高中數(shù)學(xué)必修二 10.1隨機(jī)事件與概率（精練）

10.1隨機(jī)事件與概率（精練）

【題組一事件類型的判斷】

1（2021?全國?高一課時練習(xí)）下列事件是必然事件的是（）

A.從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽

B.函數(shù)尸logex（a>0且a#l）為增函數(shù)

C.平行于同一條直線的兩條直線平行

D.隨機(jī)選取一個實(shí)數(shù)x,得2yo

【答案】C

【解析】A是隨機(jī)事件，5張標(biāo)簽都可能被取到.

B是隨機(jī)事件，當(dāng)a>l時，函數(shù)尸log.x為增函數(shù)，當(dāng)0〈a〈l時，函數(shù)尸log,,“為減函數(shù).

C是必然事件，實(shí)質(zhì)是平行公理.

I）為不可能事件，根據(jù)指數(shù)函數(shù)了=2*的圖像可得，對任意實(shí)數(shù)x,都有2'>0.

選故：C

2.（2021?陜西咸陽?高一期末）下列事件是隨機(jī)事件的是（）

①連續(xù)兩次擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面向上；

②異性電荷相互吸引；

③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1（XTC時結(jié)冰；

④任意擲一粒均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù).

A.B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】①④中的事件為隨機(jī)事件，②中的事件為必然事件，③中的事件為不可能事件.

故選：D.

3（2021?全國?高二課時練習(xí)）袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是（）

A.取到的球的個數(shù)B.取到紅球的個數(shù)

C.至少取到1個紅球D.至少取到1個紅球的概率

【答案】B

【解析】/的取值不具有隨機(jī)性，C是一個事件而非隨機(jī)變量，〃中概率值是一個定值而非隨機(jī)變量，只有

6滿足要求故選：B

4.（2021?全國?高一課時練習(xí)）（多選）下列事件是隨機(jī)事件的是（）

A.函數(shù)f(x)=x2—2x+a的圖象關(guān)于直線x=l對稱

B.某人給其朋友打電話，卻忘記了朋友電話號碼的最后一個數(shù)字，就隨意撥了一個數(shù)字，恰巧是朋友的電

話號碼

C.直線尸履+6是定義在A上的增函數(shù)

I).某人購買福利彩票一注，中獎500萬元

【答案】BCD

【解析】A.根據(jù)二次函數(shù)y=ay2+bx+c的對稱軸為彳=-二，可得f(x)=V—2x+a圖像關(guān)于

x=l對稱，是必然事件；

B.因?yàn)橥涀詈笠粋€數(shù)字，隨意撥了一個數(shù)字，故是隨機(jī)事件；

C.因?yàn)榕牟淮_定，所以也有可能是減函數(shù)；

D.彩票由很多張，買了一張中獎，當(dāng)然是隨機(jī)事件；

所以A為必然事件；B,C,D為隨機(jī)事件.

故選：BCD

5.(2021?全國?高一專題練習(xí))(多選題)在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中是

隨機(jī)事件的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

【答案】AB

【解析】25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，

則“3件都是次品”不是隨機(jī)事件，是不可能事件，

又25件產(chǎn)品中只有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，則“至少有1件正品”為必然事件，

而A,B是隨機(jī)事件.故選：AB

6.(2021?全國?高一課時練習(xí))指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：

(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；

(2)三角形的內(nèi)角和為180;

(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；

(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；

(5)從分別標(biāo)有1、2、3、4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽；

(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動機(jī)”將會出現(xiàn).

【答案】(1)隨機(jī)事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)隨機(jī)事件；(5)隨機(jī)事件；(6)不可能事件.

【解析】(1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機(jī)事件；

(2)所有三角形的內(nèi)角和均為180,所以是必然事件；

(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件；

(4)同時拋擲兩枚硬幣-次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件：

(5)任意抽取，可能得到1、2、3、4號標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件；

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機(jī)”不會出現(xiàn)，所以是不可能事件.

【題組二確定樣本空間】

1.(2021?浙江?臺州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校)集合［={2,3},8={1,2,4),從46中各任意取一個

數(shù)，構(gòu)成一個兩位數(shù)，則所有樣本點(diǎn)的個數(shù)為()

A.8B.9C.12D.11

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，所有樣本點(diǎn)為：21,22,24,31,32,34,12,13,23,42,43,共11個，

故選：D

2.(2021?河北承德第一中學(xué)開學(xué)考試)同時擲兩枚大小相同的骰子，用(x,0表示結(jié)果，記事件/為“所

得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件/包含的樣本點(diǎn)數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】I)

【解析】因?yàn)槭录?={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共包含6個樣本點(diǎn)

3.(2021?黑龍江?哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高一期末)做試驗(yàn)“從一個裝有標(biāo)號為1,2,3,4的小球

的盒子中，不放回地取兩次小球，每次取一個，構(gòu)成有序數(shù)對(x,y),x為第一次取到的小球上的數(shù)字，y

為第二次取到的小球上的數(shù)字”.

(1)求這個試驗(yàn)樣本點(diǎn)的個數(shù)；

(2)寫出“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”這一事件.

【答案】(1)12；(2){(2,1),(2,3),(2,4)).

【解析】(1)當(dāng)產(chǎn)1時，尸2,3,4；當(dāng)下2時，尸1,3,4；同理當(dāng)產(chǎn)3,4時，也各有3個不同的有序數(shù)

對，所以共有12個不同的有序數(shù)對.故這個試驗(yàn)結(jié)果樣本點(diǎn)的個數(shù)為12.

(2)記“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”為事件4則在{(2,1),(2,3),(2,4)).

4.(2021?全國?高一課時練習(xí))寫出下列各隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：

(1)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；

(2)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，觀察其46。血型；

(3)隨機(jī)選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；

(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；

(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).

［答案］(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析(4)詳見解析(5)詳見解析

【解析】(1)一名同學(xué)的性別有兩種可能結(jié)果：男或女.故該試驗(yàn)的樣本室間可以表示為。={男，女};

(2)一名同學(xué)的血型有四種可能結(jié)果：4型、8型、18型、0型.故該試驗(yàn)的樣本空間可表示為“={4仇人8,0}：

(3)每個小孩的性別有男或女兩種可能，兩個小孩的性別情況有四種可能，故該試驗(yàn)的樣本空間可表示為

{(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)};

(4)每次射擊有中靶或脫靶兩種可能，射擊3次有八種可能，用1表示中靶，用0表示脫靶，該試驗(yàn)的樣本

空間可表示為N={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；

(5)射擊3次，中靶的次數(shù)可能是0,1,2,3,故該試驗(yàn)的樣本空間可以表示為N={0,1,2,3}.

5.(2021?全國?高一課時練習(xí))袋子中有4個大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號為1,2,3,4,從中隨機(jī)摸出一

個球，記錄球的編號，先后摸兩次.

(1)若第一次摸出的球不放回，寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)若第一次摸出的球放回，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析

【解析】用0表示第一次摸出球的編號，用〃表示第二次摸出球的編號，則樣本點(diǎn)可用(”?)，〃?,〃€{123,4}

表示.

(1)若第一次摸出的球不放回，則相此時的樣本空間可表示為

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1,),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12個樣本點(diǎn).

(2)若第一次摸出的球放回，則如〃可以相同.此時試驗(yàn)的樣本空間可表示為。={(m,〃)|〃?,〃e{l,2,3,4}},

共有16個樣本點(diǎn).

6.(2021?全國?高一課時練習(xí))如圖，一個電路中有4,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能

失效，把這個電路是否為通路看成是一個隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.

i—Ei~'

（i）寫出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：，佐“恰好兩個元件正?！?；滬“電路是通路”；片“電路是斷路”

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】分別用5,W和馬表示元件46和。的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用（內(nèi),吃,鼻）表示，進(jìn)

一步地，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)。

（1）則樣本空間。=｛（0,0,0）,（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,0）,（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1」）｝

如圖，還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果

無件A元付B元件C可能結(jié)果

（2）“恰好兩個元件正常”等價于（占,受,不）€。，且為,々用中恰有兩個為1,所以M=｛（1,1,0）,（1,0,1）,（0,1,1）｝.

“電路是通路”等價于（占,W，玉）?O，為=1,且與“3中至少有一個是1，所以N=｛（1,1,0）,（1,0,1）,（1,14）｝.

同理，“電路是斷路”等價于（用,吃,毛）旺口，為=0,或?yàn)?1,々=W=°.所以

7V=｛（0,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（0,1,1）,（1,0,0）｝.

【題組三事件關(guān)系的判斷】

1.（2021?四川眉山）某小組有3名男生和2名女生，從中選取2名學(xué)生參加演講比賽，下列事件中互斥而

不對立的事件為（）

A.至少有1名男生和至少有1名女生B.恰有1名男生和恰有2名女生

C.至少有1名男生和全是男生D.至少有1名男生和全是女生

【答案】B

【解析】對于A,“至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一個男生、一個女生”，

即選項(xiàng)A中兩個事件不互斥，A不正確；

對于B,“恰有1名男生”和“恰有2名女生”的事件不同時發(fā)生，即它們是互斥的，

而“恰有1名男生”的對立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即選項(xiàng)B中兩個事件不對立，B正

確：

對于C,“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即選項(xiàng)C中兩個事件不互斥，C不正確：

對于D,“至少有1名男生"和''全是女生”的事件不同時發(fā)生，即它們互斥，而它們又必有一個發(fā)生，即

它們是對立的，D不正確.

故選：B

2.（2021?黑龍江?哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高一期末）從1,2,3,7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其

中：

①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；

②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；

③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；

④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).

上述事件中，是對立事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

【答案】C

【解析】：③中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，

而從中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三件事件：

“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，

故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，其余都不是對立事件.

故選：C

3.（2021?全國?高一課時練習(xí)）從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項(xiàng)中的兩個

事件是互斥事件的為（）

A.“都是紅球”與“至少1個紅球”

B.“恰有2個紅球”與“至少1個白球”

C.“至少1個白球”與“至多1個紅球”

D.”2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”

【答案】D

【解析】對于A選項(xiàng)：“至少1個紅球”的事件中含有“都是紅球”這一事件，即兩個事件可以同時發(fā)生，

A中的兩個事件不互斥；

對于B選項(xiàng)：“恰有2個紅球”和“至少1個白球”的事件中都含有“兩紅球，一白球”的事件，B中的兩

個事件不互斥；

對于C選項(xiàng)：“至少1個白球”與“至多1個紅球”的事件中都含有“三白球”與“一紅球，兩白球”的

兩個事件，C中的兩個事件不互斥；

對于D選項(xiàng)，3個球中“2個紅球，1個白球”的事件與“2個白球，1個紅球”的事件不可能同時發(fā)生，是

互斥事件，

所以兩個事件是互斥事件的為D.

故選：D

4.（2021?河北唐山?高一期末）（多選）一個口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個,

一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）

A.2個小球不全為紅球

B.2個小球恰有1個紅球

C.2個小球至少有1個紅球

D.2個小球都為綠球

【答案】BD

【解析】從口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意取出2個小球，這兩個球可能為

2個紅色球、2個綠色球、2個藍(lán)色球、1個紅色1個藍(lán)色、1個紅色1個綠色、1個藍(lán)色1個綠色共6種情

況，

則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有

B,2個小球恰有1個紅球；C,2個小球都為綠球，

而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅色是對立事件；

2個小球至少有1個紅球包括2個紅色球、1個紅色1個藍(lán)色、1個紅色1個綠色.

故選：BD.

5.（2021?江蘇?金陵中學(xué)高一期末）（多選）若甲、乙、丙三個人站成一排，則下列是互斥事件的有（）

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”

C.“甲不站排頭和排尾”與“乙不站排頭和排尾”

D.“甲站排頭”與“乙站排尾”

【答案】AC

【解析】按照站排頭可分為三種情況：甲在排頭、乙在排頭、內(nèi)在排頭，所以A正確，B錯誤；

“甲不站排頭和排尾”與“乙不站排頭和排尾”等價于“甲站排中”與“乙站排中”是互斥的，所以C正

確；“甲站排頭”包括“乙站排尾”，所以D錯誤.故選：AC.

6.（2021?全國?高一課時練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機(jī)涂色，每個圓只涂

--種顏色.設(shè)事件4=“三個圓的顏色全不相同"，事件8=“三個圓的顏色不全相同"，事件C="其中兩

個圓的顏色相同"，事件。=”三個圓的顏色全相同”.

（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間.

（2）用集合的形式表示事件A,BCD.

（3）事件8與事件C有什么關(guān)系？事件A和B的交事件與事件D有什么關(guān)系？并說明理由.

【答案】（D見解析；（2）見解析；（3）事件B包含事件C,事件A和8的交事件與事件?；コ?見解析

【解析】（1）由題意可知3個球可能顏色一樣,可能有2個一樣,另1個異色,或者三個球都異色.則試驗(yàn)的樣

本空間

Q=｛（紅,紅,紅），（黃,黃,黃），（藍(lán),藍(lán),藍(lán)），（紅,紅,黃），（紅,紅,藍(lán)），（藍(lán),藍(lán),紅），（藍(lán),藍(lán),黃），（黃,黃，

紅），（黃，黃,藍(lán)），（紅,黃,藍(lán)）｝.

⑵A=｛（紅，黃,藍(lán)）｝

B=｛（紅,紅,黃），（紅,紅,藍(lán)），（藍(lán),藍(lán),紅），（藍(lán),藍(lán),黃），（黃,黃,紅），（黃,黃,藍(lán)）,（紅,黃,藍(lán)）｝

C=｛（紅，紅，黃），（紅,紅，藍(lán)），（藍(lán),藍(lán)，紅），（藍(lán),藍(lán)，黃），（黃,黃，紅），（竟黃,藍(lán)）｝.

。=｛（紅,紅,紅），（黃,黃,黃），（藍(lán),藍(lán),藍(lán)）｝.

（3）由（2）可知事件5包含事件C,事件A和B的交事件與事件D互斥.

7.（2021?全國?高一課時練習(xí)）盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球.設(shè)事件4="1個紅球

和2個白球”，事件8=“2個紅球和1個白球"，事件C=“至少有1個紅球”，事件"既有紅球又

有白球”，則：

（1）事件D與事件AB是什么關(guān)系？

（2）事件C與事件A的交事件與事件A是什么關(guān)系？

【答案】（1）O=ADB.（2）事件C與事件A的交事件與事件A相等.

【解析】（1）對于事件。，可能的結(jié)果為1個紅球和2個白球或2個紅球和1個白球，故

（2）對于事件C,可能的結(jié)果為1個紅球和2個白球,2個紅球和1個白球或3個紅球，故CcA=A,所以事件

C與事件A的交事件與事件A相等.

8.(2021?全國?高一課時練習(xí))柜子里有3雙不同的鞋，分別用4，4，乙也，表示6只鞋,如果從中隨機(jī)

地取出2只，那么

(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)求下列事件的概率，并說明它們的關(guān)系；

①人=“取出的鞋不成雙”

②B="取出的鞋都是左腳的”；

③C=”取出的鞋都是一只腳的”；

@D="取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”.

4122

【答案】(1)見解析；(2)①P(A)=g；②尸(B)=g；③尸(C)=y；?P(D)=-.BcCcADcA,B與D

互斥，C與D互斥，Cu￡>=A.

【解析】(D該試驗(yàn)的樣本空間可表示為

Q={(a],a2),(a1,fel),(a1,/>2),(al,c1),(al,c2),(a2,&l),(a2,/72),(a2,cl),(a2,c2),(/>l,Z>2),(Z>1,cl),(Z>l,c2),(Z?2,c1),(fe2,c2),(c1,c2)}

⑵由⑴得〃(。)=15.

①???,={(4,句,(4也),(。，。2)}，，〃(可=3.

124

..〃(A)=15-3=12,「.P(A)=百=《.

③?.?。={(4，4),(01,(?|),(4,，1),(02也),(02,。2),僅2，，2)}

，"(C)=6,..P(C)$=|.

④?.?￡>={(4也),(4，<?2),(%,々),(%,。)(4，。2卜修2，。)},，〃(。)=6,,P(0=卷=]

A,B,C,D之間有如下關(guān)系：

BcCcA,DcA,B與D互斥，C與D互斥，Cu3=A.

【題組四事件的運(yùn)算】

1.(2021?全國?高一課時練習(xí))打靶3次，事件4表示“擊中i發(fā)"，其中i=0、1、2、3.那么A=AU4U4

表示()

A.全部擊中B.至少擊中1發(fā)

C.至少擊中2發(fā)D.以上均不正確

【答案】B

【解析】A=AUA2U4所表示的含義是人、為、A3這三個事件中至少有一個發(fā)生，即可能擊中1發(fā)、2發(fā)

或3發(fā).故選：B.

2.(2021?全國?高一課時練習(xí))一個射手進(jìn)行一次射擊，事件4:命中環(huán)數(shù)大于8;事件氏命中環(huán)數(shù)大于5,

則()

A.{與6是互斥事件B.4與6是對立事件

C.AQBD.ADB

【答案】C

【解析】事件A-.命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事件B-.命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，

故/憶以故選：C

3.(2021?全國?高一課時練習(xí))從1,2,3,…，30這30個數(shù)中任意摸出一個數(shù)，則事件“摸出的數(shù)是

偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”的概率是()

A.—B.-C.-D.—

105510

【答案】B

【解析】設(shè)事件摸出的數(shù)為偶數(shù)”，事件6“摸出的數(shù)能被5整除”，

1113

所以P(AUB)=尸(4)+尸(8)-2(4口8)=5+y一歷=二.

故選:B.

4.(2021?全國?高一課時練習(xí))已知產(chǎn)(4)=0.4,尸(而=0.2.(1)如果醫(yī)4則尸(力口而=________，

P(AB)=；(2)如果48互斥，則/(/U5)=,P(JB)=.

【答案】0.40.20.60

【解析】(1)因?yàn)楸?所以尸au0="({)=O.4,P(幽=尸(面=0.2.

(2)如果43互斥，則尸(/0面=尸(/)+尸(而=0.4+0.2=0.6,P(A&=0.

故答案為:0.4；0.2；0.6；0.

5.(2021?全國?高一課時練習(xí))在試驗(yàn)￡“連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，事件4表

示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件4表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)

為/事件〃表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，事件。表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一

次的大3”，

(1)試用樣本點(diǎn)表示事件ACIB與AUB;

(2)試判斷事件/與員/與C,8與，是否為互斥事件；

(3)試用事件4表示隨機(jī)事件A.

【答案】(1)詳見解析(2)事件/與事件8,事件力與事件，不是互斥事件，事件6與事件，是互斥事件.(3)

AnAUAUAjUAtUAUA

【解析】由題意可知試驗(yàn)后的樣本空間為

Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)).

(1)因?yàn)槭录?f表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1"，所以滿足條件的樣本點(diǎn)有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}.

因?yàn)槭录?表示隨機(jī)事件”2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”,所以滿足條件的樣本點(diǎn)有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

即8={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

所以4口8={(1,5)},AU8={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

(2)因?yàn)槭录﨏表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3"，所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}.

因?yàn)锳D8={(1,5)}x0,Ap|C={(1,4)}*0,BnC=0,所以事件A與事件B,事件A與事件C不是互斥事件,

事件8與事件。是互斥事件.

(3)因?yàn)槭录?表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為j”，

所以A={(1,1)},4={(1,2)},4={(1,3)},4={(1,4)},A,={0,5)},4={(1,6)},

所以A=AU4U4UaUAUA.

6（2021?全國?高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：G="點(diǎn)數(shù)為？”，其中

i=1,2,3,4,5,6；。尸“點(diǎn)數(shù)不大于2"，2="點(diǎn)數(shù)大于2”，2="點(diǎn)數(shù)大于4”；代“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，片

“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.

（DG與G互斥；（2）C2,G為對立事件；（3）4=2；（4）4=2；⑸AU2=Q,42=。；

（6）D3=c5uc6；（7）￡=C,UC3UC5:（8）反尸為對立事件；⑼4UA=2；（10）3（"12=A

【答案】（1）正確；（2）錯誤：（3）正確；（4）正確；（5）正確：（6）正確：（7）正確：（8）正確；（9）正確：（10）

正確.

【解析】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為C={1,2,3,4,5,6},

由題意知G=〃}，2={1，2},2={3,4,5,6},%={5,6},￡={1,3,5},尸={2,4,6}.

⑴G=律，G={2},滿足G=。，所以G與G互斥,故正確；

（2）G={2},={3}，滿足GCIC3=0但不滿足C?UC3=Q所以為互斥事件，但不是對立事件,故錯誤；

根據(jù)對應(yīng)的集合易得，（3）正確：（4）正確；（5）正確；

（6）GUQ={5,6}，所以％=UC6,故正確；⑺qUGUG={1,2,3}，故E=C,UQUQ正確；

（8）因?yàn)镋c尸=0,=C，所以為對立事件，故正確；

（9）正確；（10）正確.

7（2021?全國?高一專題練習(xí)）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有有2個紅色球（標(biāo)號為1和

2）,2個綠色球（標(biāo)號為3和4）,從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球.設(shè)事件R產(chǎn)“第一次摸到紅球”，&

="第二次摸到紅球”，廬“兩次都摸到紅球”，G="兩次都摸到綠球”，加“兩個球顏色相同”，上“兩

個球顏色不同”.

（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；

⑵事件K與凡，#與G,材與N之間各有什么關(guān)系？

（3）事件7?與事件C的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件與與事件&的交事件與事件A有什么關(guān)系？

【答案】（1）詳見解析（2）事件"包含事件凡事件"與事件?；コ?；事件”與事件十互為對立事件（3）事件

M是事件《與事件。的并事件；事件不是事件與與事件&的交事件.

【解析】（1）所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖所示,

0?（DOOQ

?OOOO?

OQQ0Q0

Q?Q?QO

用數(shù)組a，々）表示可能的結(jié)果，為是第一次摸到的球的標(biāo)號，馬是第二次摸到的球的標(biāo)號，則試驗(yàn)的樣本空

間

。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝

事件R尸”第一次摸到紅球”，即1=1或2,于是

K=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）｝；

事件R廣“第二次摸到紅球“，即和=1或2,于是

&=｛（2,1）,（3,1）,（4,1）,（1,2）,（3,2）,（4,2）｝.

同理，有

/?=｛（1,2）,（2,1））,

G=｛（3,4）,（4,3）｝,

M=｛（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）｝,

N=｛（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）｝.

（2）因?yàn)镽UR,所以事件與包含事件R；

因?yàn)镽AG=0,所以事件〃與事件G互斥；

因?yàn)镸UN=C,McN=0,所以事件M與事件.”互為對立事件.

（3）因?yàn)镽UG=M,所以事件也是事件R與事件G的并事件；

因?yàn)锳n&=我，所以事件4是事件舄與事件R2的交事件.

【題組五古典概型】

1.（2021?廣東?佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二月考）為了普及環(huán)保知識，共建美麗宜居城市，某市組織了環(huán)

保知識競賽，隨機(jī)抽取了甲、乙兩個單位中各5名職工的成績（單位：分）如下表：

8788919193

位

乙單

8589919293

位

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個單位這5名職工成績的平均數(shù)和方差，并判斷哪個單位的職工對

環(huán)保知識的掌握更好；

（2）用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2名，求抽取的2名職工的成績差的絕對值至少是5的概率.

_一,24

【答案】（l）x,=90,々=90,S,'=y,邑2=8,甲單位的職工對環(huán)保知識的掌握更好

【解析】（1）設(shè)甲的平均數(shù)為工，乙的平均數(shù)為三，甲的方差為S:，乙的方差為S?2,

一87+88+91+91+93“-85+89+91+92+93，、八

=-------------------------=90,=-------------------------=90,

5,2=1X［（87-90）2+（88-90）2+（91-90）2+（91-90『+（93-90）2］=y,

2

S2=1x［（85-90）2+（89-90『+（91-90）2+（92-90）2+（93-90）1=8,

因?yàn)?弓4＜8,所以甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工對環(huán)保知識的掌握更好.

（2）從乙單位5名職工中抽取2名，

他們的成績組成的所有基本事件（用數(shù)對表示）為（85,89）,（85,91）,（85,92）,（85,93）,（89,91）,（89,92）,

（89,93）,（91,92）,（91,93）,（92,93）,共10個,

記“抽取的2名職工的成績差的絕對值至少是5”為事件A,則其包含的基本事件為（85,91）,（85,92）,（85,93）

共3個.所以抽取的2名職工的成績差的絕對值至少是5的概率網(wǎng)A）=6.

2.（2021?廣東?順德一中）在人群流量較大的步行街，有一中年人吆喝“送錢咯，送錢咯”，只見他手拿

一黑色布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完全相同），旁邊立著一塊小黑板寫著摸球方

法：從袋中隨機(jī)摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3

個球，摸球者付給攤主1元錢.

（1）摸出的3個球?yàn)?個黃球1個白球的概率是多少？

（2）假定一天中有500人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計(jì)）能賺多少錢?

【答案】（1）玲9（2）6000元

【解析】（1）把3只黃色乒乓球標(biāo)記為4員C,3只白色的乒乓球標(biāo)記為1、2、3,

從6個球中隨機(jī)摸出3個的基本事件為：ABC.AB\.AB2.AB3、AG、AC2、AC3、

A12、A13、A23、8Q、8c2、8c3、B12、813、823、C12、C13、C23J23,共20個，

設(shè)事件后｛摸出的3個球?yàn)?個黃球1個白球｝,事件/包含的基本事件有9個，

9

則尸（尸）=五

⑵設(shè)事件6H摸出的3個球?yàn)橥活伾龅?個球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個球?yàn)辄S球｝,

71

則尸（G）=—=一,

v72010

假定一天中有500人次摸獎，

由摸出的3個球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件G發(fā)生有50次，不發(fā)生450次.

則一天可賺450X1-50X5=200,每月可賺6000元.

3.（2021?廣東?湛江二十一中）某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名中學(xué)生的筆試成

績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示.

頻率

組距

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

O160165170175180185成績

組號分組頻數(shù)頻率

第1組[160,165)50.050

第2組[165,170)①0.350

第3組[170,175)30②

第4組[175,180)200.200

第5組[180,185)100.100

合計(jì)1001.00

(1)請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖;

(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二

輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;

(3)在(2)的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受力考官進(jìn)行面試，求：第4組至少有一

名學(xué)生被考官/面試的概

【答案】⑴①35,②0.300,作圖見解析

(2)第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面試

【解析】⑴①由題可知，第2組的頻數(shù)為0.35X100=35人，②第3組的頻率為礪=0.300,頻率分布直

方圖如圖所示，

頡率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

O185成績

(2)因?yàn)榈?,4,5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，每組

抽取的人數(shù)分別為：第3組：或x6=3人，第4組：1^x6=2人，第5組：/義6=1人，

6()6060

所以第3,4,5組分別抽取3人,2人,1人進(jìn)入第二輪面試

⑶設(shè)第3組的3位同學(xué)為小，A2,J3,第4組的2位同學(xué)為冽，B1,第5組的1位同學(xué)為。，則從這六

位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有(加，42),U1,邠)，U1,譏)，(川，況)，Ul,a),(42,相)，(42,陰)，

（龍，龍），（J2,61）,（邢，M）,（相，應(yīng)），（［3,H）,（用，皮），（例，a）,（應(yīng)，Q）,共15種，

其中第4組的2位同學(xué)61,應(yīng)中至少有一位同學(xué)入選的有：（和，陽），U1,應(yīng)），（42,陰），（42,加），

（43,用），（邠，加），（用，應(yīng)），（班,a）,（應(yīng)，61）,共有9種，

93

所以第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率為.

4.（2021?浙江?臺州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校）從編號為4B、C.〃的4名男生和編號為以〃的2名女生

中任選3人參加演講比賽.

（1）把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；

（2）求所選3人中恰有一名女生的概率；

（3）求所選3人中至少有一名女生的概率

【答案】（1）答案見解析（2）,（3）;

【解析】（1）設(shè)4名男生分別為4B,C,D,兩名女生分別為勿，n,則從6名學(xué)生中任3人的所有情況有：

ABC.ABD<ABm,ABn,ACD,ACm,ACn,ADm,ADn,Aim,BCD,BCm,BCn,BDm,BDn,

Bmn,CDm,CDn,Cmn,Dmn,共20種，

（2）由（1）可知共有20種情況，其中所選3人中恰有一名女生的有12種，所以所求概率為?12=￡3,

（3）由⑴可知共有20種情況，所選3人中至少有一名女生的有16種，所以所求概率為年=

5.（2021?四川成都）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，

每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕

人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

05060708090100分鐘

⑴求。；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)嚏(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該組

數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)

(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組［50,60),

［60,70)和［80,90)的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時間位于

［80,90)的概率.

7

【答案】(Da=0.02；(2)74；⑶歷.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖得：(0.005+0.01+2a+0.045)xl0=l

.-.a=0.02

(2)根據(jù)頻率分布直方圖得：

x=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74,

⑶由于［50,60),［60,70)和［80,90)的頻率之比為：1：2：2,

故抽取的5人中［50,60),［60,70)和［80,90)分別為：1人,2人,2人,

記［50,60)的1人為。，［60,70)的2人為b,c,［80,90)的2人為A,B

故隨機(jī)抽取2人共有(。淮)，(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),g,A),

S,B),(c,A),(AB)10種，

其中至少有1人每天閱讀時間位于［80,90)的包含7種，

7

故概率2=記.

6.(2021?江西?臨川一中)某種嬰兒用品主要材質(zhì)是橡膠，在加工過程中，可能會殘留一些未揮發(fā)完全

的溶劑，以及橡膠本身含有的化合物等，長期潛伏積累，對免疫力尚未健全的嬰幼兒會危害甚大，為了測

量此類新產(chǎn)品的揮發(fā)性物質(zhì)含量，從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個，得到如下頻率分布直方圖，若以頻率

作為概率，規(guī)定該嬰兒用品的揮發(fā)性物質(zhì)含量＜18%。為合格產(chǎn)品.

(1)若這100個產(chǎn)品的揮發(fā)性物質(zhì)含量的平均值大于16,則需進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，試問該新產(chǎn)品是否需要技術(shù)改

進(jìn)？

(2)為了解產(chǎn)品不合格的原因，用分層抽樣的方法從口8,20)與［20,22)中抽取6個進(jìn)行分析，然后從這6個

中抽取2個進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)，求2個均在18,20)內(nèi)的概率.

【答案】(1)該產(chǎn)品需要進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)；(2)：2.

【解析】=11x0.01+13x0.14+15x0.28+17x0.32+19x0.20+21x0.04+23x0.01=16.44>16，故該產(chǎn)

品需要進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)；

⑵［18,20)組的產(chǎn)品的個數(shù)為100x2x0.10=20,［20,22)組的產(chǎn)品的個數(shù)100x2x0.02=4,所以從口8,20)組

中抽取6x1^=5個,從［20,22)組中抽取6x2=1個,

記［18,20)組中抽取的5個分別為〃,女。&0,［20,22)組中抽取的一個為九

則從6個中抽取2個的所有情況如下：

(a,A),(a,c)M，e),(aJ),(Z?,c),(A,d)，S，e)，SJ),(Gd),(c,e),(c,/),(d,e),(dJ),(e")共15種情況，

其中在［18,20)中恰有2個的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(6,d),(6,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種情況，所

102

以所求的概率P=百=§.

7.(2021?云南?昆明一中)良好的體育鍛煉習(xí)慣，對學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活都非常有益.某校為了解學(xué)生的課

外體育鍛煉時間情況，在全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)分成六組，得到如圖所示

的頻率分布直方圖.將平均每天課外體育鍛煉時間在［40,60)上的學(xué)生評價為鍛煉達(dá)標(biāo)，將平均每天課外體育

鍛煉時間在［0,40)上的學(xué)生評價為鍛煉不達(dá)標(biāo).

(1)估計(jì)這200名學(xué)生每天課外體育鍛煉時間的中位數(shù)與平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表)；

(2)在上述鍛煉達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取8名，再從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)

中至少有一名每天體育鍛煉時間在［50,60)的概率.

13

【答案】(1)28.125,28.7；⑵：

2o

【解析】⑴設(shè)中位數(shù)為機(jī)，則024+5-20)x0.032=0.5,“=28.125

x=5xO.O8+15xO.16+25x0.32+35x0.24+45x0.15+55x0.05=28.7;

(2)根據(jù)題意可得，抽取的8名同學(xué)中，

時間在［40,50)的有6名，記為4,a2,a3,a4,a5,a6,

時間在［50,60)的有2名,記為4,b2,

從8名同學(xué)中隨機(jī)取2人的基本事件為q%，4%，4%，a}a5,a&，岫,岫,a2a3,a2aA,a2as,%%，

,a2b2,a3a4,%%，a3a§?，a3b,a4a5,%%，”44，a4b,a6bl,a6bl，々"2

28個，

記事件A為兩名同學(xué)中至少有?名每天體育鍛煉時間在150,60),

則A包含的基本事件個數(shù)有13個，

13

所以P(A)=^.

2X

8.(2021?山東省濰坊第四中學(xué)高一開學(xué)考試)數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一份“你最喜歡的支付方式”的調(diào)查問

卷(每人必選且只能選一種支付方式)，在某商場隨機(jī)調(diào)查了部分顧客，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下所示的兩

幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：

人數(shù)

75

60

45

30

15

支

銀

微

付

行

信

寶

卡

(1)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“現(xiàn)金”支付的扇形圓心角的度數(shù)為多少？

(2)若之前統(tǒng)計(jì)遺漏了15份問卷，已知這15份問卷都是采用“支付寶”進(jìn)行支付，問重新統(tǒng)計(jì)后的眾數(shù)所

在的分類與之前統(tǒng)計(jì)的情況是否相同，并簡要說明理由；

（3）在一次購物中，嘉嘉和琪琪隨機(jī)從“微信，支付寶，銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付，請

用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

【答案】（1）條形統(tǒng)計(jì)圖見解析，90:（2）不同，理由見解析：（3）1

【解析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，用現(xiàn)金、支付寶、其他支付共有人數(shù)110人，

所占比例為1-15%-30%=55%,所以共調(diào)查了照=200人，

所以用銀行卡支付的人有200x0.15=30人，用微信支付的人有200x0.3=60人，

用現(xiàn)金支付所占比例為券=0.25,所以0.25x360。=90。，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“現(xiàn)金”支付的扇形圓心角

的度數(shù)為90°,

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

（2）重新統(tǒng)計(jì)后的眾數(shù)所在的分類與之前統(tǒng)計(jì)的情況不同,理由如下：原數(shù)據(jù)的眾數(shù)所在的分類為微信，而

加上遺漏的15份問卷后，數(shù)據(jù)的眾數(shù)所在的分類為微信、支付寶.

（3）將微信記為4支付寶記為B、銀行卡記為C,畫樹狀圖如下:

開始

???共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種,

:,兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為13=-1-

9.（2021?云南?玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：千瓦時）以［160,180）,

[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中x的值；

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為［240,260),［260,280),［280,300］的三組用戶中用分層抽樣的方法抽取6戶居民，并

從抽取的6戶中任選2戶參加一個訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率.

【答案】⑴0.0075；(2)眾數(shù)是230,中位數(shù)是224；⑶得.

【解析】⑴由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)x20=l

得x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075.

(2)月平均用電量的眾數(shù)是220；240=2