度:480+8=60（噸/小時）②排水速度:480+6=80（噸/小時）③排空全池水所需的時

間：480-（80-60）=24（小時）列綜合算式：480-（480+6-480+8）=24（小時）,兩管齊開

需24小時把滿池水排空。

【答案】24

［鞏固］花果山上桃樹多，5只小猴分200棵.現(xiàn)有小猴60只，按剛才的分法分后還余90棵，

請算出桃樹有幾棵？

【考點】簡單的歸一問題【難度】3星【題型】解答

14

第七講模塊二、復(fù)雜的歸一問題

【例11】小紅生病住院了，為了祝她早日康復(fù)，三（一）班和三（二）班一起為她疊千紙鶴，計

劃兩個班的同學(xué)3天一共疊了2400只千紙鶴?，F(xiàn)在兩個班級的同學(xué)同時開始疊，在相同的

時間內(nèi)，三（一）班疊了2430只千紙鶴，三（二）班疊了2370只千紙鶴.那么三（一）班和三（二）

班每天各疊多少只千紙鶴？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】（方法一）三（一）班和三（二）班每天共疊千紙鶴：2400+3=800（只），“相同時間”是：

（2430+2370）-800=6（天），三（一）班每天疊的個數(shù)：2430+6=405（只），三（二）班每天疊的個數(shù)：

2370+6=395（只）.

（方法二）這道題的已知條件可以分兩層.第一層：兩個班的同學(xué)3天一共疊了2400只千紙

鶴，第二層：在相同的時間內(nèi)，三（一）班疊了2430只千紙鶴，四（二）班疊了2370只千紙鶴.

由這兩個條件可以求出在相同的時間內(nèi)，兩個班共疊千紙鶴2430+2370=4800（個）；疊2400

只用3天，疊4800只用幾天呢？先求出4800是2400的幾倍，也一定是3天的幾倍，即“相

同時間“相同時間”是：3xI2430+29^02冬）（（天），三（一）班每天疊的個數(shù)：

2430+6=405（只），三（二）班每天疊的個數(shù)：2370+6=395（只）.

【答案】三（一）班每天疊的個數(shù)：405只，三（二）班每天疊的個數(shù)：395只

【鞏固】甲、乙兩個打字員4小時共打字3600個.現(xiàn)在二人同時工作，在相同時間內(nèi)，

甲打字2450個，乙打字2050個.求甲、乙二人每小時各打字多少個？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【例12】某車間用4臺車床5小時生產(chǎn)零件600個，照這樣算，增加3臺同樣的車床后，（1）

8小時可以生產(chǎn)多少個零件？（2）如果要生產(chǎn)6300個零件幾小時可完成？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】此題要求的兩個問題都需知1臺1小時生產(chǎn)的零件數(shù)，因條件中有小時和臺數(shù)兩個

量，需用“兩次歸一”，即先求出4臺1小時生產(chǎn)多少，再求1臺1小時生產(chǎn)多少。

600-5+4-（4+3）x8=30x7x8=1680（個）

6300+[600+5+4X（4+3）]=63004[30x7]=30（小時）

答：（1）8小時可以生產(chǎn)1680個零件。（2）如果要生產(chǎn)6300個零件30小時可以完成。

【答案】（1）8小時可以生產(chǎn)1680個零件，（2）如果要生產(chǎn)6300個零件30小時可以完成

【鞏固】學(xué)校買4套課桌椅，共用去480元，如果買同樣的課桌椅7套，共需多少錢？

15

如果有3000元，可以買進這樣的課桌椅多少套？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

王師傅2小時加工了62個零件，照這樣計算，他每天工作8小時可以加工多少個零件？如

果要加工372個零件，需要幾小時？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【鞏固】4名工人加工455個零件。開始的4天中有一名工人因事請假1天，結(jié)果共加

工195個零件。如果以后無人清假，那么還要一天可以完成任務(wù)。

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】填空

【例13】某運輸公司用6輛汽車運水泥，每天可運96噸。根據(jù)運輸情況，現(xiàn)在增加4輛同

樣的汽車，每天一共運水泥多少噸？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】“增加4輛同樣的汽車”，每天一共運水泥多少噸，應(yīng)是增加的汽車運輸量與增加

前的運輸量的和，即10輛汽車的運輸量。96+6x（6+4）=16x10=160（噸）。答：每天可運

水泥160噸。

【答案】160

【例14】7輛“黃河牌”卡車6趟運走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運完，求需要

增加同樣的卡車多少輛？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【解析】（方法一）栗想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需栗卡車多少輛；要求5趟運

完560噸沙土，

每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一■次能運多少噸沙土.一?輛卡車一■次能運沙土：

336+6+7=56+7=8（噸）；560噸沙土，5趟運完，每趟必須運走：560+5=112（噸）；需要增

加同樣的卡車:112+8-7=7（輛）.

（方法二）在求一輛卡車一次能運沙土的噸數(shù)時，可以列出兩種不同情況的算式：

①336+6+7,②336+7+6.算式①先除以6,先求出7輛卡車1次運的噸數(shù)，再除以7求出

16

每輛卡車的載重量；算式②，先除以7,求出一輛卡車6次運的噸數(shù)，再除以6,求出每輛

卡車的載重量.在求560噸沙土5次運完需要多少輛卡車時，有以下幾種不同的計算方法：

⑴560+5+8=112+8=14（輛）（其中112是所需的卡車一趟運走的噸數(shù)）

⑵560+8+5=70+5=14（輛）（其中70是運走560噸沙土需要的車次）

⑶560+（8x5）=560+40=14（輛）（其中40是一輛卡車5次運走的噸數(shù)）

【答案】7

【鞏固】5臺拖拉機24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同

樣拖拉機多少臺？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】3星【題型】解答

【例15】4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸.現(xiàn)有沙土420噸，增加了3輛相同的

卡車，問：幾趟可以運完？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】4星【題型】解答

【解析】1輛卡車1趟運沙土：336+4+7=12（噸），現(xiàn)在有4+3=7（輛）卡車，需要

420+（7x12）=5（趟）就可以運完.

【答案】5

［鞏固］孫悟空組織小猴子摘桃子.開始時，16只小猴子2小時摘桃子640個，照這樣計算,

孫悟空要求它們在3小時內(nèi)繼續(xù)摘桃子1200個，那么需要增加多少只小猴子一起來摘桃子

呢？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】4星【題型】解答

【解析】要求增加多少只小猴子，必須先求出需要多少只小猴子去完成孫悟空布置的任

務(wù).根據(jù)要求，3小時摘桃子1200個，可以先求出1小時共摘桃的個數(shù)，即：

1200+3=400（個）.再根據(jù)每只小猴每小時摘的個數(shù)，即：640+16+2=20（個）----單一量，就

可以求出所需要的小猴數(shù)量，即：400+20=20（只），最后求出增加的小猴只數(shù)：20-16=4（只）.

【答案】4

【例16】8個工人3小時制作機器零件360個，如果人數(shù)縮小了2倍，時間增加了5小時,

可制作機器零件多少個？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】4星【題型】解答

【解析】此題中人數(shù)縮小了2倍指現(xiàn)在的人數(shù)是8:2=4（人）；時間增加了5小時指現(xiàn)在的時

間是

3+5=8（小時）。

360-8-3X（8+2）x（3+5）=15x4x8=480（個）

答：可制作機器零件480個。

【答案】480

17

［鞏固］甲有桌子若干張，乙有椅子若干把。如果乙用全部椅子換回相同數(shù)量的桌子，那么

需要補給甲320元；如果乙不補錢，就會少換回5張桌子。已知3張桌子比5把椅子的價

錢少48元。求乙原有椅子多少把？

【考點】復(fù)雜的歸一問題【難度】4星【題型】解答

第八講巧添符號

，使學(xué)生掌握添運算符號的各種方法。

強培養(yǎng)學(xué)生活躍的思維能力，提高學(xué)習(xí)奧數(shù)的興趣。

例1、在下面4個4中間，添上適當(dāng)?shù)倪\算符號十、一、X、+和()，組成3個不同的算式,

使得數(shù)都是2。

4444=2

4444=2

4444=2

【解析】由題意，可以在4之間添加運算符號和括號，

而題中沒有一個運算符號，而只能采用逐一試驗的方法，找到正確答案。

如果在第1個4后面添十號，后3個4不能得到2；

如果第1個4后面是一號，4—2=2,很容易想到：(4+4)+4=2。

所以4—(4+4)+4=2。

如果第1個4后面是x號，4x4=16,

由于16+8=2。容易想到：4x4+(4+4)=2。

如果第1個4后面是一號，4+4=1,

由于1+1=2,容易得到：4+4+4+4=2。

例2、在批改作業(yè)時，張老師發(fā)現(xiàn)小明抄題時丟了括號，但結(jié)果是正確的。請你給小明的算

式添上括號：

4+28+4—2x3—1=4

【解析】根據(jù)題意，錯誤的算式是丟了括號。只能按先乘除，再加減的運算順序來計算。

因此括號添在乘除法的兩側(cè)是毫無意義的，所添的括號要能夠改變運算順序。

所以，括號應(yīng)添在含有加減運算的兩邊。

從左往右看，在4+28兩側(cè)試添括號，

計算得32,再除以4得8。

18

小明的算式就變?yōu)?/p>

8—2x3—1=4o

如果把括號加在8—2的兩側(cè)，計算結(jié)果大于4,

只能把括號加在3—1的兩側(cè)。很容易得到：

8—2x(3—1)=40

正確的算式應(yīng)為：

(4+28)+4—2x(3-1)=4

例3、在下面的數(shù)字之間添上運算符號，使等式成立。

123456789=6

【解析】由題意，有8個地方要添運算符號，

用逐一試驗的方法很難找到答案。

由于60=2x30=3x20=4x15=5x12=6x10,

因此可以把算式中的數(shù)分成兩個部分，使兩個部分的乘積等于60o

在分的過程中，應(yīng)先考慮較大的數(shù)，再考慮較小的數(shù)。

把7口8口9分成一組，在它們之間添加號和減號，

可得7+8—9=6。

剩下的1口2口3口4口5口6為一組，添上運算符號，結(jié)果要得10。

再看較大的數(shù)4口5口6,可得4+5—6=3。

于是得到1+2x3+4+5—6=10。

所以正確算式為(11+2x3+4x5—6)x(7+8-9)=60。

想一想：如果把6口7口8口9分成一組呢？

例4、在下面算式適當(dāng)?shù)牡胤教砩霞犹?，使等式成立?/p>

88888888=1000

【解析】在8個8之間的適當(dāng)?shù)牡胤教砩霞犹枺?/p>

運算符號是確定的，

關(guān)鍵要選擇添加號的位置。

可以考慮在加數(shù)中湊出一個較接近1000的數(shù)是888,

再考慮余下的5個8怎樣安排就行了。

88888+888=1000,

余下的5個8可以拿出2個8組成88,得到

888+88+888=1000o

因為1000—(88+888)=24,剩下的888只要再相加就行了,

答案是：8+8+8+88+888=1000。

19

例5、在下面式子的適當(dāng)?shù)胤教砩鲜⒁?、x,使等式成立。

12345678=1

【解析】這題等號左邊的數(shù)字較多，而等號右邊的得數(shù)是最小的自然數(shù)1。

可以考慮在等號左邊最后一個數(shù)字8前面添“一”號，這時

1234567-8=1；

再考慮式應(yīng)為1234567=9；

可考慮在7前面添十號，等式應(yīng)為123456+7=9；

用前面的方法，只要讓123456=2,考慮12345-6=2；

這時讓12345=8就行了，

考慮1235+5=8。則只需1234=3即可,1+2x3—4=3o

1+2x3—4+5—6+7—8=1

例6、適當(dāng)?shù)牡胤教钌稀?”，使等式成立。

(1)12345=60

(2)123456=102

(3)23456=75

【解析】(1)首先找到一個比較接近60的數(shù)，那就是45,

然后考慮前面的1、2、3能否組成一個算式得數(shù)是15,這樣和正好是60.

12加上3正好得15,算式成立.

所以最后結(jié)果是12+3+45=60

(2)首先找題中最接近102的數(shù)，是56,

然后考慮前面的數(shù)要得到46,才能與56的和是102,

1234怎么得46呢，12+34=46o

所以最后結(jié)果12+34+56=102

(3)同理能得到答案：12+3+4+56=75或1+23+45+6=75

例7、八個8之間的適當(dāng)?shù)胤?，添上運算符號，使算式成立。

88888888=1000

【解析】(1)湊數(shù)法。先找最接近1000的888,

然后想888+112=1000,

余下的五個8要等于112,

再找88接近112,88+24=112,

最終得到結(jié)果888+88+8+8+8=1000

(2)都是8,做減法一定能得到整十、整百、整千的數(shù)。

如88-8=8O>888-88=800o

那么8888-888=8000,8000-8=1000,

20

最終得到結(jié)果(8888-888);8=1000。

注意：如果題目要求不能有括號，這種方法則不行。

(3)想8x125=1000,7個8怎么湊成125呢？

先找最接近125的：(8+8)x8=128,

剩下的4個8只要得3就可以了。

數(shù)字游戲提到4個一樣的數(shù)一定能得3,(8+8+8)+8=3,

又得一結(jié)果：

[(8+8)x8-(8+8+8)^8]x8=1000

例8、在下面12個5之間添上十、一、X、一,使算式成立。

555555555555=1000

【解析】這道題的結(jié)果比較大，那我們就要盡量想出一些大的數(shù)來，使它與1000比較接近,

如：555+555=1110這個數(shù)比1000大了110,然后我們在剩下的6個5中湊出110減掉就可

以了。555+555-55-55+5-5=1000

＞課堂狙擊

1.在下面各題中添上十、一、X、+、()，使等式成立。

12345=10

12345=10

12345=10

12345=10

前面4個數(shù)必須組成得數(shù)是50的算式，而前面4個數(shù)無法組成得數(shù)是50的算式。

2.拿出都是8的四張牌，添上十、一、X、+或()，使等式成立。你能試一試嗎？

8888=0

8888=1

8888=2

8888=3

3.將+—x+()填入適當(dāng)?shù)牡胤?，使下面的等式成立?/p>

(1)44444=2

(2)44444=2

(3)44444=2

(4)44444=4

4.在下面算式適當(dāng)?shù)牡胤教砩霞犹?，使算式成立?/p>

11111111=1000

5.在下列算式中合適的地方，添上()[],使等式成立。

(1)1+2x3+4x5+6x7+8x9=303

21

(2)1+2x3+4x5+6x7+8x9=1395

1.填上括號，使等式成立。

(1)6x7+18-3=78

(2)6x7+18-3=50

(3)5x8+16-4-2=20

2.把“十、一、X、一和()”填入，使算式成立

(1)987654321=1000

(2)123456789=2000

3.填上括號，使等式成立。

(1)6x7+18^3=78

(2)6x7+18^3=50

(3)5x8+16+4-2=20

4.將“+、一、X、一”分別填入下面等式的□里，使等式成立。

(1)72口4=10口2口5

(2)12口4口9=2口8口4

(3)3口7口5=2口10口4

5.填上“十、一、X、;和()”，使算式成立.

(1)5555=0

(2)5555=1

(3)5555=2

第九講植樹問題

一、植樹問題路線

(一)不封閉的植樹路線.

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.

全長、棵