計(jì)算方法試題集

第一章數(shù)值計(jì)算基本常識(shí)

一.填空題

1.用四舍五入得到的近似數(shù)0.628,有位有效數(shù)字，其絕對(duì)誤差限是。

2.用四舍五入得到的近似數(shù)0.586,有___位有效數(shù)字，其絕對(duì)誤差限是。

3,用四舍五入得到的近似數(shù)0.69,其絕對(duì)誤差是,由此計(jì)算出的相對(duì)誤差限是_

_________O

4,用四舍五入得到的近似數(shù)0.7960,其絕對(duì)誤差是,由此計(jì)算出的相對(duì)誤差限

是o

5.設(shè)0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有_位有效數(shù)字。

6.設(shè)x*=0.231是真值x=0.229的近似值，則X*有位有效數(shù)字。

7.設(shè)x*=0.23是真值x=0.229的近似值，則X*有位有效數(shù)字。

8.設(shè)x=2.3149541…，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x*=。

9.設(shè)x=2.3149541…，取4位有效數(shù)字，則所得的近似值x*=。

10.若近似數(shù)0.1100有4位有效數(shù)字，由有效數(shù)字計(jì)算出的相對(duì)誤差是o

11.若近似數(shù)76.82有.4位有效數(shù)字，由有效數(shù)字計(jì)算出的相對(duì)誤差是o

12.若近似數(shù)576.00有5位有效數(shù)字，由有效數(shù)字計(jì)算出的相對(duì)誤差是o

13.用3.15作為n的近似值有位有效數(shù)字。

14.用3.14作為n的近似值有位有效數(shù)字。

15.用3.1416作為n的近似值有位有效數(shù)字。

解答：

1.3、0.5*10，

2.3、0.5*10，

3.0.5*10-2、0.725%

4.0.5*10"、0.00628%

5.1

6.2

7.2

8.2.3150

9.2315

10.0.05%

11.0.007%

12.0.001%

13.2

14.3

15.5

二.選擇題

1.3.141580是打的近似值，有()位有效數(shù)字。

A.6B.5C.4D.7

2.3.141593是n的近似值，有()位有效數(shù)字。

A.6B.7C.8D.9

3.4.3490是4.3490287…的近似值，有()位有效數(shù)字。

A.6B.5C.4D.7

4.5.47625是5.47625793…的近似值，有()位有效數(shù)字。

A.6B.5C.4D.7

5.若相對(duì)誤差限為0.5Xl()r,那么近似數(shù)0.003400可能有()位有效數(shù)字。

A.2B.3C.4D.6

6.若相對(duì)誤差限為0.5><10一5,那么近似數(shù)0Q5912可能有()位有效數(shù)字。

A.2B.3C.4D.6

7.已知圓周率n=3.141592654…,若其近似值取5位有效數(shù)字,則近似值為（）

A.3.1414B.3.1415C.3.1416D.3.1417

8.已知精確值2切，若其近似值取6位有效數(shù)字，則近似值為（）

A.3.14285B.3.142857C.3.14286D.3.14290

9.以下符合絕對(duì)誤差定義的是（）

A.真值=近似值+絕對(duì)誤差B.絕對(duì)誤差=相對(duì)誤差/真值

C.近似值=真值+絕對(duì)誤差D.相對(duì)誤差=真值*絕對(duì)誤差

10.以下符合相對(duì)誤差定義的是（）

A.真值=近似值+相對(duì)誤差B.相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/真值

C.近似值=真值-相對(duì)誤差D.相對(duì)誤差=真值*絕對(duì)誤差

11.有效數(shù)字由（）決定

A.相對(duì)誤差B.絕對(duì)誤差C.截?cái)嗾`差D.舍入誤差

12.用1+x近似表示e'所產(chǎn)生的誤差是（）誤差。

A.模型B,觀測(cè)C.截?cái)郉.舍入

13.舍入誤差是（）產(chǎn)生的誤差。

A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值之差

C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值

14.誤差在數(shù)值計(jì)算中是不可避免的，以下哪個(gè)誤差根據(jù)測(cè)量工具或儀器本身的精度可以知

道其誤差的上限值？（）

A.模型誤差B.觀測(cè)誤差C.截?cái)嗾`差D.舍入誤差

15.截?cái)嗾`差是（）產(chǎn)生的誤差。

A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值之差

C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值

解答：

1.B

2.B

3.B

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.A

10.B

11.B

12.C

13.A

14.B

15.B

三,簡(jiǎn)答題

1.學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法有什么意義？

2.數(shù)值計(jì)算方法的任務(wù)是什么？

3.數(shù)值計(jì)算方法為什么不僅要討論計(jì)算量，而且要討論計(jì)算誤差？

4.誤差來(lái)源有哪些？

5.數(shù)值計(jì)算方法的特點(diǎn)是什么？

6.用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題通常要經(jīng)歷那些過(guò)程？

7.絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的區(qū)別是什么？

8.設(shè)0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有幾位有效數(shù)字？有

效數(shù)0.23與0.230有無(wú)不同？

解答：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.計(jì)算題

解答：

五.程序題

解答：

第二章誤差傳播

一.填空題

l.p(x)=2x3+3x2+8x-9用秦九韶算法計(jì)算可表示為

2.p(x)=2-3x+x?+5x3用秦九韶算法計(jì)算可表示為

3.p(xHx3+7x2+6x+5用秦九韶算法計(jì)算可表示為

4.p(x)=x3+9x2+x+2用秦九韶算法計(jì)算可表示為

5.p(x)=l-6x+8x?+9x3用秦九韶算法計(jì)算可表示為

6.p(x)=7-2x-6X2+8x3用秦九韶算法計(jì)算可表示為

7.所謂數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題，就是指是否受控制的問(wèn)題。

8.近似數(shù)的誤差常用誤差、誤差和有效數(shù)字表示。

9.為了使暫無(wú)圖片的乘除法次數(shù)盡量的少，應(yīng)將該表達(dá)式寫為

10.為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式而面改寫為

11.為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式V4000-V3999改寫為。

12.為了避免損失有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式J同一而而改寫為

13.為了避免損失有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式V3001-V3000改寫為

14.計(jì)算方法主要研究誤差和誤差。

15.,是評(píng)定計(jì)算方法好壞的主要標(biāo)準(zhǔn)。

解答：

1.p(x)=((2x+3)x+8)x-9

2.p(x)=((5x+l)x-3)x+2

3.p(x)=((4x+7)x+6)x+5

4.p(x)=((x+9)x+1)x+2

5.p(x)=((9x+8)x-6)x+1

6.p(x)=((8x-6)x-2)x+7

7.誤差的傳播(或積累)

8.絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差

9.y=10+(3+(4-6t)t)t,t=l/(x-l)

]

wV2000+>/1999

]

n74000+5/3999

]

1271001+^^000

]

1373001+73000

14.截?cái)唷⑸崛?/p>

15.計(jì)算值具有有效數(shù)字位數(shù)的多少

二.選擇題

1.以下對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性，描述不正確的是（）

A.所謂數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題，就是指誤差的傳播（或積累）是否受控制的問(wèn)題;

B.當(dāng)算法穩(wěn)定時(shí)，原始數(shù)據(jù)小的變化只會(huì)引起最后結(jié)果有小的變化；

C.定性分析舍入誤差的積累非常困難；

D.在確定算法時(shí)應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性好的計(jì)算公式。

2.以下選項(xiàng)，那個(gè)可以得到算法數(shù)值穩(wěn)定的結(jié)果？（）

A.舍入誤差在任何條件下不受控制：

B.原始數(shù)據(jù)小的變化引起最后結(jié)果有小的變化；

C.執(zhí)行算法的過(guò)程中，舍入誤差的增長(zhǎng)不影響可靠結(jié)果的產(chǎn)生；

D.計(jì)算結(jié)果對(duì)初始數(shù)據(jù)的誤差敏感。

3.為了使也了1&有效數(shù)字位

數(shù)為3位，以下哪種方法有效（）

A,7?=1.42-1.41

2.01-2

B^12.01J?=J2.01+五

C.&O16=1,418-1.41

4D.6加6=1.4177-1.4142

X?1

4.其中以下各式哪個(gè)計(jì)算更加準(zhǔn)確（）

A.B.

C.0

5.以下不能避免兩個(gè)相近數(shù)相減的是()

A.避免出現(xiàn)減法B.減少有效數(shù)字位數(shù)

C.公式變換D.增大近似數(shù)有效數(shù)字位數(shù)

6.計(jì)算機(jī)的位數(shù)有限，為了防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，要進(jìn)行()和(

)

A.對(duì)階B.公式變換C.絕對(duì)值由大到小順序相加D.規(guī)格化

7.以下各式直接進(jìn)行對(duì)階和規(guī)格化能夠減小運(yùn)算誤差的是：()

A.0.8153+0.6303xl05B.0.7315x103+0.4506x10-5

C.105+5-105D.0.4823x105+0.2390x103

8.在數(shù)值計(jì)算中，以下對(duì)除數(shù)的作用描述錯(cuò)誤的是：()

A.絕對(duì)值太大的數(shù)不宜做除數(shù)；

B.除數(shù)很小時(shí)可能引起絕對(duì)誤差很大；

C.除數(shù)絕對(duì)值較小而被除數(shù)絕對(duì)值較大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)“溢出”：

D.除數(shù)絕對(duì)值較小而被除數(shù)絕對(duì)值較大會(huì)使商的數(shù)量級(jí)增加。

9.對(duì)于3.8X105,以下各項(xiàng)做除數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響最大的是()

A.1.9xl06B.1.9xl05C.1.9xl(y2D.

l.OxlO-4

10.以下哪項(xiàng)步驟能夠減少進(jìn)行浮點(diǎn)計(jì)算式產(chǎn)生的舍入誤差()

A.不讓兩相近數(shù)相減

B.存在大數(shù)小數(shù)相加時(shí)，先加小數(shù)再加大數(shù)

C.選絕對(duì)值大的數(shù)做除數(shù)

D.簡(jiǎn)化計(jì)算步驟

11.對(duì)于l=arctan(N+l)-arctanN,當(dāng)N充分大時(shí)，以下哪個(gè)公式可減少運(yùn)算誤差？()

A.arctan(l/N(N+l))B.arctan(l/(l+N(N+l)))

C.arctan(N(N+l))D.arctan(l/(l-N(N+l)))

12.計(jì)算X%以下()計(jì)算量最小。

A.(((x8)8)2)/xB.((((((x2)2)2)2)2)2)萬(wàn)x

C.((((x4)4))4)2/xD.xx2x4x8xl6x32x64

13.計(jì)算多項(xiàng)式P(x)=anxn+an-lxn-l+…+alx+aO,需做()次乘法和()次加法。

A.n(n+l)B.nC.n》2+n/2D.n+1

14.以下哪個(gè)措施不能減少運(yùn)算誤差？()

A.不讓兩相近數(shù)相減

B.存在大數(shù)小數(shù)相加時(shí)，先加小數(shù)再加大數(shù)

C.選絕對(duì)值小的數(shù)做除數(shù)

D.簡(jiǎn)化計(jì)算步驟

15.以下咖個(gè)措施能減少運(yùn)算誤差？（）

A.不讓兩相近數(shù)相減

B.存在大數(shù)小數(shù)相加時(shí)，先加大數(shù)再加小數(shù)

C.選絕對(duì)值小的數(shù)做除數(shù)

D.增加計(jì)算步驟

解答：

1.C

2.C

3.B

4.A

5.B

6.AD

7.D

8.A

9.D

10.D

11.D

12.B

13.CB

14.C

15.A

三.簡(jiǎn)答題

1.數(shù)值計(jì)算為什么要選用穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算方法？

2.減少運(yùn)算誤差有哪些原則？

3.

若32用秦九紹算法進(jìn)行計(jì)算，其形式是什么

p(x)=2x+3x+8x-9

?

4.能否用遞推公式

exAdx=|Q=1-e-1^0.6321

I=1一冏如、冏=L2,…9

<strong>n</strong>

計(jì)算枳分

4=卜產(chǎn)改口=12…,9

為什么？

5.若干數(shù)相加,如何避免大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象？

6.如何估計(jì)一元函數(shù)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差？

7.如何估計(jì)二元函數(shù)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差？

8.如何計(jì)算y=-依麗，才能使y有較多的有效數(shù)字?

解答：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.計(jì)算題

解答：

五.程序題

1.試用C語(yǔ)言編一秦九韶算法程序，計(jì)算P(x)=6x5+3x〈12x3-

X2+8X+7在x=2處的值。

2.以下C程序是應(yīng)用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

432

P4(X)=0.0625X+0.425X+1.215X+

1.912X+2.1296在x=1.0處的值，請(qǐng)將答案寫在對(duì)應(yīng)橫線上。

#include"stdio.h"

main()

{staticfloata［］={};

floaty;

inti;

floatx=;

Y=；

for(i=;i>=0;i-)

y=；

,,

printf(x=%4.2fzy=%6.4f",x,y);

)

解答：

1.

2.

第三章求一元非線性方程二分法

-?填空題

1.方程x3-x-l=0在區(qū)間［1,2］內(nèi)有根，利用區(qū)間二分法求解該方程的根，若使

誤差小于10-3,至少要二分次。

2.方程2/+"1=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)有根，利用區(qū)間二分法求解該方程的根，若使

誤差小于10\至少要二分次。

3.方程3x3+x-l=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)有根，利用區(qū)間二分法求解該方程的根，若使

誤差小于10\至少要二分次。

4.方程4x3+x-l=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)有根，利用區(qū)間二分法求解該方程的根，若使

誤差小于10月至少要二分次。

5.用區(qū)間二分法求方程x3*l=0在［1,2］內(nèi)的近似根，若使誤差小于10”，

至少要二分次。

6.用區(qū)間二分法求方程2x3+x-l=0在［0,1］內(nèi)的近似根，若使誤差小于10",

至少要二分次。

7.用區(qū)間二分法求方程3x3+x-l=0在［0,1］內(nèi)的近似根，若使誤差小于ICT,

至少要二分次。

8.用區(qū)間二分法求方程4X3+2X-1-0在［0,1］內(nèi)的近似根，若使誤差小于10",

至少要二分次。

9.用區(qū)間二分法求方程2x3+x-l=0在［0,1］內(nèi)的近似根，若使誤差小于IO',

至少要二分次。

10.用區(qū)間二分法求方程3X3+X-1=0在［0,1］內(nèi)的近似根，若使誤差小于W5,

至少要二分次。

11.用區(qū)間二分法求方程4x3+2x-l=0在［0,1］內(nèi)的近似根，若使誤差小于10r

至少要二分次。

12.用二分法求方程f(x)=x3+x-l=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)的根，進(jìn)行?步后根的所在區(qū)

間為O

13.用二分法求方程f(x)=x3+x-l=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)的根，進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)

間為o

14.用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間［a,b］內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為

O

15.設(shè)方程f(x)=0的有根區(qū)間為［a,b］,使用二分法時(shí)，誤差限為|Xk+「x*|W_

=+

'其中Xk+i(3kb|()/2o

解答：

1.10

2.10

3.10

4.10

5.14

6.14

7.14

8.14

9.17

10.17

11.17

12.［0.5,1］

13.［0.5,0.75］

14.（b-a）/2n

15.（b-a）/2k+1

二.選擇題

1.對(duì)超越方程解的描述，以下正確的有（）

A.根的數(shù)目和方程次數(shù)相同B,根只有一個(gè)

C.根有兩個(gè)以上D.根的數(shù)目與方程次數(shù)不一定相同

2.一元非線性方程f（x）=0,以下不屬于求解步驟的是（）

A.判斷根的存在性B.確定根的初始近似值

C.根的精確化D.簡(jiǎn)化計(jì)算步驟

3.以下方法中，哪個(gè)不可以求解一元非線性方程？（）

A.逐步搜索法B.迭代法C.秦九韶法D.二分法

4.以下方法中，哪個(gè)方法不能求解一元非線性方程的根？（）

A.逐步搜索法B.迭代法C.歐拉法D.區(qū)間二分法

5.方程x3*l=0在區(qū)間［1,2］內(nèi)有根，利用區(qū)間二分法求解該方程的根，若使

誤差小于10\至少要二分（）次

A.6B.7C.8D.9

6.對(duì)于l-x-sinx=0在［0,1］內(nèi)有?個(gè)根，使用二分法求誤差不大于0.5X10"的

根，需要二分（）次

A.11B.12C.13D.14

e-sm(—)

在區(qū)間［0,I］上誤差不超過(guò)?的近似根，需要二

7.應(yīng)用二分法求方程

分（）次

A.4B.5C.6D.7

8.應(yīng)用二分法求方程“""9在區(qū)間［0,1］上誤差不超過(guò)

的近似根，需要二分（

）次

A.2B.3C.4D.5

9.應(yīng)用二分法求方程"吟）在

區(qū)間［0,1］上誤差不超過(guò)好的近似根，需要二分（）次

A.2B.3C.4D.5

10.應(yīng)用二分法求方程”x-Gnxo在

區(qū)間［0,1］上誤差不超過(guò)*b

的近似根，需要二分（）次

A.13B.14C.15D.16

11.應(yīng)用二分法求方程2fm學(xué)在

區(qū)間［0,1］上誤差不超過(guò)

的近似根，需要二分（）次

A.12B.15C.18D.20

12.用二分法求非線性方程f（x）=0在區(qū)間［a,b］內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為（）

b-ab-ab-ab-a

A.~B.~C~D.~

13.用二分法求非線性方程f（x）=0在區(qū)間［1,2］內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為（）

A.1/2B.V2n4C.l/2nD.l/2n+1

14.設(shè)方程f（x）=0的有根區(qū)間為［a,b］,使用二分法時(shí)，誤差限為|xk+i-x*|W

__4+以

（）,其中“L2

b-ab-ab-a1

A.~B~C.~D,2^

15.設(shè)方程f(x)=O的有根區(qū)間為[1,2],使用二分法時(shí)，誤差限為|xk+l-x*|<(),其中

A.1/2B.V2kc.l/2k+1D.1

解答：

1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.D

7.A

8.A

9.C

10.D

11.C

12.C

13.C

14.C

15.C

三.簡(jiǎn)答題

1.什么是方程f(x)=0的零點(diǎn)？

2.求一元非線性方程根的三個(gè)步驟是什么？

3.如何求一元非線性方程根的初始近似值？

4.求解一元非線性方程根的二分法的基本思想是什么？

5.用二分法求解一元非線性方程的根的近似值，如何確定二分的次數(shù)？

6.常用的方程初始近似根逐步精確化的方法有哪些？

7.用二分法求解一元非線性方程的根的近似值，如何確定有根區(qū)間？

8.二分法計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)，在區(qū)間(a,b)確定方程f(x)=O的有根區(qū)間時(shí)為什么不需要計(jì)算f(aK)

解答：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.計(jì)算題

1.方程f(x)=x3-x-l=0在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)有一個(gè)根，用二分法求誤差不大于0

.5X10々的近似根，需要迭代多少次？

2.試用區(qū)間二分法求方程X3+X2-1=O在區(qū)間(0,1)上的根，要求求

得的近似根誤差不大于103。

3.用適當(dāng)數(shù)值方法求方程x3+x；=0在區(qū)間。1)上的一個(gè)根，要求求得的近似

根誤差不大于10-3。

4.利用二分法求方程X3-2X-5=0在區(qū)間［2,3］內(nèi)根的近似值，并指出誤差。

5.用二分法求方程f(x)=x~x2-4x-7=0在［3,4］上根的近似值，

精確到小數(shù)點(diǎn)后三位。

6.求函數(shù)f=x3+2x2+x-5在卜2,2)根的近似值,10"為

精度。

7.用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10,10)之間的根，10$為

精度。

8.使用二分法求解f(x)=x3-x-l=0在區(qū)間(1,2)上的解，精確到小數(shù)點(diǎn)后第6位

解答：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

五,程序題

1.試用C語(yǔ)言編寫二分法程序求方程在區(qū)間［0,1］內(nèi)的根，要求求得的近似根誤

差不大于0.5X10”。

2.以下C程序是應(yīng)用二分法求方程f(x)=x3-x-l=0在區(qū)間(1,1.5)誤差不大于0.5X10.2的近

似根，請(qǐng)將答案寫在對(duì)應(yīng)橫線上。

#include"stdio.h"

#include"math.h"

#definef(x)((x*x-l)*x-l)#definee

main()

(

floatx,a=l,b=1.5/y=;

if(y*f(b)>=0){printf("\nTherangeiserror!");

return;

)

else

do

{x=;

if(f(x)==0)break;

if()

b=x;

else

a=x;

}while();

printf("\nx=%4.2f",x);

}

解答：

1.

2.

第四章求一元非線性方程迭代法

一.填空題

1.計(jì)算費(fèi)的牛頓迭代式為。

2.計(jì)算赤的牛頓迭代式為o

3.計(jì)算正的牛頓迭代式為o

4.計(jì)算6(b>0)的牛頓迭代式為o

5.計(jì)算石(a>0)的牛頓迭代式為?

6.計(jì)算/(c>0)的牛頓迭代式為o

7.牛頓迭代法的迭代公式為。

8.牛頓迭代法的迭代函數(shù)為@(x)=。

9.用牛頓法解方程x2-C=0的迭代公式為。

10.用牛頓法解方程x3-a=0的迭代公式為。

11.若非線性方程f(x)=0可以表成*=巾僅)，用簡(jiǎn)單迭代法求根，那么@(x)滿足

，近似根序列Xi,X2,…,Xk,-----定收斂

12.解方程f(x)=O的簡(jiǎn)單迭代法的迭代函數(shù)6(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi),則

在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂。

13.求方程x2*1.25=0的近似根，用迭代公式x=4+L25,取初始值X。

=1,那么Xi=______________

14.所謂迭代過(guò)程的收斂速度，是指在接近收斂時(shí)，的下降速度。

15.所謂迭代過(guò)程的收斂速度，是指在接近收斂時(shí)，迭代誤差的.

解答：

x*+i=^=0,L2,…

毛+i=1?(毛+?^)^=0,12,...

2c

Xt+i=§(/左=0,L2,…

xt+i=~^Xk）左=0,1,2,…

4.2天

看“=三（看+一）無(wú)=0,1,2,…

5.2天

xiA--（.xk+—）/r=0.1,2....

6.2天

無(wú)=0,1,2?…

7.

X-生1jt=o.ls2s...

8..一

2xk

玉+1=Xk

10.

11.WM\<1

12.I4?'(x)|<l

13.1.5

14.迭代誤差

15.下降速度

二.選擇題

1.方程*3*2；=0在區(qū)間［1.3,1.6］上有一根，以下四種迭代格式

,()和()

收斂。

A.B.

C.D.XP={X：-1

2.方程*3*2-1=0在區(qū)間口31.6］上有一根,以下四種迭代格式,()和O

不收斂。

,1

%=I+F

AA.

C,"'匚iD,毛.產(chǎn)

3.方程x3-x2-l=0在區(qū)間口.3,1.6］上有一根，利用迭代格式求解，求xO=1.5附近的根到4

位有效數(shù)字，如下結(jié)果哪個(gè)正確()

A.1.460B.1.462C.1.464D.1.466

4.用簡(jiǎn)單迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收斂的是()

(A)ex-X-l=O,[1,1.5],令x"i=e"T

(B)x3—X2—1=0,[1.4,1.5],令x"1

1

=1+<

(C)X3—X2—1=0,[1.4,1.5],令x<sup>k+l</su

/

P>=VTHC[

(D)4-2x=x,[1,2],令xF矚(4-K)

5.用簡(jiǎn)單迭代法求方程的近似根，下列迭代格式收斂的是()

(A)e*-x-l=0,[1,1.5],xk+1=ln(xk+

1)(B)X3-X2-1=0,[1.4,1.5],令智兀圖H

(C)x3-x2-l=0,[13,1.6],令X"/SUP

(D)4-2x=x,[1,2],令xFofed)

6.以下對(duì)牛頓迭代法描述不正確的是：()

A.將非線性方程f(x)=0逐步轉(zhuǎn)化為某種線性方程求解

B.通過(guò)非線性方程線性化得到迭代序列

C.有明顯的幾何意義

_f'(xj

D.非線性方程f(x)=O,相應(yīng)的牛頓迭代函數(shù)是""-標(biāo)

7.正確的牛頓迭代形式如下()

Xf'(X,)x--眸)…隊(duì))

A.1■,'B."x1fXx.)C.*”浦D.\"Hx.)

8.x=e*,取x0=0.5,用牛頓迭代法寫出迭代一次的基本形式(

)

A.0.5-c"'B.l+cC.05-eD.l+e

9.用牛頓迭代法計(jì)算相,

取=103,正確結(jié)果為()

A.5.55B.5.56C,5.57D.5.58

10.已知x=e"l,在區(qū)間［-1,1］中有根,初值Xo取（）時(shí)，可以

保證牛頓迭代法收斂，而且收斂速度較快。

A.1B.0.5C.0.3D.-1

11.已知x=e*-l,在區(qū)間卜1,1］中有根，初值X。取（）時(shí)，可以

保證牛頓迭代法收斂，而且收斂速度較快。

A.1B,0.5C.0.3D.-0.5

12.以下對(duì)牛頓迭代法描述正確的有（）、（）和（）。

A.將非線性方程f（x）=0逐步轉(zhuǎn)化為某種線性方程求解

B.通過(guò)非線性方程線性化得到迭代序列

C.有明顯的幾何意義

D.非線性方程f（x）=0,相應(yīng)的牛頓迭代函數(shù)是孤5

13.設(shè)函數(shù)f（x）=（x3-a）2,解的牛頓迭代格式應(yīng)該是以下（）項(xiàng)

14.對(duì)于方程x3-x2-l=0取x0=1.5附近的根，有如下四種迭代格式，其中收斂的是（）

A.B.

C.2后D.“怎

15.對(duì)于方程x5-2x：=0在口,2］附近的根，有如下四種迭代格式，其中（）可用

A.%為-1)B.%=啊D.X后

解答:

6.D

7.B

8.B

9.C

10.D

11.D

12.ABC

13.A

14.B

15.B

三.簡(jiǎn)答題

1.迭代法的基本思想及幾何意義是什么？

2.迭代法求解一元非線性方程的根的近似值的具體計(jì)算步驟是什么？

3.迭代法的收斂條件是什么？

4.已知方程xxu在區(qū)間［1.3,1.6］上有一?根，請(qǐng)寫出一種收斂的迭代公式，并說(shuō)

明該公式收斂的依據(jù)。

5.牛頓迭代法的基本思想是什么?它的迭代格式是什么？

6.牛頓迭代法的幾何意義是什么？

7.用牛頓迭代法如何確定一元非線性方程根的初始近似值？

8.假定XK=g(Xi)在(a,b)收斂淇初始近似根為x0,

x*為方程x=g(x)的根|x*.Xk|是多少？

解答：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.計(jì)算題

1.給出用牛頓法解方程x2-C=0的迭代公式，并計(jì)算V-的近似值（取Xo=u

）o要求迭代3次，保留3位小數(shù)。

2.用牛頓法導(dǎo)出計(jì)算的公式，并計(jì)算“，要求迭代誤差不超過(guò)IO，。

x

3.試用迭代法求x-e=O在x=0.5附近的近似根。要求|xn+1-x

nI<0.001,計(jì)算過(guò)程保留5位小數(shù)。

4.用牛頓迭代法求方程xen=0在x=0.5附近的根（取五位小數(shù)計(jì)算），精度要求

為e=103。

5.用牛頓迭代法求方程f（x）=x3-2x2-4x-7=0在⑶4］中的根的近似

值,精度要求為e=10-2。

6.用簡(jiǎn)單迭代法求方程Inx-x-2=0在3

附近的實(shí)根（結(jié)果精確到5位小數(shù)）。

53

7.試用迭代法求方程f（x）=3x-4x-5=0在x0=l附近的

實(shí)根，要求精確到四位小數(shù)）。

8.選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠓匠蘣x-3x2=0在x=0.5附近的一個(gè)，要求所求

根的誤差不超過(guò)e=10\

解答：

1.10.724

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

五.程序題

1.試用C語(yǔ)言編一牛頓迭代法程序，計(jì)算的近似值（精度要求eio、）。

2.試用C語(yǔ)言編寫--牛頓迭代法程序，求x-ex=O在x=0.5附近的近似根。要求

|xn+i-xn|<0.00001o

解答：

1.

2.

第五章解線性方程組的直接法

一.填空題

1.順序高斯消去法有兩個(gè)主要步驟，分別為和。

2.順序高斯消去法有兩個(gè)主要步驟，分別為消去和。

3.順序高斯消去法有兩個(gè)主要步驟，分別為和回代。

4.高斯消去法求解n階線性方程組（n較大時(shí)）共需乘除法次數(shù)近似為o

5.方程組系數(shù)矩陣的順序主子式,則高斯消去法能實(shí)現(xiàn)方程組的求解。

6.方程組系數(shù)矩陣的不為零，則高斯消去法能實(shí)現(xiàn)方程組的求解。

7.設(shè)方程組Ax=b，如果A為,則用高斯消去法求解時(shí)，智無(wú)圖片全

不

為零。

8.設(shè)方程組Ax=b,如果A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則用高斯消去法求解時(shí)，全不

為

零。

9.設(shè)方程組Ax=b,如果A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則用高斯消去法求解時(shí)，

O

10,只有消元過(guò)程而無(wú)回代過(guò)程的消去法稱為。

11.只有過(guò)程而無(wú)回代過(guò)程的消去法稱為高斯-約當(dāng)消去法。

12.只有消元過(guò)程而無(wú)過(guò)程的消去法稱為高斯-約當(dāng)消去法。

13.只有過(guò)程而無(wú)過(guò)程的消去法稱為高斯-約當(dāng)消去法。

14.用選主元的方法解線性方程組Ax=b,是為了。

15.解線性方程組的主元素消元法中，選擇主元的目的是為了

解答:

1.消去、回代

2.回代

3.消去

-n3

4.3

5.不為零

6.順序主子式

7.嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣

9.全不為零

10.高斯-約當(dāng)消去法

11.消元

12.回代

13.消元、回代

14.避免零主元或小主元

15.避免零主元或小主元

二.選擇題

1.順序高斯消去法的計(jì)算量近似為（）

?

A.TB.n3

暫無(wú)圖片D.暫無(wú)圖片

2.高斯-約當(dāng)消去法的計(jì)算工作量近似為（）

A/無(wú)圖片

Bn3

C./D.T

3.以下迭代方法中，哪個(gè)不可以用來(lái)求解線性方程組的解？（）

A.雅克比B.高斯-賽德?tīng)朇.牛頓迭代法D.松弛法

4.以下迭代方法中，哪個(gè)可以用來(lái)求解線性方程組的解？（）

A.雅克比B.高斯-亞當(dāng)法C.牛頓迭代法D.秦九韶算法

5.當(dāng)線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣人是（）時(shí)，用列主元消去法解AX=b,A的主對(duì)角線的

元

素一定是主元。

A.上三角形矩陣B.主對(duì)角線元素不為0的矩陣

C.對(duì)稱且嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣D.正定對(duì)稱矩陣

6.關(guān)于嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，以下說(shuō)法正確的是（）

A.有利于化簡(jiǎn)為上三角形矩陣B.適合采用列主元消去法

C.適合采用高斯-賽德?tīng)柕―.簡(jiǎn)稱正定對(duì)稱矩陣

7.關(guān)于嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.使用高斯消去法求解時(shí)噎全不為零B,適合采用列主元消去法

C.包含嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣D.簡(jiǎn)稱正定對(duì)稱矩陣

8.解線性方程組的主元素消元法中,選擇主元的目的是為了（）

A.便于求解行列式B.簡(jiǎn)化計(jì)算

C.判斷矩陣是否非奇異D.避免零主元或小主元

關(guān)于列主元高斯-約當(dāng)消去法，以下說(shuō)法正確的是（）

A.通常用來(lái)求解正定矩陣B.不能同時(shí)求解系數(shù)矩陣相同的多個(gè)方程組

C.能夠判斷矩陣是否非奇異D.能夠避免零主元或小主元

10.關(guān)于列主元高斯-約當(dāng)消去法，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

A.通常用來(lái)求解逆矩陣B,只有消元過(guò)程而無(wú)回帶過(guò)程

C.適用于對(duì)稱正定矩陣D.不能夠判斷矩陣是否非奇異

11.以下哪種方法在求解線性方程組中運(yùn)算量最大？（）

A.LU分解法B.高斯-約當(dāng)消去法

C.列主元素高斯消去法D.克萊姆法則

12.以下方法在求解線性方程組中運(yùn)算量最小的是（）

A.LU分解法B.全主元素高斯消去法

C.列主元素高斯消去法D.克萊姆法則

13.LU分解法的計(jì)算工作量近似為（）

?3

A.TB.n3

%￡

14.關(guān)于直接三角分解法，以下說(shuō)法正確的是（）

A.將矩陣A分解為一個(gè)下三角陣L和一個(gè)上三角陣U的乘積

B.不一定要求L和U是單位三角矩陣

C.分解唯一

D.與克洛特分解等價(jià)

15.關(guān)于直接三角分解法，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

A.將矩陣A分解為一個(gè)單位下三角陣L和一個(gè)上三角陣U的乘積

B.不一定要求L和U是單位三角矩陣

C.是高斯消去法解線性方程組的變形解法

D.適用于大型稀疏矩陣

解答:

1.A

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.D

10.C

11.D

12.A

13.D

14.B

15.D

三.簡(jiǎn)答題

1.線性方程組可用克萊姆(Gramer)法則求解，為什么還要討論線性方程組的直接法和迭代

法？

2.若n階線性方程組有唯一解，用克萊姆(Gramer)法則求解所需乘除次數(shù)分別是多少？

3.線性方程組直接解法適用什么情況？

4.假定一個(gè)n階線性方程組有唯一解，用順序高斯消去法求解，消元過(guò)程和回代過(guò)程所需

乘

除次數(shù)分別是多少？

5.用高斯消去法解線性方程組時(shí)，線性方程組需要滿足什么條件？為什么選主元？

6.高斯消去法中常采用列主元素作為預(yù)處理步驟，敘述其理由及具體過(guò)程。

7.用什么方法可求解m個(gè)系數(shù)矩陣相同的線性方程組?

8.直接三角分解法（矩陣三角分解法）解線性方程組的思想是什么？

解答:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.計(jì)算題

1.用順序消去法解線性方程組

,421

872

483

、12611

2.用列主元消去法解線性方程組

2々-+3x3=1

4勺+2X2+5均=4

Xi+2X=7

{2

3.用高斯列主元消去法求解線性方程組

61

43

01

42

4.用高斯列主元消去法求解線性方程組

1-1

5T

21

5.給定線性方程組

’421

872

483

J2611

試?yán)梅纸夥▽⑾禂?shù)矩陣A分解為A=LU（其中L為下三角矩陣，U為上三角矩陣）然后求

解。

6.用矩陣直接三角分解法（即杜里特爾分解法）解方程組

7.用矩陣直接三角分解法解方程組

216。

4311，

6113

8.用矩陣直接三角分解法解方程組

x?+2工、+3X3+4x^—14

<x?+4K+2x^—8(二-17

X|—與+4工§+工4二一2

、工:+

3X2+5xs+2X4=8

解答：

i.

2.

3.

4.

5.

6.

7.[1,2,1]T

8.

五.程序題

1.以下C程序是應(yīng)用列主消元法求方程組

的解，請(qǐng)將答案寫在對(duì)應(yīng)橫線上。

#include"stdio.h"

#include"math.h"

#definen3

main()

{inti,j,k;

intmi;

floatmvztmp;

floata[n][n]={{0.01,2,-0.5}/{-l/-0.5/2}/{5,-4,0.5}};

floatb[n]二{-5,5,9},x[n];

for(k=;k<n-l;k++)

{mi=k;mv=fabs(a[k][k]);

for(i=k+l;i<n;i++)

if(fabs(a[i][k])>mv)

{mi=;

mv=fabs(a[i][k]);

}

if(mi>k)

{tmp=b[k];b[k]=b[mi];b[mi]=tmp;

for(j=k;j<n;j++)

{tmp=a[k][j]；a[k][j]=a[mi][j]；a[mi][j]=tmp;}

)

for(i=k+l;i<n;i++)

{tmp=a[i][k]/a[k][k];

b[i]=b[i]-b[k]*tmp;

for(j=k+l;j<n;j++)

a[i][j]=；

)

)

x[n-l]=b[n-l]/a[n-l][n-l];

for(i=;i>=O;i-)

{x[i]=b[i];

for(j=；j<n;j++)

x[i]=x[i]-a[i]U]*xU];

x[i]=x[i]/a[i][i];

}

printf("\nTheresultis:");

for(i=0;i<n;i++)

printf("\nx%d=%4.2f",i,x[i]);

)

2.以下C程序是應(yīng)用矩陣直接三角分解法解方程組

J$+2工一%3二3

〈M-<+5工=0

4%+X、+2X3=2

的解，請(qǐng)將答案寫在對(duì)應(yīng)橫線上。

#include"stdio.h"

#include"math.h"

#definen3

main()

{inti,j,k,r;

floats;

staticfloata[n][n]={{l,2,-l},{l,-l,5},{4,l,2}};

staticfloatb[n]={3,0,2},x[n],y[n];

staticfloatl[n][n],u[n][n];

for(i=0;i<n;i++)

l[i][i]=l;for(k=0;k<;k++)

{for(j=k;j<n;j++)

{s=0;for(r=0;r<k;r++)

s=s+l[k][r]*u[r]U];

u[k][j]=；

)

for(i=k+l;i<n;i++)

{s=0;for(r=0;r<k;r++)

s=；

l[i][k]=(a[i][k]-s)/u[k][k];

)

)

for(i=0;i<n;i++)

{s=0;for(j=0;j<i;j++)

s=；

y[i]=b[i]-s;

)

for(i=n-l;i>=0;i-)

{s=0;for(j=n-l;j>=i+l;j—)

s=s+u[i][j]*x[j]；

x[i]=；

)

printf("Theresultis:");

for(i=0;i<n;i++)

printf("\nx[%d]=%5.3f",i,x[i]);

}

解答：

1.

2.

第六章解線性方程組的迭代法

一.填空題

1.高斯-賽德?tīng)柕ㄅc雅克比迭代法的計(jì)算差別在于

2.解線性方程組的直接法適合于求解方程組。

3.解線性方程組的迭代法適合于求解方程組。

4.解線性方程組的法適合于求解低階稠密矩陣方程組。

5.解線性方程組的法適合于求解大型稀疏系數(shù)矩陣方程組。

6.若線性代數(shù)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德?tīng)?/p>

迭

代都。

3xi+5馬=1

7.求解方程組|02再+4巧=0的高斯一賽德?tīng)柕綖椤?/p>

2X1+5w=1

<

8.求解方程組I"2再=°的高斯-賽德?tīng)柕綖閛

2X1+3/=1

<

9.求解方程組l0.lxi+巧=°的高斯-賽德?tīng)柕綖椤?/p>

'2X]+毛=1

<

10.求解方程組10」再+2毛=°的