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2020—2021高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修配套提升訓(xùn)練
5.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
主要命題方向
1.用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象;2.利用圖象變換作三角函數(shù)的圖象;3.利用正、余弦函數(shù)的圖象解
三角不等式:4.利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象判斷方程根的個(gè)數(shù);5.求三角函數(shù)的周期;6.三角函數(shù)奇
偶性的判斷;7.三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合運(yùn)用;8.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;9.三角函數(shù)對(duì)稱軸、對(duì)
稱中心;10.與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的求解問題;11.求定義域;12.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)
的綜合應(yīng)用.
配套提升訓(xùn)練
一、單選題
1.(浙北四校2019屆高三12月模擬)若函數(shù)/(X)=cos(:+2x),x€R,則f(x)是()
A.最小正周期為n為奇函數(shù)B.最小正周期為“為偶函數(shù)
C.最小正周期為《為奇函數(shù)D.最小正周期為1■為偶函數(shù)
【答案】A
【解析】
VcosG+2x)=-sin2x,
Af(x)=-sin2x,
可得f(x)是奇函數(shù),最小正周期T=g=貝
故選:A.
2.(2020?永州市第四中學(xué)高一月考)函數(shù)y=l—sinx,x?0,2句的大致圖像是()
【答案】B
【解析】
當(dāng)x=0時(shí),y=l;當(dāng)x=g時(shí),y=0;當(dāng)%=兀時(shí),y=l;當(dāng)》=千時(shí),y=2;當(dāng)彳=2%時(shí),y=l.
結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知B正確.
故選B.
3.(2020.全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)(理))已知函數(shù)了(力=(;]—cosx,則/(x)在[0,2句上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
由下圖可得/(X)在[0,2句上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.故選C.
4.(2020?河南濮陽。高一期末(文))下列函數(shù)中,為偶函數(shù)的是()
A.y=(x+l)2B.y=2'x
C.y-|sinx|D.y=lg(x+l)+lg(x-l)
【答案】C
【解析】
對(duì)于A,函數(shù)關(guān)于x=-1對(duì)稱,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,函數(shù)為減函數(shù),不具備對(duì)稱性,不是偶函數(shù),故B錯(cuò)誤;
對(duì)于Cj(—x)=kin(—x)|=|-sinX=kinx|=/(x),則函數(shù)/(x)是偶函數(shù),滿足條件,故C正確:
x+l〉0x>-1
對(duì)于口,由<得<得X>1,函數(shù)的定義為(l,+<?),定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,為非奇非偶函數(shù),
x-l>0尤>1
故D錯(cuò)誤.
故選:C.
5.(2020?河南信陽。高一期末)估計(jì)cos、2020°的大小屬于區(qū)間(
_V2C.4
A.4,。B.
7
【答案】B
【解析】
cos2020°=cos(5x360°+220°)=cos220°=cos(l80°+40°)=-cos40°,
因?yàn)閥=cosx在(0,90°)上遞減,且30°<40°<45°.
所以cos300>cos40°>cos450,
所以>cos40°>,
22
所以一^^<-cos40°<一立^
22
miU--<cos20200
22
故選:B
6.(2020?遼寧大連O高一期末)函數(shù)〃x)=cos[2x+?)的圖像的一條對(duì)稱軸方程為()
715冗2424
A.X--B.X-——C.x=—D.x=------
61233
【答案】B
【解
函數(shù)/(%)=COSI2%d—
I6
令2x+—=攵;r(Z£Z),
6
Ek7l兀1r
則X--------次£Z,
212
54
當(dāng)左=1時(shí),x=—,
12
故選B.
7.(2020?海南楓葉國(guó)際學(xué)校高一期中)函數(shù)〃x)=COS((yx+e)的部分圖像如圖所示,則/&)的單調(diào)遞減
13
B.(2人萬—a,2&乃+W),火£Z
13
D.(2k——,2k+—),keZ
44
【答案】D
【解析】
171
—co+(p=——
42TT1T
由五點(diǎn)作圖知,,解得刃=乃,(p=—,所以f(x)=COS(4X+—),令
53萬44
—co+(p=—
42
〃]3I3
2k兀<7TXH—v2k兀+7i,kGZ,解得2k—VxV2kH—,攵£Z,故單調(diào)減區(qū)間為(2k—,2kH—),
44444
kwZ,故選D.
8.(2020?河南林州一中高一月考)函數(shù)“司二0-白卜詁》的圖象的大致形狀是()
【答案】A
【解析】
,ZXf,2A.(ex-l].
()
八fx'=I\1---\--+--e--xs)inx=(--e--'-+---U-sinx
故/(—x)=/(x)則〃x)是偶函數(shù),排除C、D,又當(dāng)xf0,/(x)>0
故選:A.
9.(2020?山東聊城。高一期末)用五點(diǎn)法作函數(shù)了=4311(但+0)4>0,@>0,|同'的圖象時(shí),得到
如下表格:
7t2乃
X
6T
7134
CDX+(p0兀
~22
y040-40
則A,3,。的值分別為()
A.4,2,——B.4,—,—C.4,2,—D.4,—,——
323626
【答案】A
【解析】
由表中的最大值為4,最小值為一4,可得A=4,
由二一工=」T,則7=乃,0)=^-=2,
362兀
?.?y=4sin(2x+。),圖象過(£,0),
6
TTTTTT
.,.0=4sin(—x2+°),「.一x2+°=2Z乃,(2wZ),解得夕=---,
663
TTTT
.」例<5,?二當(dāng)A=0時(shí),9=一§.
故選:A-
10.(2020?鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末)若點(diǎn)P[一專,2)是函數(shù)/(#=5m(5+9)+團(tuán)卜〉0,囤<])的圖象的
7T
一個(gè)對(duì)稱中心,且點(diǎn)尸到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為不,則()
2
A./(x)的最小正周期是萬B.“X)的值域?yàn)椋?,4]
47r
C./(x)的初相夕=?D./(x)在—,271:上單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】
----C0-\-(p=k7l(keZy7V
山題意得《6"'乙且函數(shù)的最小正周期為T=4x—=2〃,
m=。22
247T7T
故69=-=1.代入-7口+0=Z%(ZGZ),得火=k%十%(k£Z),
又I時(shí)告,所以。吟
7T\.
所以/(x)=sinXH—+2.
6;
故函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,3],初相為‘故A,B,C不正確,
?Ajr
t,「44-?7t37r13"、「一.一3兀13〃
'IXG[—,2TT]時(shí),XH—G[r—,----],而y=sinX在1———]上單調(diào)遞增,所以/(x)在工-,2%[:
3626263
單調(diào)遞增,故。正確.
故選:D.
二、多選題
71
11.(2020?陜西渭濱。高一期末)函數(shù))=tan(2x—")的一個(gè)對(duì)稱中心是()
A.臉,0)B.(開,0)C.(y,0)D.(£,0)
12363
【答案】AD
【解析】
因?yàn)?[焉]=tan(£-£)=0:/f--1=tan(---)=tan—=—;
112;66H3J3663
乃、7CA/3兀2n7171
=tan—=—;\x=一時(shí),2x-------=一
6,633362
所以(£,0)、(工,0)是函數(shù)y=tan(2x--)的對(duì)稱中心.
1236
故選:AD
12.(2020?浙江高三專題練習(xí))下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的是().
A.y=x2sinxB.y=sinx,xi[0,2開]
C.y=sinx,x&[-7i,7r]D.y=xcosx
【答案】ACD
【解析】
對(duì)A,由>=/(x)=fsinx,定義域?yàn)镽,
且/(—x)=(-X)-sin(—x)=-x2sinx=—/(x),
故函數(shù)ynfsinx為奇函數(shù),故A正確
對(duì)B,由函數(shù)的定義域?yàn)榇ā?狗,故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故B錯(cuò)
對(duì)C,y=g(x)=sinx,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
且g(-X)=sin(-x)=-sinx=-g(x),故C正確
對(duì)D,y=/〃(%)=xcosx的定義域?yàn)镽,
且m(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx--m(x),
故該函數(shù)為奇函數(shù),故D正確
故選:ACD
13.(2020?湖南天心?長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考)下圖是函數(shù)/(x)=Asin(a>+0)(其中A>0,0>(),
0<1。1<》)的部分圖象,下列結(jié)論正確的是()
A.函數(shù)y=/x—g的圖象關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱
B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)[一強(qiáng),0)對(duì)稱
C.函數(shù)/(X)在區(qū)間一上單調(diào)遞增
D.方程/(x)=l在區(qū)間一臺(tái),笠上的所有實(shí)根之和為竽
【答案】ABD
【解析】
.一,.127r5TC兀...
由已知,A=2,——-------=一,因此丁=7,
43124
所以/(x)=2sin(2x+0),過點(diǎn)V-4
47r37r
因此《-+e=j-+2匕r,keZ,又0<|。|<乃,
所以9=:兀,;./(x)=2sin(2x+?J,
6
對(duì)A,y=/[x-點(diǎn))=2sin2x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故A正確;
對(duì)B,當(dāng)x=—1時(shí),/(一專)=°,故8正確;
冗冗冗兀兀
對(duì)C,由2&zr42xH—42左zrH—,有k兀---<xKkiH—,Z£Z故C不正確;
26236
對(duì)。,當(dāng)一包時(shí),2x+Je[0,4乃],所以y=l與函數(shù)y=/(x)有4個(gè)交點(diǎn)令橫坐標(biāo)為司,超,
12126
%3,14,X]+X,+工3+X=—x2H---x2=,故。止確.
663
故選:ABD.
14.(2020.江蘇海安高級(jí)中學(xué)高二期末)關(guān)于函數(shù)/(x)=binM+|cosR(xeR),如下結(jié)論中正確的是
().
A.函數(shù)“X)的周期是1
B.函數(shù)/(x)的值域是[0,啦]
C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線%對(duì)稱
兀3兀
D.上遞增
【答案】ACD
【解析】
A.V/(x)=|sinx|+|cosx),
n
.??小+方sinx+互+cosx+—二|cosx\+1-sinx|=|cosx\+|sinx|=/(x),
I2jI2
TT
.??/(x)是周期為二的周期函數(shù),A正確,
2
n717C34
B.當(dāng)XG[0,、]時(shí),f(x)=sinx+cosx=V2sinXH---,此時(shí)X+一£
2447'T
sin卜+?
G當(dāng)4A/(x)e[l,V2],又的周期是...xeR時(shí),/(x)值域是[1,0],B錯(cuò);
C./(2TT—x)=|sin(2^--x)|+|cos(2TT—x)|=|-sin+|cosx|=|sinx|+|cosx|=/(x),
???函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線工=〃對(duì)稱,c正確;
717171
D.由B知xe[0,工]時(shí),/(x)=V2sinx+fI,當(dāng)xe[0,芻時(shí),x+—e牛夕一⑺單調(diào)遞增,而
2I4;44
/(X)是周期為2的周期函數(shù),因此"X)在孚]上的圖象可以看作是在上的圖象向右平移工單
2<24J4J2
位得到的,因此仍然遞增.DiE確.
故選:ACD.
三、填空題
X
15.(2020.山東高一期末)函數(shù)y=tan務(wù)的定義域?yàn)?
【答案】{x|xw2%乃+%,左eZ}
【解析】
Yjr
解不等式]。左乃+萬(左eZ),可得x#2kr+%(左eZ),
因此,函數(shù)y=tan]的定義域?yàn)閧x|x#2k萬+萬,女eZ}.
故答案為:{x|xw2左〃+肛%eZ}.
16.(2020?河南林州一中高一月考)函數(shù)y=4sin2x+6cosx-61-■乃)的值域
【答案】-6,7
_4_
【解析】
y=4sin2x+6cosx-6=4(1-cos2x)+6cosx-6
=-4cos2x+6cosx-2=-4(cosx--)2+-,
44
兀,j2
,/----<X<—71,
33
1?
/.——<cosx<\,
2
3.11
故一6K-4(cosx——)2+—<—,
444
故答案為:一6,二
_4_
17.(2020?全國(guó)高考題)關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx+」一有如下四個(gè)命題:
sinx
①f(x)的圖像關(guān)于),軸對(duì)稱.
②r(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(sy(X)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
?(x)的最小值為2.
其中所有真命題的序號(hào)是.
【答案】②③
【解析】
」+
對(duì)于命題①,2=2
22
所以,函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,命題①錯(cuò)誤;
對(duì)于命題②,函數(shù)“X)的定義域?yàn)閧X|XH上乃次GZ},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
/(-x)=sin(-x)+^=-Sinx--i-=-[sinx+-l-j=-/(x),
所以,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,命題②正確;
所以,函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X對(duì)稱,命題③正確;
對(duì)于命題④,當(dāng)一萬<x<0時(shí),sinx<(),則/(x)=sinx+」一<0<2,
sinx
命題④錯(cuò)誤.
故答案為:②③.
(4x71、
18.(2020?上海高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)>+,當(dāng)》=時(shí)有最小值,最小值是
3JT
【答案】-k7T+-,keZ-3
22
【解析】
'」icos(5+/)=-l時(shí),即與+。=2左萬+7,
371
可得x=-z7+一,%wz,此時(shí)y取得最小值;
22
此時(shí),最小值為-3;
3JI
故答案為:-k1—,ksZ;-3.
22
31
19.(202。浙江高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/(*)=4+84!1》,當(dāng)3<0時(shí),/(X)的最大值是5,最小值是—5,
貝UA=,B=?
【答案】3-1
【解析】
3
A-B=-
21
根據(jù)題意,得《二,解得A=彳,3=-l.
2
A+B=-i
I2
故答案為:一,-1
2
cinr
20.(2020?上海高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)1=.「的最大值是,最小值是.
2+smx
【答案】1-1
3
【解析】
sinx?2
,/y=-----------=1-------------,
2+sinxsinx+2
22
—1<sinx<11<sinx+2<3-2W-------------K—,
sinx+23
-1<1------------<-,
sinx+23
sinxI
.?.函數(shù)y=':的最大值是7;最小值是一L
2+sinx3
故答案為:
3
21.(2020.上海高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)/(x)=cos2x-asinx+伙a>0)的最大值為0,最小值為-4,則
實(shí)數(shù)a=,b=.
【答案】2—2
【解析】
,/f(x)=-sin2x-?sinx+/?+l,
令£=sinx(-l1),則y=-/一加+8+1(一1<1),
函數(shù)的對(duì)稱軸為f=-0,
2
—l+〃+Z?+l=0,。=2,
當(dāng)一幺<一1,即Q22時(shí),
。+匕+[。二
2-1-1=—4,-2,
當(dāng)一1<—<0,用」0<〃<2時(shí),一(—)~一〃?(—)+b+1=0目.-1—〃+/?+1=—4,
222
此時(shí)方程組無解;
a—2,
[b=-2,
故答案為:2,-2.
五、解答題
22.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的定義域.
(1)y=Vsinx;
,、sinx+cosx
(2)y=----------.
tanx
【答案】(1){x\2k7t<x<2k7r+7L,kE:Z}x(2){x|xHg■萬,A:ez)
【解析】
(1)要使函數(shù)有意義,必須使sinxNO.
由正弦的定義知,sinx20就是角8的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是非負(fù)數(shù).
二角x的終邊應(yīng)在8軸或其上方區(qū)域,
/.2k兀<x<2ATT+7r,k&Z,
函數(shù)y=Jsin尤的定義域?yàn)閧x\2女萬<x<2hr+萬,左eZ}.
(2)要使函數(shù)有意義,必須使tanx有意義,且tanxkO.
X手kn■{——,
2/GZ)
X手Jut
k,r
x豐一兀、kGZ.
2
函數(shù)》=型上空I的定義域?yàn)楦兀z].
tanxI2J
23.(2020?渦陽縣第九中學(xué)高一月考)己知函數(shù),/■(x)=2sin(Q)x+0)(0>O,O<0(乃)最小正周期為1,
圖象過點(diǎn)但,、笈].
(1)求函數(shù)/(x)解析式
(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
jr§4jr
【答案】⑴/(x)=2sin(2x+—);(2)-z—+k7t,—+k7t(ZeZ).
488
【解析】
(1)由已知得兀=空,解得。=2.
3
將點(diǎn)(l,代入解析式,V2=2sin^2x—4-(p^,可知cos°=^^,
于是/(x)=2sin(2x+?
由Ov*v乃可知9
(2)令一■^■+2%乃<2工+5<]+2左乃(&EZ)
37r7T
解得-----\-k7i<x<--vk7i^kGZ),
88
3-jr-rr
于是函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一二-+后萬二+"(AeZ).
OO
IJI
24.(2020?全國(guó)高三(文))⑴利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)/。)=>=5足(一工+一)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)
26
間的簡(jiǎn)圖.
列表:
171
-x-\——
26
X
y
作圖:
*x
(2)并說明該函數(shù)圖象可由y=sinx(xeR)的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.
(3)求函數(shù)/(幻圖象的對(duì)稱軸方程.
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)x=2k7r+—,keZ.
【解析】
(1)先列表,后描點(diǎn)并畫圖
%3萬
71
~22兀
245兀8萬1U
.TT亍
0-10
''
2-
-2
(2)把),=5皿犬的圖象上所有的點(diǎn)向左平移自個(gè)單位,再把所得圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱
6
坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin(gx+*的圖象,即y=sin(gx+*的圖象;
.*.I1njnc,2n.r
(3)111―XH——KXH,X=z.K.71H---,ZWZ,
2623
2%
所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程是x=2攵乃+《-,ZeZ.
jr
25.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求函數(shù)y=tan(3x-學(xué)的定義域、值域,并判斷它的奇偶性和單調(diào)性.
1n口k)5n
【答案】定義域?yàn)閄XGR,目.X豐---1----,ZeZ上,值域?yàn)镽,非奇非偶函數(shù),遞增區(qū)間為
318
7ik7v5萬k元
----1---,---1---(ZrsZ)
183183
【解析】
y=tanf的定義域?yàn)楣ず竽?',ZeZ
f7t7t)
單調(diào)增區(qū)間為心萬一,,攵%+,卜攵€2.
又、=tan(3x-?J看成?=1211/1=3了一0的復(fù)合函數(shù),
由一〃+留心忙+青壯Z
,kn5兀1r
所以所求函數(shù)的定義域?yàn)閤\x-----1-----,4wZ值域?yàn)镽;
318
函數(shù)y=tanhx-yj的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此該函數(shù)是非奇非偶函數(shù);
.7C_兀,7C,_k/7Lkl5TC.?
令我f萬<3x---〈&乃+—,解得--------<x<——+——,kwZ,
232318318
(兀、(k兀JIk157r?
即函數(shù)y=tan3%一7的單調(diào)遞增區(qū)間為—,丘Z.
TT
26.(2020?陜西省漢中中學(xué)(理))已知函數(shù)/(x)=2sin(5--)一1(G>0)的周期是".
6
(1)求了。)的單調(diào)遞增區(qū)間;
71
(2)求在[0,—]上的最值及其對(duì)應(yīng)的工的值.
2
【答案】⑴一.+版■,(+版■(ZeZ);(2)當(dāng)x=0時(shí),"吐而=—2;當(dāng)x=(時(shí),/(02=1.
【解析】
T2411c
(i)解::7=同=》,;.|d=2,
又丁0>0,.:69=2,/(x)=2sin[2x--j-1,
TTTTJT
-----F2k/r<2x----<——卜2kjv、kwZ、
262
n27r
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