淺析Vandermonde行列式的相關性質及其應用

淺析Vandermonde行列式的相關性質及其應用摘要：在高等數(shù)學的學習中，行列式無疑是一個重點和難點，它是后續(xù)課程線性方程組、矩陣、向量空間和線性變換的根底。而行列式的計算具有一定的規(guī)律性和技巧性。Vandermonde行列式是一類很重要的行列式。本文系統(tǒng)的闡述了Vandermonde行列式的相關性質及其應用,通過各種方法說明了行列式中的一些計算問題以及如何利用Vandermonde行列式計算一般的行列式，用多個例子論述并總結了Vandermonde行列式在科研和實踐生活中如何更好的應用。關鍵字:行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde目錄第一章引言………………1預備知識……………22.1定義………………22.2行列式的性質……22.3行列式計算中的幾種根本方法……3三角形法……………3加邊法或升級法……4遞推法或數(shù)學歸納法………………5第三章行列式的一種特殊類型Vandermonde行列式……63.1Vandermonde行列式的證法………63.2Vandermonde行列式的性質………7推廣的性質定理：行列式………7一個Vandermonde行列式為0的充分必要條件…9Vandermonde行列式的偏導數(shù)……93.3Vandermonde行列式的翻轉與變形………………113.4Vandermonde行列式的應用………12第四章小結…………………17第五章參考文獻……………18第六章謝辭………………19引言在中學數(shù)學和解析幾何里，我們學習過兩個未知量和三個未知量的線性方程組及其解法。但是在數(shù)學研究和實際問題的解決過程中，經常會遇到由多個未知量而組成的多個方程組，并且未知量的個數(shù)和方程組的個數(shù)也未必相等。為了解決這些具體的問題，經過一代代數(shù)學家的不懈努力，終于由萊布尼茨和日本數(shù)學家關孝和分別創(chuàng)造了行列式。經過一段時間的開展，法國數(shù)學家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相別離。后來又經過許多大數(shù)學家的不斷開展完善，如柯西、詹姆士·西爾維斯特(J.Sylvester,1814-1894)、雅可比(J.Jacobi,1804-1851)等人都對行列式的進步起到了巨大的推動作用。美國當代數(shù)學家BernardKolman對行列式又做了進一步的解析與應用。數(shù)學家ChongyingDong,Fu-anLi等人在Vandermonde行列式方面的最新研究也被收錄到RecentDevelopmentsinAlgebraandRelatedAreas一書中。本文通過在行列式根本性質了解的根底上，進一步探討一種特殊的行列式——Vandermonde行列式的相關性質及其應用。2預備知識為了深入學習Vandermonde行列式的性質及其應用，我們有必要回憶一下行列式的相關知識。2.1定義1行列式是由個元素〔數(shù)〕(=1,2,…,)排成行列并寫成(1)的形式，它表示所有符合以下條件的項的代數(shù)和：

①每項是個元素的乘積，這個元素是從(1)中每行取一個元素、每列取一個元素組成的，可記為,式中是1,2,…,的一個排列。

②每項應帶正號或負號，以1,2,…,的順序為標準來比擬排列()的逆序數(shù)是偶或奇而決定。例如三階行列式中的項排列(231)有2個逆序，即2在1之前，3在1之前,所以應帶正號；而中(213)的逆序為1，因為這時只有2在1之前，所以應帶負號。2.2行列式的性質性質1行列式與它的轉置行列式相等。性質2交換行列式的兩行〔列〕，行列式改變符號。性質3如果一個行列式有兩行〔列〕完全相同，那么這個行列式等于0。性質4把一個行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一個數(shù),等于以數(shù)乘這個行列式。性質5一個行列式中一行〔列〕所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊。性質6如果一個行列式中有一行〔列〕的元素全部是0，那么這個行列式等于0。性質7如果一個行列式有兩行〔列〕的對應元素成比例，那么這個行列式等于0。性質8設行列式的第行元素都可以表示成,那么等于兩個行列式與的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而與的其他各行都和的一樣。同樣的性質對于列來說也成立。性質9把行列式的某一行(列)的元素乘以同一個數(shù)后加到另一行〔列〕的對應元素上，行列式不變。2.3行列式計算中的幾種根本方法三角形法就是利用行列式的性質，將給定的行列式化為上三角形或下三角形行列式，而上〔下〕三角形行列式的值即為其主對角線上所有元素的乘積。例1計算級行列式.分析該行列式具有各行〔列〕元素之和相等的特點.可將第列〔行〕都加到第一列〔行〕〔或第列〔行〕加到第列(行)〕，那么第1〔或〕列〔行〕的元素相等，再進一步化簡即可化為三角形行列式或次三角行列式.解2.3.2例2計算級行列式分析該行列式的各行〔列〕含有共同的元素可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列〔稱為升級發(fā)或加邊法〕，適中選擇所增加行〔或列〕的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素.解遞推法或數(shù)學歸納法例3計算級行列式分析對于三對角或次三對角行列式，按其第1行〔列〕或第行〔列〕展開得到兩項的遞推關系，再利用變形遞推的技巧求解.解直接遞推不易得到結果〔按低級是可以的〕，變形得3行列式的一種特殊類型——Vandermonde行列式定義2我們把型如=的行列式叫做Vandermonde行列式，其中表示這個數(shù)碼的所有可能〔，〕因子共項的乘積〔〕。3.1Vandermonde行列式的證法方法一、消元法證：從第行開始，每一行加上前一行的倍。根據(jù)行列式的性質可知行列式的值不變，此時有==1〔按行列式首項展開得到〕(2)注意到行列式〔2〕是階Vandermonde行列式，即已經將用表示出來。重復用上述方法對進行求解，經過有限步可以得到：=〔…〕()…()=即證。方法二：數(shù)學歸納法證：當時,成立。假設對于階成立，對于階有：首先要把降階，從第n行起后一行減去前一行的倍，然后按第一行進行展開，就有，于是就有=，其中表示連乘，的取值為，原命題得證。方法一與方法二的實質與算法是一致的，可以說是同一種方法。3.2Vandermonde行列式的性質推廣的性質定理：行列式==(k=0,1,2…n-1),其中是中〔〕個數(shù)的一個正序排列。表示對所有〔〕階排列求和。證：〔i〕在行列式中增補第〔〕行和〔〕列相應的元素考慮〔〕階Vandermonde行列式=…………=(*)(ii)由(*)式的兩端分別計算多項式中項的系數(shù)，在(*)左端，由行列式計算：的系數(shù)為行列式中該元素對應的代數(shù)余子式，在(*)式右端，由多項式計算為的個不同根。根據(jù)根與系數(shù)的關系，項的系數(shù)為，其中是1，2…中〔〕個數(shù)的一個正序排列，表示對所有〔〕階排列求和?！瞚ii〕比擬中項的系數(shù)，計算行列式，因為(*)式左右兩端項系數(shù)應該相等，所以即〔**〕定理得證。利用此性質定理可以計算各階準Vandermonde行列式，簡便易行。特別，當時，令=1，〔**〕式即為Vandermonde行列式V。例4計算準Vandermonde行列式解由定理，=6,=3,所以=.一個Vandermonde行列式為0的充分必要條件是中至少有兩個相等.Vandermonde行列式的偏導數(shù).定理，由Vandermonde行列式的定義知，是的元函數(shù).例5設是個兩兩互異的數(shù)，證明對任意個數(shù)，存在唯一的次數(shù)小于的多項式，使得，.證從定義容易看出的次數(shù)小于，且，故只需證明唯一性即可.設滿足，，即，這個關于的線性方程組系數(shù)行列式為，故是唯一的，必須.這就是有名的拉格朗日插值公式。例6設是個復系數(shù)多項式，滿足.證明：.證：設，取，分別以代入，可得，這個關于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為，因此.3.3Vandermonde行列式的翻轉與變形.將Vandermonde行列式逆時針旋轉，得.將Vandermonde行列式順時針旋轉，得.將Vandermonde行列式旋轉，得.3．4Vandermonde行列式的應用Vandermonde行列式在Cramer法那么中的應用.例7設是互不相同的數(shù)，求解下面的方程組.解：系數(shù)行列式為，其中，所以，.如何利用Vandermonde行列式計算行列式法一所給行列式各行〔列〕都是某元素的不同方冪，但其方冪次數(shù)或其排列與Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性質〔如提取公因式，調換各行〔列〕的次序等〕將行列式化為Vandermonde行列式。例8計算解：.法二利用行列式性質，改變原行列式中的元素，產生以新元素為行〔列〕的Vandermonde行列式。例9計算階行列式，其中，，〔〕.解：提取各行的公因式，得到〔Vandermonde行列式〕上式右端行列式是以新元素為列元素的階Vandermonde行列式，所以=.法三如階行列式的第行〔列〕由兩個分行〔列〕所組成，其中任意相鄰兩行〔列〕均含有相同分行〔列〕，且中含有個分行〔列〕組成的Vandermonde行列式，那么將的第行〔列〕乘以〔〕加到〔〕行〔列〕，消除一些分行〔列〕，即可化成Vandermonde行列式。例10計算行列式△=.解：在△的第2行中去掉與第一行成比例的分行，得到△=在上面行列式的第3行中去掉與第2行成比例的分行，得到一個新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉與第3行成比例的分行，得到△==.法四各行〔列〕元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可用各種方法化成Vandermonde行列式。下面用加邊法。例11〔缺行Vandermonde行列式〕.解：注意此行列式與Vandermonde行列式的區(qū)別在于的冪跳過，我們自然會想到把缺了的冪補起來，再利用Vandermonde行列式，故令==.另一方面，對按最后一列進行Laplace展開，可知的代數(shù)余子式是.因此視為的多項式，那么應是的系數(shù)，故〔的系數(shù)〕.注1缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或準Vandermonde行列式。注2①利用此例中的添加一些行和列的方法，還可計算跳過兩個冪的超Vandermonde行列式，及其他行列式。②注意當時，，故也含因子。特別，知.因和都是齊次及對稱多項式，故應是次齊次對稱多項式。按的次序排列時，的首項為〔的首項〕，故知的首項為，由此可得到.法五行列式中其他各行〔列〕都是元素的不同方冪，只有一行〔列〕的元素不是相應元素的零次冪〔即該行〔列〕元素都不是1〕，而是各行〔列〕元素的函數(shù)，利用行列式性質將這一行〔列〕元素化為全是1的元素。例12證明△=.證：將△的第1行加到第3行上，得到△==.Vandermonde行列式在多項式理論中的應用例13設多項式，，；，，那么不可能有非零且重數(shù)大于的根。證明：反設是的重數(shù)大于的根，那么，進而即〔3〕把〔3〕看作以為未知量的齊次線性方程組，那么〔3〕的系數(shù)行列式為.故方程組〔3〕只有零解，從而，因此必須，這與矛盾，故沒有非零且重數(shù)大于的根。4小結以上我們在回憶行列式相關知識的根底上，進一步系統(tǒng)的闡述了Vandermonde行列式的一些重要性質和應用等知識。以便更好的為我們的科研和生活效勞。參考文獻:[1]張賢科，許甫華.高等代數(shù)[M].清華大學出版社，1998[2]盧剛，馮翠蓮.線性代數(shù)[M].北京大學出版社，2006.6[3]BernardKolman,DavidR.Hill.LinearAlgebra,HighEducationPress，2005,7.[4]樊惲，鄭延履，劉合國.線性代數(shù)學習指導[M].北京:科學出版社，2003.2[5]萬勇，李兵.線性代數(shù)[M].上海：復旦大學出版社，2006.8[6]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納[M].武漢：華中科技大學出版社，2000.3[7]蘇醒僑，盧陳輝.線性代數(shù).冶金工業(yè)出版社，2004.9[8]王新長，Vandermonde行列式在高等代數(shù)中的應用[J]，井岡山師范學院學報〔自然科學〕，2002年23〔5〕，54-58.[9]LinearAlgebraandIt’sApplications，DavidC.Lay