2023-2024學(xué)年重慶八中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶八中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)A(?2,?3)，B(2,2)，C(1,3)，若四邊形ABCD為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A.(?1,?4) B.(?3,?2) C.(5,8) D.(?1,0)2.若(1+i)z?=1?i，則復(fù)數(shù)z的虛部為A.?1 B.0 C.1 D.23.在△ABC中，a=3,A=60°,B=75°，則△ABC中最小的邊長為A.22 B.62 C.4.已知向量a與b的夾角為π4，若|a|=1，b=(1,1)，則A.1 B.2?1 C.25.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(

)A.若m//n，n?α，則m//α

B.若m//α，n//β，α//β，則m//n

C.若m?α，n?β，m//n，則α//β

D.若α∩β=m，n//β，n//α，則m//n6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ba+c=1?sinCsinA+sinB，a=3，b=22A.33 B.63 C.7.若函數(shù)y=3cos(ωx+φ)(ω>0,?π<φ<π)的部分圖象如圖所示，M(?3,3)，N(1,?3)為圖象上的兩個頂點(diǎn).設(shè)∠MON=θA.?6+24 B.8.在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，沿對角線AC將矩形折成一個大小為θ的二面角B?AC?D，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為3時，cosθ=(

)A.13 B.16 C.?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是(

)A.|z1|2=z12 B.|z1z2|=|10.已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R.若a=1，且sinA?bsinB=(c+b)sinC，則(

)A.△ABC面積的最大值為34 B.sinA=32

C.BC11.在正四棱臺ABCD?A1B1C1A.若側(cè)棱長為3，則該棱臺的體積為283

B.若正四棱臺的各頂點(diǎn)均在一個半徑為10的球面上，則該棱臺的體積為282

C.若正四棱臺內(nèi)部存在一個與棱臺各面均相切的球，則該棱臺的側(cè)棱長為10

D.若側(cè)棱長為3，Q為棱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π6后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(π6)=13.一個圓錐的母線長為2，當(dāng)它的軸截面面積最大時，該圓錐的表面積為______．14.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，如圖①)，類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，其中2DF=3FA，則S△DEFS△ABC的值為______；設(shè)AD四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，BC的中點(diǎn)．

(1)證明：DF//面16.(本小題15分)

已知a=(m?1,2)，b=(1,m)．

(1)若|a+b|=2且m<0，求a在b方向上的投影向量；

(2)若a17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sinx?cosx+23cos2x?3．

(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若18.(本小題17分)

如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=90°，CD=5，cos∠BDC=15，將△BCD沿BD折起，形成如圖2所示的三棱錐C?DAB，且AC=2．

(1)證明：AC⊥面ABD；

(2)在三棱錐C?DAB中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線段AB，BD，AD的中點(diǎn)，設(shè)平面CEF與平面ADC的交線為l．

①證明：l//AD；

②若Q為l上的動點(diǎn)，求直線19.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c.若a=3，(2b?c)cosA=acosC，P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)．

(1)求A；

(2)若P為△ABC的內(nèi)心且bc=73，求線段PD的長度；

(3)法國著名數(shù)學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.借助三維分式型柯西不等式：若y1，y2，y3∈R+，則x12答案解析1..B

【解析】解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)，

則AD=(x+2,y+3)，BC=(?1,1)，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，

∴x+2=?1y+3=1，解得x=?3y=?2，

∴點(diǎn)D2..C

【解析】解：∵(1+i)z?=1?i，

∴z?=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=1?2i+i3..C

【解析】解：因?yàn)閍=3,A=60°,B=75°，所以C=45°是最小的角，

所以△ABC中最小的邊長為c，

由正弦定理有csinC=asinA，即c224..A

【解析】解：由a與b的夾角為π4，|a|=1，b=(1,1)，

可得|b|=2，a?b5..D

【解析】解：對于A，若m//n，n?α，則m//α或m?α，故A錯誤；

對于B，若m//α，n//β，α//β，則m//n或m與n相交或m與n異面，故B錯誤；

對于C，若m?α，n?β，m//n，則α//β或α與β相交，故C錯誤；

對于D，若n//α，則存在直線a?α(a不與m重合)，使得n//a，又α∩β=m，則a//m或a與m相交，

若a//m，則m//n，此時可以滿足n//β，只需n?β即可，所以m//n，

若a與m相交，則a與β也相交，又n//a，所以n與β也相交，與n//β相矛盾，

所以a//m，則m//n，故D正確；

故選：D．

6..A

【解析】解：因?yàn)閎a+c=1?sinCsinA+sinB，

由正弦定理得ba+c=1?ca+b，整理得a2=b2+c2?bc，

又由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，

所以2bccosA=bc，解得cosA=12，又A∈(0,π)，

所以A=π3，因?yàn)閍=3，b=27..A

【解析】解：由圖可知，12T=3?(?1)=4，即T=8，

所以ω=π4，

由題意知3cos(?3ω+φ)=33cos(ω+φ)=?3，解得ω=π4φ=3π4．

又因?yàn)镺M=(?3,3)8..B

【解析】解：分別作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，則θ<EB,FD>，

由AB=2，AD=23，

可得AC=4，所以EB=FD=AD?DCAC=3，

AE=CF=1，EF=2，

因?yàn)锽D=BE+EF+FD．

則9..BC

【解析】解：對于A：設(shè)z1=a+bi(a、b∈R)，故|z1|2=a2+b2，z12=a2+2abi?b2，故|z1|2≠z12，故A錯誤；

對于B：設(shè)z1=a+bi(a、b∈R)，z2=c+di(c、d∈R)，所以|z1z2|=|(a+bi)(c+di)|=|ac?bd+(ad+bc)i|=(ac?bd)2+(ad+bc)2=a2+b2?c10..BC

【解析】解：由a=1，得sinA?bsinB=(c+b)sinC就是asinA?bsinB=(c+b)sinC，

根據(jù)正弦定理，得a2?b2=(c+b)?c，整理得b2+c2?a2=?bc，

所以cosC=a2+b2?c22ab=?12，結(jié)合C∈(0,π)，可得C=2π3．

對于A，因?yàn)閎2+c2?a2=?bc，即b2+c2?1=?bc≥2bc?1，解得bc≤13，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=33時，取等號．

因此△ABC的面積S=12bcsin2π3=34bc≤312，當(dāng)b=c=33時，S有最大值311..ACD

【解析】解：由題干分析：

對于A選項(xiàng)，如圖(1)，

設(shè)H，G，I，K四個點(diǎn)分別為棱B1C1，A1D1，AD，BC的中點(diǎn)，

則A1B1=GH=2，AB=IK=4，

當(dāng)正四棱臺存在內(nèi)切球時，球的大圓O即為等腰梯形HGIK的內(nèi)切圓，

根據(jù)切線長定理，可得GI=GH2+IK2=3，

此時，正四棱臺側(cè)面的高為HK=GI=3，則側(cè)棱長為HK2?(IK2?GH2)2=10，所以A選項(xiàng)正確；

對于B，當(dāng)正四棱臺的外接球半徑為10時，其上、下底面均為球的截面圓對應(yīng)的內(nèi)接正方形，則截面圓的半徑分別為2,22，

又因?yàn)?<10，22<10，

所以截面圓均為外接球的小圓，

設(shè)O為外接球球心，O1，O2為截面圓的圓心，則O1O2即為正四棱臺的高，

如圖(2)，此時截面圓O1，O2在球心的同一側(cè)，

如圖(3)，此時截面圓O1，O2在球心的異側(cè)，

所以符合要求的棱臺一共有2個，所以B選項(xiàng)錯誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)側(cè)棱長為3，正四棱臺的高為1，取棱C1D1的中點(diǎn)N，接MN，DN，

設(shè)MN與A1C1交于點(diǎn)O1，

則P為線段BM上的動點(diǎn)時，直線DP在平面BDNM內(nèi)，

由正四棱臺的性質(zhì)，易知A1C⊥BD，

設(shè)DP⊥A1C(P與B不重合)，則有A1C⊥平面BDNM，

以O(shè)2A所在直線為x軸，O2B所在直線為y軸，過O2且垂直于四棱臺底面的直線為z軸，

建立如圖(4)所示的空間直角坐標(biāo)系，

則O2(0,0,0)．O1(?22,0,1)，A1(2,0,1)，C(?22,0,0)，A1C=(?3212..3【解析】解：將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π6后得到函數(shù)y=g(x)=2sin(2x+π3)的圖象，

則g(π613..2(【解析】解：對于圓錐的軸截面ABC(A為圓錐的頂點(diǎn)，O為底面圓的圓心)，

設(shè)∠CAO=θ∈(0,π2)，則AO=2cosθ，OC=2sinθ，

可得S△ABC=2×12AO?OC=4sinθcosθ=2sin2θ，

可知：當(dāng)2θ=π2，即θ=π4時，軸截面面積取到最大值2，14..313

35【解析】解：由2DF=3FA，設(shè)FA=2，則DF=3，AD=5，BD=AF=2，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

由題可知：∠ADB=120°，

在△ADB中，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cos∠ADB=39，

所以AB=39，則AC=AB=39，

可得小三角形面積S△DEF=12×DF2sin60°=934，

大三角形面積S△ABC=12AB2sin60°=3934，

所以S△DEFS△ABC=9343915..解：(1)證明：設(shè)AD1∩A1D=O，連接B1C，EF，OE，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BB1，BC的中點(diǎn)，則EF//B1C，且EF=12B1C，

又因?yàn)锳1B1//CD，且A1B1=CD，則A1B1CD為平行四邊形，

可得A1D//B1C，且A1D=B1C，

因?yàn)镺為A1D的中點(diǎn)，則OD//B1C，且OD=12B1C，

可得EF//OD，且EF=OD，

可知DFEO為平行四邊形，則DF//OE，且DF?平面D1AE，OE?平面D1AE，

所以DF//平面D1AE；

(2)取CC1的中點(diǎn)G，連接GE，DG，

因?yàn)镚，E分別為CC1，BB1的中點(diǎn)，

則GE//BC，且GE=BC，

又因?yàn)锳D//BC，且AD=BC，則GE//AD，且GE=AD，

可得ADGE為平行四邊形，可知平面ADE即為平面ADGE，

過D1作D1M⊥DG，垂足為M，過M作MN//AD，交AE于點(diǎn)N，連接D1N，

因?yàn)锳D⊥平面DCC1D1，D1M?平面DCC1D1，

則D1M⊥AD，且AD∩DG=D，AD，DG?平面ADGE，則D1M⊥平面ADGE，

由AE?平面ADGE可得DM⊥AE，

又因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1，AE?平面ABB1A1，

則【解析】(1)作輔助線，可證DF//OE，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；

(2)作輔助線，根據(jù)三垂線法分析可知二面角D?AE?D1的平面角為∠16..解：(1)因?yàn)閍=(m?1,2)，b=(1,m)，所以a+b=(m,2+m)，

所以|a+b|=m2+(2+m)2=2，解得m=?2或0，又m<0，

所以m=?2，所以a=(?3,2),b=(1,?2)，

設(shè)向量a與b的夾角為θ，與b同向的單位向量為e，

則e=b|b|=15(1,?2)=(55,?255)，

因?yàn)閍?b=|a||b|cosθ，所以|a|cosθ=a?b|b|=?3×1+2×(?2)5=?755，

所以a在b方向上的投影向量為【解析】(1)直接由投影向量的計(jì)算方法計(jì)算即可；

(2)a與b的夾角為鈍角轉(zhuǎn)化為a?b<0，且a17..解：(1)f(x)=2sinx?cosx+23cos2x?3

=sin2x+3(1+cos2x)?3

=sin2x+3cos2x

=2sin(2x+π3)，

函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2π2=π，

令2x+π3∈[2kπ?π2,2kπ+π2](k∈Z)，

解得x∈[kπ?5π12,kπ+π12](k∈Z)，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ?5π12,kπ+π12](k∈Z)，

令2x+π3∈[2kπ+π【解析】(1)根據(jù)三角恒等變換化簡f(x)為一般式，結(jié)合正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及正弦型函數(shù)的最小正周期的公式，即可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)及題意得sin(2α+π3)=513，結(jié)合2α+18..證明：(1)在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=22+12=5，

在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2?2BD?CD?cos∠BDC=8，即BC=22，

因?yàn)锳C=2，則CD2=AD2+AC2，BC2=AC2+AB2，

可得AD⊥AC，AB⊥AC，

因?yàn)锳D∩AB=A，AD，AB?平面ABD，

所以AC⊥平面ABD．

(2)①因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，BD的中點(diǎn)，

則EF//AD，且EF=12AD=12，

由EF?平面CEF，AD?平面CEF，

得AD//平面CEF，

又因?yàn)锳D?平面ADC，

且平面CEF∩平面ADC=l，

所以l//AD．

②解：因?yàn)閘//AD，且C∈平面CEF，C∈平面ADC，

可知C∈l，則l?平面ADC，

規(guī)定點(diǎn)C為起點(diǎn)，CQ方向?yàn)檎较?，設(shè)CQ=m∈R，

過點(diǎn)C作平面CMN//平面QGE，如圖所示：

可知：直線CF與平面QGE所成角即為直線CF與平面CMN所成角，設(shè)為θ，

則AM=|m?12|，EN=|m|，F(xiàn)N=|m+12|，

可得CM=4+(m?12)2，MN=52CN=m2+5，CF=2