高考數(shù)學一輪復(fù)習第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第2節(jié)古典概型練習文新人教A版

第十章第2節(jié)古典概型[基礎(chǔ)訓練組]1．(導(dǎo)學號14577950)一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：C[基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(紅1，紅2)，(黑1，紅1)，(黑1，紅2)，(黑2，紅1)，(黑2，紅2)，(黑3，紅1)，(黑3，紅2)，共10個，其中為同色球的有4個，故所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]2．(導(dǎo)學號14577951)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)之差的絕對值為3的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)解析：A[拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的基本事件共36個：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)，(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)，(6,6)；而向上的點數(shù)之差的絕對值為3的基本事件有6個：(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)，所以向上的點數(shù)之差的絕對值為3的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).]3．(導(dǎo)學號14577952)已知直線l1：x－2y－1＝0，直線l2：ax－by＋1＝0，a，b∈{1,2,3,4}，則直線l1與直線l2沒有公共點的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8) D.eq\f(3,16)解析：C[(1)直線l1的斜率k1＝eq\f(1,2)，直線l2的斜率k2＝eq\f(a,b)，設(shè)事件A為“直線l1與直線l2沒有公共點”．a(chǎn)，b∈{1,2,3,4}的總事件數(shù)為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16種．若直線l1與直線l2沒有公共點，則l1∥l2，即k1＝k2，即b＝2a滿足條件的實數(shù)對(a，b)有(1,2)，(2,4)共2種情形．所以P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).即直線l1與直線l2沒有公共點的概率為eq\f(1,8).]4．(導(dǎo)學號14577953)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：A[設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24種情況，則發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故選A.]5．(導(dǎo)學號14577954)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：B[用列舉法求出事件的個數(shù)，再利用古典概型求概率．從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12種情形，而滿足條件“2個數(shù)之差的絕對值為2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4種情形，所以取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).]6．(導(dǎo)學號14577955)曲線C的方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù)，事件A＝“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝________.解析：試驗中所含基本事件個數(shù)為36；若想表示橢圓，則m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)7．(導(dǎo)學號14577956)連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m＝________.解析：m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，對應(yīng)的基本事件個數(shù)依次為1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴兩次向上的數(shù)字之和等于7對應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大．答案：78．(導(dǎo)學號14577957)設(shè)集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))，x∈P且y∈P，則點(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部的概率為________.解析：以(x，y)為基本事件，可知滿足x∈P且y∈P的基本事件有25個．若點(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部，則x，y∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))，用列表法或坐標法可知滿足x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))且y∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))的基本事件有9個．所以點(x，y)在圓x2＋y2＝4內(nèi)部的概率為eq\f(9,25).答案：eq\f(9,25)9．(導(dǎo)學號14577958)一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率．解：(1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個．當z＝4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).(2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2.))③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3.))④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝4.))由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝eq\f(3,16).10．(導(dǎo)學號14577959)(2018·廣西桂林市、北海市、崇左市聯(lián)合調(diào)研)2018年3月，主管部分規(guī)定，高中學生三年在校期間必須參加不少于80小時的社區(qū)服務(wù)．某校隨機抽取20位學生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](單位：小時)進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求抽取的20位學生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學生人數(shù)；(2)從參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學生中任意選取2人，求所選學生參加社區(qū)服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率．解：(1)由題意可知，參加社區(qū)服務(wù)在時間段[90,95)的學生人數(shù)為20×0.06×5＝6(人)；參加社區(qū)服務(wù)在時間段[95,100)的學生人數(shù)為20×0.02×5＝2(人)；所以參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學生人數(shù)為6＋2＝8人．(2)設(shè)所選學生的服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)為事件A，由(1)可知，參加社區(qū)服務(wù)在時間段[90,95)的學生有6人，記為a，b，c，d，e，f；參加社區(qū)服務(wù)在時間段[95,100]的學生有2人，記為m，n，從這8人中任意選取2人有ab，ac，ad，ae，af，am，an，bc，bd，be，bf，bm，bn，cd，ce，cf，cm，cn，de，df，dm，dn，ef，em，en，fm，fn，mn共28種情況．其中事件A包括ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，mn共16種情況．所以所選學生的服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率P(A)＝eq\f(16,28)＝eq\f(4,7).[能力提升組]11．(導(dǎo)學號14577960)從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4，5))中隨機抽取一個數(shù)a，從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：A[由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因為m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)共2個，故所求的概率為eq\f(1,6).]12．(導(dǎo)學號14577961)某中學有3個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，甲、乙兩位同學均參加其中一個社團，則這兩位同學參加不同社團的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：C[記3個社團分別為A，B，C，依題意得，甲、乙兩位同學參加社團的所有可能的情況有9種，分別為(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，而兩位同學參加同一個社團的種數(shù)為3，其概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，根據(jù)對立事件的概率可知兩位同學參加不同社團的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，選C.]13．(導(dǎo)學號14577962)(2018·海淀區(qū)模擬)現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________.解析：從這7人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結(jié)果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2),(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件eq\o(N,\s\up6(－))表示“A1和B1全被選中”，由于eq\o(N,\s\up6(－))＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率計算公式，得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)14．(導(dǎo)學號14577963)(2018·貴陽市二模)某校高三(1)班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：(1)求全班人數(shù)；(2)求分數(shù)在[80,90)之間的人數(shù)；并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高；(3)若要從分數(shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份，分析學生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在[90,100]之間的概率．解：(1)由莖葉圖知：分數(shù)在[50,60)之間的頻數(shù)為2.由頻率分布直方圖知：分數(shù)在[50,60)之間的頻率為0.008×10＝0.08.∴全班人數(shù)為eq\f(2,0.08)＝25人．(2)∵分數(shù)在[80,90)之間的人數(shù)為25－2－7－10－2＝4人，∴分數(shù)在[80,90)