2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=(3?4i)i，則z的虛部為(

)A.3i B.3 C.4i D.42.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從乙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件數(shù)為(

)A.24 B.9 C.36 D.183.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是(

)A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.84.已知在平行四邊形ABCD中，E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，設(shè)BA=a,BC=A.23a?+13b? 5.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為(

)A.63π B.2636.已知向量m=(2,λ)，n=(2?λ,?4)，若m與n共線且反向，則實(shí)數(shù)λ的值為(

)A.4 B.2 C.?2 D.?2或47.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=2BC=2，AC=3，則此四面體的外接球表面積為(

)A.3π B.8π C.9π D.88.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與乙互斥 B.丙發(fā)生的概率為16 C.甲與丁相互獨(dú)立 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是(

)A.若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形

B.若B=30°,b=2,c=22，則C=45°

C.若a=2,b=4,cosC=14，則c=4

D.若△ABC10.某市2023年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖扇形圖，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A.招商引資后，工資凈收入較前一年減少

B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍

C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的13

D.11.如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面是AB=8，BC=4的矩形，直四棱柱的高為4，E，F(xiàn)A.直線A1B與CF相交B.異面直線DB1與CE所成角為90°

C.二面角D1?CE?D的平面角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z1=2+3i，z2=?4+i，則|13.已知互不相等的4個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)閍1，a2，a3，a4，若它們的和為12，且這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).若2a+b=2ccosB，且AC=1,CD=32，則AB=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23．

(1)求(16.(本小題15分)

某社區(qū)為了解志愿者每周志愿服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)，在全社區(qū)300名志愿者中隨機(jī)抽取20名志愿者在某個(gè)星期的志愿服務(wù)記錄，統(tǒng)計(jì)他們當(dāng)周在社區(qū)的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)，按時(shí)長(zhǎng)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求a的值；社區(qū)對(duì)志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)大于或等于11小時(shí)的志愿者認(rèn)定為優(yōu)秀志愿者，如果以當(dāng)周志愿服務(wù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為依據(jù)，請(qǐng)估計(jì)該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)；

(2)求出這20名志愿者當(dāng)周志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù))．17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，AC⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且PA=AC=2,AB=1,EF=52．

(1)證明：AB⊥PC；

(2)求二面角F?AE?C18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=3，CD=1，∠ACD=60°，∠ABC=30°．

(1)證明：AD⊥CD；

(2)求△ABC面積的最大值；

(3)設(shè)E為線段AB的中點(diǎn)，求DE的最大值．19.(本小題17分)

在某抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，初始時(shí)的袋子中有3個(gè)除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅.每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球后放回.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：設(shè)定抽中紅球?yàn)橹歇?jiǎng)，抽中白球?yàn)槲粗歇?jiǎng)；若抽到白球，放回后把袋中的一個(gè)白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個(gè)球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài).記第n次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為Pn．

(1)求P2，P3；

(2)若存在實(shí)數(shù)a，b，c，對(duì)任意的不小于4的正整數(shù)n，都有Pn=aPn?1+bPn?2+cPn?3，試確定a，答案解析1.B

【解析】解：z=(3?4i)i=4+3i，

故其虛部為3，

故選：B．

2.A

【解析】解：用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，

則應(yīng)從乙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件數(shù)為：60×400200+400+300+100=24．

故選：3.C

【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差S2>15(6?2)2=3.2>2.4，

∴平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C正確；

對(duì)于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，

平均數(shù)為：x?=15(1+2+3+3+6)=34.A

【解析】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，

所以AE=13AC，

所以BE=AE5.B

【解析】解：設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，高為?，底面半徑為r=2，

則由2π×2=πl(wèi)，得l=22，

所以?=l26.A

【解析】解：由向量m=(2,λ)，n=(2?λ,?4)共線，得λ(2?λ)=?8，解得λ=?2或λ=4，

當(dāng)λ=?2時(shí)，m=(2,?2)，n=(4,?4)，m與n同向，不符合題意，

當(dāng)λ=4時(shí)，m=(2,4)，n=(?2,?4)，m與n反向，符合題意，

所以實(shí)數(shù)λ的值為47.B

【解析】解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又AC⊥CB，

∴可得BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，

∴此四面體的外接球的球心即為PB的中點(diǎn)，直徑即為PB，

設(shè)球的半徑為R，

∵PA=2BC=2，AC=3，∴AB=2，

∴2R=PB=PA2+AB2=228.C

【解析】解：由題意可知，有放回地隨機(jī)取兩次，共有36種情況，

兩點(diǎn)數(shù)和為6的所有可能為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5種情況，

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6種情況，

所以P(丙)=536，P(丁)=636=16，

P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=56×6=536，P(丁)=66×6=16，

對(duì)于A選項(xiàng)，甲與乙可以同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，P(丙)=536，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，P(甲丁)=136，P(甲)=16，P(丁)=16，

所以P(甲丁)=P(甲)P(丁)，即甲與丁相互獨(dú)立，故選項(xiàng)9.ACD

【解析】解：選項(xiàng)A，由正弦定理及bcosC+ccosB=b，得sinBcosC+sinCcosB=sinB，

所以sin(B+C)=sinA=sinB，

因?yàn)锳，B∈(0,π)，所以A=B，

所以△ABC是等腰三角形，即選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，由正弦定理知，bsinB=csinC，

所以sinC=csinBb=22×122=22，

因?yàn)閎<c，所以B<C，所以C=45°或135°，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，由余弦定理知，c2=a2+b2?2abcosC=4+16?2×2×4×14=16，

所以c=4，即選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D10.BD

【解析】解：設(shè)招商引資前經(jīng)濟(jì)收入為M，而招商引資后經(jīng)濟(jì)收入為2M，

對(duì)于A，招商引資前工資性收入為M×60%=0.6M，而招商引資后的工資性收入為2M×37%=0.74M，

所以工資凈收入增加了，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為M×4%=0.04M，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2M×5%=0.1M，

所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B正確；

對(duì)于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和為0.1M+0.56M=0.66M<13×2M，

所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟(jì)收入的13，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，招商引資前經(jīng)營(yíng)凈收入為M×30%=0.3M，招商引資后經(jīng)營(yíng)凈收入為2M×30%=0.6M，

所以招商引資后，經(jīng)營(yíng)凈收入較前一年增加了一倍，故D正確．

11.AD

【解析】解：因?yàn)锳1F//BC且AF≠BC，可得四邊形CFA1B為梯形，

所以CF與BA1必相交，所以A正確；

由題意，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，

CE?平面ABCD，所以BB1⊥CE，

假設(shè)異面直線DB1與CE所成角是90°，即DB1⊥CE．

DB1BB1?平面BB1D，DB1∩BB1=B1．

可得CE⊥平面BB1D，而DB?平面BB1D，

則CE⊥DB，

在長(zhǎng)方形ABCD中，因?yàn)锳B=8，BC=4，

取CD中點(diǎn)F，可知正方形BCFE中CE⊥BF，

可得DB與CE不垂直，矛盾，

所以異面直線DB1與CE所成角不是90°，所以B錯(cuò)誤；

由上圖可知DE=CE=42，又CD=8，即CD2=CE2+DE2，則CE⊥DE，

又DD1⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以CE⊥DD1，

DD1∩DE=D，DD1，DE?平面DD1E所以CE⊥平面DD1E，

D1E?平面DD1E，則CE⊥D1E12.2【解析】解：z1=2+3i，z2=?4+i，則|z113.92【解析】解：互不相等的4個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)閍1，a2，a3，a4，

則這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差為：a4?a1，中位數(shù)為a2+a32，

這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，

則a4?a1=2×a2+a32=a2+a3，即a4=a1+a2+a3，

a1，a2，a3，14.7【解析】解：因?yàn)?a+b=2ccosB，由正弦定理得2sinA+sinB=2sinCcosB，

又因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBcosC+sinB=0，

因?yàn)锽∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosC=?12，

又因?yàn)镃D為△ABC的一條中線，CD=32，

可得CD=12(CA+CB)，

所以CD2=14(15.解：因?yàn)閍與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23，

所以a?【解析】(1)由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得；

(2)由求模公式計(jì)算即可求得．

16.解：(1)根據(jù)題意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1，

∴a=0.05；

∵服務(wù)時(shí)長(zhǎng)大于或等于11小時(shí)的頻率為0.05×2=0.1，

∴估計(jì)該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)為300×0.1=30；

(2)這20名志愿者當(dāng)周志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本眾數(shù)為8小時(shí)；

中位數(shù)為7+0.5?0.1?0.150.175=8.428≈8.4小時(shí)；

平均數(shù)為【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)眾數(shù)的概念，中位數(shù)的概念，平均數(shù)的概念，即可求解．

17.解：(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，

∴PB=2EF=5，

∵AB2+PA2=PB2，∴AB⊥PA，∵AC⊥平面PAB，

∴AB⊥AC，

∵AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，

∴AB⊥PC；

(2)根據(jù)題意，取AC的中點(diǎn)M，過M作MN⊥AE交AE于N，

連接FM，F(xiàn)N，ME，

因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，

則FM////PA，且FM=12PA=1，

又PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∴FM⊥平面ABC，而AE?平面ABC，

∴AE⊥FM，又MN⊥AE，F(xiàn)M∩MN=M，F(xiàn)M，MN?平面FMN，

∴AE⊥平面FMN，

∵FN?平面FMN，∴AE⊥FN，

即∠FNM為二面角F?AE?C的平面角，

在Rt△AME中，AM=1，ME=12，則AE=1+1【解析】(1)先根據(jù)勾股定理逆定理證得AB⊥PA，再根據(jù)AB⊥AC，即可證出；

(2)取AC的中點(diǎn)M，過M作MN⊥AE交AE于N，連接FM、FN，ME，由幾何關(guān)系證明∠FNM為二面角F?AE?C的平面角，再由勾股定理和等面積求出MN即可求出結(jié)果．

18.解：(1)由題知，在△ACD中，

由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD，∴sin∠ACD=12，

∵AD>CD，∴∠ACD>∠CAD，∴∠CAD=π6，

∴∠D=π?∠ACD?∠CAD=π2，∴AD⊥CD；

(2)在△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC=2，

由余弦定理知：cos∠ABC=AB2+BC2?AC22AB?BC=32

∴A