重難點02不等式（6種解題模型與方法）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

重難點02不等式（6種解題模型與方法）

?:利用不等式的基本性質(zhì)判斷不等式是否成立,題型四：底本不等式-運用湊配法求最值

題型：：二次函數(shù)的圖像和性旗及其應(yīng)川不等式題型自居本不等式-運用1的代換求最值

題型三：一元：次不等式與二次函數(shù)題型六：底本不等式的運用

Q技巧方法

等式與不等式的性質(zhì)

【知識點的認(rèn)識】

1.不等式的基本性質(zhì)

（1）對于任意兩個實數(shù)“，b,有且只有以下三種情況之一成立：

?a>b<^>a-Z?>0；

②a<boa-6V0；

③a=b=a-b=0.

（2）不等式的基本性質(zhì)

①對稱性：a>bob<a：

②傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

③可加性：a>b^a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

⑤可積性：a>h,c>0=^ac>hc；a>b,c<0=>ac<hc；

⑥同向整數(shù)可乘性：a>b>0,c>d>0=^ac>bd；

⑦平方法則：a>b>0^>an>bn（nGN,且〃>1）；

⑧開方法則：4>6>0=^^>牛^（且〃>1）.

二.不等關(guān)系與不等式

【不等關(guān)系與不等式】

不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如馬與芻就是相等關(guān)系.而

24

不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說。>匕，a-b

>0就是不等式.

【不等式定理】

①對任意的a,b,有a>6=a-Q0；a=b=a-b=0；a<b=a-b<0,這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù).

②如果。>匕，那么b<“；如果那么b>a.

③如果a>b,且b>c,那么a>c；如果a>b,那么a+c>6+c.

推論:如果a>b,且c>d,那么a+c>8+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>6c；如果cVO,那么ac<尻

三.基本不等式及其應(yīng)用

【概述】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個正實數(shù)的兒何平均數(shù)小于

或等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：生也》后(a》O,b》O),變形為MW(三也戶或者后.常

22

常用于求最值和值域.

四.其他不等式的解法

【知識點的知識】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根軸法).

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線(偶重根打結(jié))，定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式卬?+笈+。>0(。#0)解的討論.

(2)分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

g(x)八兄「g(x)|g(x)#O.

(3)無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解.

?師>歷0愣；；｝=定義域

[y(x)>g(x)

f(][\>o____y(jc)?o

@〃(x)>g(x)o<g(x)￡0或力器;@Jfx()<g(x)O(g(x)20

l/(x)>[g(x)]2Q)<°LAX)<[4x)f

(4)指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

小吟>/("(a>1)o/(x)>烈x);a'Q)>〃(“)(0va<1)o/(x)<g(x)

a"'">b(a>0,d>0)of(x)le,a>\etb

(5)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

/(x)>07(x)>o

log."X)>log.g(x)(a>1)o4g(x)>0logj(x)>log.g(xX0<av1)o4g(x)>0

/(x)>g(x)f(x)<g(x)

(6)含絕對值不等式

①應(yīng)用分類討論思想去絕對值;

②應(yīng)用數(shù)形思想；

③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化.

I/(X)|<g(x)O｛駕j</(,)<g(x)

I/(x)>g(x)=g(x?OWx)，g(x壞同時為。成佛泛g(x的(x)>g(x)

注：常用不等式的解法舉例(x為正數(shù))：

①x(l-x)2=i-2x(l-xXl-x)<|(|)3=*

②尸x(l-x2)=>y2=

y=sinxcos2x=sinx(l-sin:x),③|x+L|=|x|+|L|(冉［同號，故取等)22

YYY

五.一元二次不等式及其應(yīng)用

【概念】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>Q

或ax1+bx+c<0(a不等于0)其中a^+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

【特征】

當(dāng)△=/-4izc>0時，

一元二次方程ar2+%x+c=0有兩個實根，那么a^+foc+c可寫成a(x-xi)(JC-%2)

當(dāng)△=/-4ac=0時，

一元二次方程ax2+bx+c=0僅有一個實根，那么aj^+bx+c可寫成a(x-xi)2.

當(dāng)△=層-4碇<0時.

?—元二次方程cvr+bx+c-0沒有實根，那么a^+bx+c與x軸沒有交點.

【一元二次不等式的常見應(yīng)用類型】

①一元二次不等式恒成立問題：

一元二次不等式a^+hx+c>0的解集是R的等價條件是：a>0且△V0；一元二次不等式ax2+hx+c<0的解

集是R的等價條件是：〃<0且△<().

②分式不等式問題：

4(X)一>0%(x)?g(x)>0；

g(x)

.Ho可(x”g(x)<0；

g(x)

f(x)>修［f(x)，g(x)>0.

g(x)Ig(x)7t0

f(x)<0^ff(x)"g(xXO

g(x)Ig(x)7t0

七.一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

【概述】

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實可以用一個式子來表達(dá)，即當(dāng)a^+bx+c^O(aWO)有解時，不妨設(shè)它

的解為xi,xi,那么這個方程可以寫成ox2-〃(xi+x2)x+ori，:v2=0.即％2-(xi+%2)x+x\*x2—Q.它表示

根與系數(shù)有如下關(guān)系:X\+X2=-A,X1?X2=￡.

aa

【考點分析】

首先申明，這是必考點.一般都是在解析幾何里面，通過聯(lián)立方程，求出兩交點的橫坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系，

然后通過這個關(guān)系去求距離，或者斜率的積等等.所以在復(fù)習(xí)的時候要結(jié)合解析幾何一同復(fù)習(xí)效果更佳.

A.絕對值不等式

【知識點的認(rèn)識】

絕對值不等式的解法

1、絕對值不等式卜|>〃與團(tuán)<〃的解集

不等式〃>067=04Vo

\x\<a{x|-4VxV。}00

\A>a{x\x>a,或xV-〃}{4xWO}R

2、|ox+6|Wc(c>0)和欣+臼(c>0)型不等式的解法：

(1)|ox+/?|Wc=-cWax+bWc；

(2)\ax+b\5sc<^ax+bc或or+bW-c；

(3)|x-a\+\x-h\^c(c>0)和|x-“|+|x-例Wc(c>0)型不等式的解法:

方法一：利用絕對值不等式的兒何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

【解題方法點撥】

1.不等式|x-a|+|x-臼2c的解就是數(shù)軸上到A(a),B(b)兩點的距離之和不小于c的點所對應(yīng)的實數(shù)，

只要在數(shù)軸上確定出具有上述特點的點的位置，就可以得出不等式的解.

2.不等式間-|瓦W|a+例W|4|+|例，右側(cè)“=”成立的條件是昉20,左側(cè)“=”成立的條件是必《0且同》

I例；不等式⑷-|b|W|a-b|W|a|+|b|,右側(cè)“=”成立的條件是"W0,左側(cè)“="成立的條件是ab^O且同

冽訃

3、解絕對值不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進(jìn)行求

解.含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解，對于形如|x-?|+|x-b\>m或|x-?|+|x-b\<

m(根為正常數(shù))，利用實數(shù)絕對值的幾何意義求解較簡便.

九.絕對值不等式的解法

【知識點的認(rèn)識】

絕對值不等式的解法

1、絕對值不等式|x|>a與的解集

不等式a>0a=0a<0

M<?{x\-a<x<a}00

\x\>a[x\x>a,或1V-〃}{小WO}R

2、|ar+b|Wc(c>0)和|ax+b|2c(c>0)型不等式的解法:

(1)-cWax+bWc；

(2)\ax+b\S5c<^ax+bc或ax+b^-c；

(3)|x-a|+|x-h\^c(c>0)和-a|+|x-b|Wc(c>0)型不等式的解法：

方法一：利用絕對值不等式的兒何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

【解題方法點撥】

1、解絕對值不等式的基本方法：

(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；

(2)當(dāng)不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；

(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.

2.解絕對值不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進(jìn)行求

解.含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解，對于形如Qal+k-例>機(jī)或仇-〃|+僅-句<

m（加為正常數(shù)），利用實數(shù)絕對值的幾何意義求解較簡便.

3.不等式以-。|+|、-切》。的解就是數(shù)軸上到4（a）,B"）兩點的距離之和不小于c,的點所對應(yīng)的實數(shù)，

只要在數(shù)軸上確定出具有上述特點的點的位置，就可以得出不等式的解.

4.不等式同-向W|a+b|W|a|+|b|,右側(cè)“=”成立的條件是曲》0,左側(cè)“=”成立的條件是MW0且⑷N

\b\；不等式同-|b|W|a-b|W|a|+|臼,右側(cè)“=”成立的條件是"W0,左側(cè)“=”成立的條件是ab^O且⑷

21bl.

Q能力拓展

題型一：利用不等式的基本性質(zhì)判斷不等式是否成立

選擇題（共5小題）

1.（2022秋?河南月考）已知-l〈x+2yW5,-lWx-2），<3,則x的取值范圍是（）

A.-2?2B.-2?C.-KW4D.-1WXW2

2.（2022秋?遼中區(qū)校級月考）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等

號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入

對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a,b,cGR,則下列命題正確的是（）

A.若a>h,則工

ab

B.若a>b,則/-而〈功-序

C.若a>/>>c>0,則」->_2_

a-ba-c

D.若a>6>c>0,則曳<生之

bb+c

3.（2022秋?金水區(qū)校級月考）已知x>0,P=47I-4,Q力羨，則P與。的大小關(guān)系為（）

A.P>QB.P<QC.P=QD.不確定

4.（2022秋?虹口區(qū)校級月考）記關(guān)于x的三個方程分別為：

①/+aix+l=0；

@x1+a2x+2—0；

③^+皿+4=0,其中“1,42,43是正實數(shù)，且滿足422=4143.

則下列選項中，能推出方程③無實根的是（）

A.方程①有實根，且②有實根

B.方程①有實根，且②無實根

C.方程①無實根，且②有實根

D.方程①無實根，且②無實根

5.（2022秋?荔灣區(qū)校級期中）設(shè)集合A=[0,工），B=[—.1]-函數(shù)=<x+了’A，若

2212（l-x）,x€B

JCOWA,且加'（xo）]EA,則xo的取值范圍是（）

A.（0,y]B.[0,卷]C,（A,A）D.（A（-1]

二.多選題（共3小題）

（多選）6.（2022秋?南崗區(qū)校級月考）對任意實數(shù)mb,c,d,則下列命題中正確的是（）

A.若a>8,cWO,貝UB.若a>b,則

21

C.ac>bc,則a>bD.若/>/,ab<.Q,則工〉工

ab

（多選）7.（2022秋?市南區(qū)月考）如果“V6V0,c<“<0,那么下列不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.ac>bdC.—<—D.a2<ab<b2

aa

（多選）8.（2022秋?安陽月考）設(shè)”>b>0,則（）

A.a+—>b+—B.---<

baa+bVab

2.,2,2

C.a22>a+bD.2—<2b-a

Vaba

三.填空題（共5小題）

9.（2022秋?新北區(qū)校級月考）某高校在2022年9月初共有機(jī)名在校學(xué)生，其中有〃（〃?>"）名新生，在

9月底，又補錄了匕名學(xué)生，則新生占學(xué)生的比例（選填“變大”“變小”或“不變”），其理論

論據(jù)用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為.

10.（2022秋?涅中區(qū)校級月考）若-l<a+8<3,2<a-b<4,t=2a+3b,則f的取值范圍為.

11.（2022秋?于洪區(qū)校級月考）已知實數(shù)“>b>0,且滿足@2b4^L=4b，則“+2方=.

a-b

12.（2022秋?阜寧縣校級月考）已知關(guān)于x的一元二次不等式24/+飄+〃<0的解集為｛x|x=」｝，且。

a

>b,則^^的最大值為

2八2

a+b

13.（2022秋?西城區(qū)校級期中）某購物網(wǎng)站在2022年10月開展“買三免一”活動，規(guī)則是“購買3件商

品，最便宜的一件商品免費”，比如如下結(jié)算案例：包的價格為200元，衣服的價格為200元，鞋的價格

為150元，用戶應(yīng)支付200+200+150=550元，減免價格最低商品價格150元，實際支付400元，實際折

扣400?550=約7.3折，立省150元.

(1)如果在此網(wǎng)站上購買的三件商品價格分別為500元、700元、400元，按照“買三免一”的規(guī)則購

買這三件商品的實際折扣為折；

(2)在這個網(wǎng)站上購買3件商品，按照“買三免一”的規(guī)則，這3件商品實際折扣力度最大約為折

(保留一位小數(shù)).

四.解答題(共5小題)

2

14.(2022秋?涅中區(qū)校級月考)已知試比較且11與且/L值的大小.

aTa2-l

15.(2022秋?松北區(qū)校級月考)(1)設(shè)2＜。＜7,1＜6＜2,求“+3兒la-b,目的范圍.

b

(2)下面的問題與著名的柯西不等式有關(guān)，若a,h,c,d€R,請你比較(a2+b2)(?+/)與(ac+bd)

2的大小,根據(jù)以上結(jié)論猜測(?l2+?22+--+a/i2)(42+歷2+“?+加2)與(〃向+“2歷+…+“"〃")2的大小(不

必證明).

16.(2022秋?河南月考)已知關(guān)于x的不等式履＞22的解集為{小V-11}.

(1)求k的值；

(2)比較a2-與2a-3的大小?

17.（2022秋?定邊縣校級月考）已知a>0,b>0.

(1)求證:/+3反22Z?(〃+/?)；

（2）若a+b=2ab,求砂的最小值.

18.（2022秋?霞山區(qū)校級月考）（1）已知x,jER,求證：/+2/22肛+2y-1；

（2）已知〃>0,b>0,a+b=1,求證：（11J）

題型二：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及其應(yīng)用

選擇題（共1小題）

1.（2022秋?南岸區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）=log°“l(fā)+x2-x）T——-xeR,若meqo,工]使關(guān)于

22X+12

。的不等式/（sinWcos。）+f（.2-sinO-cos0-m）V2成立，則實數(shù)機(jī)的范圍為（）

A.（-8,B.（2,+8）C.（-8,2）D.（.Z.-y[2,+8）

2V2

二.多選題（共1小題）

（多選）2.（2022?洪山區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)/（x）=（"X，x4°,若方程/（%）+勿"（X）+1=

-X2+2X,x>08

0有六個相異實根，則實數(shù)〃可能的取值為（）

A.-2B.-1C.D._史4亞

216

三.填空題（共2小題）

3.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式iWfc?+x+ZWZ的解集中只有一個元素，則實數(shù)々的取

值集合為.

4.（2022秋?肇州縣校級月考）若存在正實數(shù)b,使得劭（a+b）=…,則。的最大值為.

四.解答題（共6小題）

5.（2022秋?南海區(qū)校級期中）某蔬菜倉庫供應(yīng)甲、乙兩個大型超市.蔬菜倉庫的設(shè)計容量為45萬噸，去

年年底時該倉庫的蔬菜存儲量為9萬噸，從今年開始，每個月購進(jìn)蔬菜〃7萬噸，再按照需求量向兩個超

市調(diào)出蔬菜.已知甲超市每月的蔬菜需求量為1萬噸，乙超市前x個月的蔬菜總需求量為萬噸，其

中1WXW12且xCN*,且前4個月，乙超市的蔬菜總需求量為12萬噸.

（I）求第x個月月底時，該倉庫的蔬菜存儲量M1萬噸）與x的函數(shù)關(guān)系式；

（II）若要今年每月按計劃購進(jìn)蔬菜之后，倉庫總能滿足兩個超市的需求，且每月調(diào)出蔬菜后，倉庫的

蔬菜剩余量不超過設(shè)計容量，試確定m的取值范圍.

6.（2022秋?荔灣區(qū)校級期中）某電動摩托車企業(yè)計劃在2021年投資生產(chǎn)一款高端電動摩托車.經(jīng)市場調(diào)

研測算，生產(chǎn)該款電動摩托車需投入設(shè)備改造費1000萬元，生產(chǎn)該款電動摩托車x萬臺需投入資金y萬

mx2+2600x（0<x<4）

元，且丫=2，生產(chǎn)l萬臺該款電動摩托車需投入資金3000萬元；當(dāng)該款

15001x-R5n0n0i1x+25（

,x

電動摩托車售價為5000（單位：元/臺）時，當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的該款摩托車能全部銷售完.

（1）求根的值，并寫出2021年該款摩托車的年利潤Z（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：萬臺）的

函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)2021年該款摩托車的年產(chǎn)盤x為多少時，Z年利潤最大？最大年利潤是多少？

（年利潤=銷售所得-投入資金-設(shè)備改造費）

7.（2022秋?秦淮區(qū)校級期中）我國某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某

款新手機(jī).通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)x（干部）手機(jī)，需另投

10X2+200X+1000,0<X<40

入可變成本R（x）萬元，且R（x）=\innnn、，由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售

801x+1^k-8450x>40

x）

價0.8萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.（利潤=銷售額-固定成本-可變成本）.

（1）求2023年的利潤W（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）2023年產(chǎn)量為多少（干部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

8.(2022秋?南京期中)已知二次函數(shù)/(x)=7-(a+1)x+a,a&R.

(1)若關(guān)于x的不等式/G)2-1對Vxe(1,3]恒成立，求a的取值范圍；

(2)已知函數(shù)g(x)=x-1,若對1J,3JC2G[-1,2],使不等式g(xi)2f(x2)成立，求a

的取值范圍.

9.(2022秋?金州區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=a？-2ar-3.

(1)若a=l,求不等式/(X)20的解集；

(2)已知。>0,且f(x)》0在[3,+8)上恒成立，求“的取值范圍；

(3)若關(guān)于x的方程/(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根xi、xi,且xi+x2>0,xix2>0,求xJ+xz?的取值

范圍.

10.(2022秋?南陽期中)為了激勵銷售人員的積極性，某企業(yè)根據(jù)業(yè)務(wù)員的銷售額發(fā)放獎金(獎金和銷售

額的單位都為十萬元），獎金發(fā)放方案要求同時具備下列兩個條件：①獎金/（X）隨銷售額x（2WxW8）

的增加而增加；②獎金金額不低于銷售額的5%.經(jīng)測算該企業(yè)決定采用函數(shù)模型f（x）=工』+〃（/?

30x

>0,?>0）作為獎金發(fā)放方案.

（I）若山=工，n」，此獎金發(fā)放方案是否滿足條件？并說明理由；

24

（II）若n=X要使獎金發(fā)放方案滿足條件，求實數(shù)m的取值范圍.

2

題型三：一元二次不等式與二次函數(shù)

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?高新區(qū)校級月考）若關(guān)于x的不等式（2x-1）2<好2的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)“的

取值范圍是（）

A/57R「57、

（T[7'彳）

二.填空題（共3小題）

2.（2022秋?濱湖區(qū)期中）若對任意x>y>0,不等式m2_m+5〈三恒成立，則實數(shù)m的取值范圍

yx-y

是.

3.（2022秋?東安區(qū)校級月考）已知函數(shù)/（x）=*-若WaH-2,2],2]使不等式f（x）W〃P

成立，則實數(shù)，"的取值范圍為

3

4.（2022秋?蘇州月考）若不等式/-6>〃狀對任意滿足|〃?|W1的實數(shù)m都成立，則x的取值范圍是.

三.解答題（共9小題）

5.（2022秋?新羅區(qū)校級月考）已知不等式以2-灰+3>0的解集為{無仇<1或》>3}.

(1)求實數(shù)。，人的值；

(2)若帆>0,72>0,5.am+bn=}f求的最小值.

mn

6.(2022秋?渝中區(qū)校級月考)若命題p：存在x2-x+3-a<0；命題q：二次函數(shù)y=/-2ox+l

在的圖像恒在x軸上方.

(1)若命題P，,中至少有一個真命題，求Q的取值范圍？

(2)對任意的-存在0〈人<2,使得不等式7-2or+a2g-1|+亞-2|成立，求x的取值范圍？

7.(2022秋?龍巖月考)定義函數(shù)=/(x)與g(x)在區(qū)間/上是同步的：對立口，都有不等式/(x)g(x)

20恒成立.

(1)函數(shù)/(x)=x^+ax-a(〃>0)與g(x)=2x+b在區(qū)間［1,+°°)上同步，求實數(shù)b的取值范圍；

(2)設(shè)。<0,函數(shù)/(x)=3/+。與g(無)=2r+A在以m6為端點的開區(qū)間上同步，求|〃-b|的最大

值.

8.(2022秋?西青區(qū)校級月考)設(shè)函數(shù)/(x)=蘇+(/?-2)x+3(〃#0),

(1)若不等/(x)>0的解集為(7,3),求2〃+6的值;

(2)當(dāng)/(2)=0,且a>0,b>0,有」」」)卜2-什2恒成立，求女的取值范圍;

4a2bb

(3)若/(I)=4,b>-I,求丁工_」±1的最小值.

aIb+1

9.(2022秋?寶山區(qū)校級月考)定義區(qū)間(c,rf),[c,d),(c,J],[c,刈的長度均為d-c,其中d>c.

(1)若關(guān)于x的不等式2a/-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為遙，求實數(shù)a的值；

(2)已知實數(shù)〃，b(a>h),求，」解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和；

x-ax-b

Ix-3|<3

(3)已知關(guān)于x的不等式組.101的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實數(shù)t的取值范圍.

,VxVtx+3t2

10.(2022秋?朝陽區(qū)校級月考)已知函數(shù)丫=(k-1)/+a-3)x+1.

(1)若關(guān)于x的不等式(k-1)/+(&-3)x+12。的解集為全體實數(shù)R,求實數(shù)％的取值范圍.

(2)若關(guān)于x的方程(k-1)W+(%-3)x+1=0的兩根為xi,X2,且xi<2,X2<2.求實數(shù)k的取值

范圍.

11.(2022秋?武侯區(qū)校級月考)已知y=/-(a+1)x+a.

(1)若a=2,求/(x)W0的解集A；

(2)若yWO的解集A是集合｛x|-4WxW2｝的真子集，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)若對一切x>2的實數(shù)，均有y23x-7恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

12.(2022秋?鼓樓區(qū)校級月考)設(shè)函數(shù))，=0?-(2“+3)x+6,?eR.

(1)若y=0的解集是{2,3},求實數(shù)a的值；

(2)若y+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)a=l時，Vr>-2,關(guān)于x的不等式y(tǒng)W-3x+3+m在［-2,r］有解，求實數(shù)的取值范圍.

13.(2022?天元區(qū)校級開學(xué))解下列關(guān)于x的不等式：(a為實數(shù))

(1)X2+2X+?<0；

(2)ax-1>o.

x-2

題型四：基本不等式-運用湊配法求最值

選擇題（共1小題）

1.（2022秋?和平區(qū)校級月考）已知x,y>0,［則x+2y的最小值為（）

x+2y+2

A.9B.12C.15D.672+3

二.多選題（共4小題）

（多選）2.（2022秋?寧鄉(xiāng)市校級月考）若實數(shù)加，〃>0,滿足2〃什"=1,以下選項中正確的有（）

A.mn的最小值為工

8

B.2△的最小值為1+啦

mn

C.2的最小值為絲

m+1n+25

D.4機(jī)2+〃2的最小值為工

2

（多選）3.（2022秋?北培區(qū)校級月考）若a,be（0,+?>）,則下列選項成立的是（）

A.a（6-a）W9

B.若ab=a+b+3,則而29

C.一的最小值為2

2

a+2

D.若a+h=2,則工二》3+2如

ab

（多選）4.（2022秋?黑龍江月考）設(shè)〃>1,b>l,且（a+b）=1,那么（）

A.有最小值2G/5+1）B./+匕2有最小值18+12加

C.，山有最大值3+簿D.1+1有最小值加

a-1b-1

（多選）5.（2022秋?皇姑區(qū)校級月考）下列命題正確的是（）

A.y=x+工的最小值為2

X

2

B.y二_^^=~的最小值為2

卬/

C.若。>0,且6+4=0,則一一的最大值為2

a+b5

D.若x>0,y>0,x+y+xy-3=0,貝Ux+y最小值為2

三.填空題（共6小題）

6.（2022秋?薊州區(qū)校級月考）當(dāng)x<-1時，/（x）=x+，的最大值為.

x+1

7.（2022秋?皇姑區(qū)校級月考）若正實數(shù)a,b滿足a+6=4,則工+人的最小值是.

a+1b+1

8.（2022秋?錫山區(qū)校級月考）若兩個正實數(shù)x,y滿足x+y=3,且不等式殳〉m2-3m+5恒成立，

x+1y

則實數(shù)機(jī)的取值范圍為.

9.（2022秋?薊州區(qū)校級月考）已知正數(shù)x,），滿足x+y=5,則的最小值為_______.

x+1y+2

10.（2022秋?和平區(qū)校級月考）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足/-母+4/-z=0,則當(dāng)工取得最小值時，20心

xyxyz

的最大值為.

11.（2022秋?北暗區(qū)校級月考）已知正實數(shù)a,b,c,滿足a+6+c=l,則姓的最大值為?

四.解答題（共2小題）

12.（2022秋?茅箭區(qū)校級月考）設(shè)二次函數(shù)y=a?+（/>-2）x+3（aWO）,

（1）若匕=-a-3,求不等式a?+（b-2）x+3<-4x+2的解集；

（2）若x=l時，y=4,b>-1,求丁工_JAI的最小值.

laib^F

13.（2022秋?海滄區(qū)校級月考）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜園，設(shè)菜

園的長為x米，寬為），米.

（1）若菜園面積為36平方米，則x,y為何值時，所用籬笆總長最??？

（2）若使用的籬笆總長為30米，求2+工的最小值.

yx

y

X

題型五：基本不等式-運用1的代換求最值

選擇題（共2小題）

1.（2022秋?武侯區(qū)校級月考）若x>0,y>0,4x+），=孫，且不等式x+X<a2-3“有解，則實數(shù)a的取值

4

范圍為（）

A.。>4或aV-1B.。<-4或〃>1C.a>4D.a<-1

2.（2022秋?章丘區(qū)校級月考）若正實數(shù)x,y滿足x+2y=孫，則2i+y的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

二.多選題（共3小題）

（多選）3.（2022秋?寧鄉(xiāng)市校級月考）若實數(shù)機(jī)，〃>0,滿足2次+〃=1,以下選項中正確的有（）

A.mn的最小值為」

8

B.紅二的最小值為1+K歷

mn

C.工二一的最小值為四

m+1n+25

D.4/H2+H2的最小值為」

2

（多選）4.（2022秋?沛縣月考）以下結(jié)論正確的是（）

A.

2

x

B.1x2+2+/1的最小值為2

VX2+2

C.若屋+2廬=1,則與6_>3+2后

Jbz

D.若小且滿足〃+b=1,則」_二）：4

ab

（多選）5.（2022秋?江北區(qū)校級月考）已知x,y是正實數(shù)，且2x+y=l,下列敘述正確的是（）

A.2肛的最大值為2B.4/+）2的最小值為工

42

C.x（x+y）的最大值為』D.X』的最小值為3+2^歷

4xy

三.填空題（共4小題）

6.（2022秋?東莞市校級月考）已知a>0.b>0.a+b^l.則（1+工）（1+A）的最小值為.

ab

7.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）已知匕>0,且。+匕=1,則曳1的最小值為_______.

ba-b（a-b）b

8.（2022秋?金鳳區(qū)校級月考）已知x>0,y>0,且34口，若x+3y>蘇-〃?恒成立，則實數(shù)比的取值

xy

范圍為.

9.（2022春?衢州期末）已知正實數(shù)mb滿足上,口，則（”+1）（6+2）的最小值是.

四.解答題（共5小題）

10.（2022秋?武清區(qū)校級月考）（1）已知x,y為正數(shù)，且——4=1,求x+y的最小值；

2+xy

（2）已知0<x<3,求x（3-2x）的最大值.

2

11.（2022秋?東莞市校級月考）已知關(guān)于x的不等式a?-x-2>0的解集為{x|-1<XVZ?}.

（1）求“，6的值；

（2）當(dāng)x>0,y>0,且滿足包4A=1時，有2x+y>必+A+2恒成立，求我的取值范圍.

XV

12.（2022秋?霞山區(qū)校級月考）（1）已知x,>GR,求證：/+2）222孫+2y-1；

(2)已知a>0,h>0,a+h=1,求證：

13.(2022秋?肇州縣校級月考)已知x,y€R+,且滿足*4^工+2了+上=6.

2xy

(1)若xy］，求x，y的值；

(2)求：x+2y的最大值與最小值