2025版高考數(shù)學一輪總復習10年高考真題分類題組9.3雙曲線及其性質

.3雙曲線及其性質考點一雙曲線的定義和標準方程1.(2017課標Ⅰ文,5,5分)已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為(A.13B.12C.23答案D本題考查雙曲線的幾何性質.易知F(2,0),不妨取P點在x軸上方,如圖.∵PF⊥x軸,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=12×3×1=32.2.(2017天津,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(OA.x24-y212=1B.xC.x23-y2=1D.x2-答案D不妨設點A在第一象限,由題意可知c=2,點A的坐標為(1,3),所以ba=3,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求雙曲線的方程為x2-y23方法總結求雙曲線方程的常用方法:(1)待定系數(shù)法:設出所求雙曲線的方程,依據題意構造關于a,b的方程組,從而求得a,b,寫出雙曲線的方程;(2)定義法:依據題意建立動點所滿意的關系式,結合雙曲線的定義求出動點所滿意的軌跡方程.3.(2016天津理,6,5分)已知雙曲線x24-y2b2=1(b>0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為A.x24-3y24=1C.x24-y24=1D.答案D不妨設A(x0,y0)在第一象限,由題意得x由①③得x02=所以y02=b24×由②④⑤可得b2=12.所以雙曲線的方程為x24-y2思路分析抓住矩形的一個頂點的坐標,利用該頂點既在圓上又在漸近線上,再結合矩形的面積建立方程組求解.評析本題考查了圓和雙曲線的方程與性質,考查了運算求解實力和方程的思想方法.4.(2015安徽理,4,5分)下列雙曲線中,焦點在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.y24-x2=1答案C由于焦點在y軸上,故解除A、B.由于漸近線方程為y=±2x,故解除D.故選C.5.(2014天津理,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線lA.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x答案A由題意得ba=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a2=5,b2=20,從而雙曲線方程為x256.(2014江西文,9,5分)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右頂點作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經過A,O兩點(O為坐標原點),A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x2答案A由雙曲線方程知右頂點為(a,0),不妨設其中一條漸近線方程為y=bax,因此可設點A的坐標為(a,b).設右焦點為F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=c2=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故雙曲線的方程為x24-評析本題考查雙曲線的標準方程的求法、雙曲線的幾何性質以及圓的定義,考查學生的運算求解實力和邏輯推理實力.7.(2016課標Ⅰ,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A∵原方程表示雙曲線,且焦距為4,∴m2或m2由①得m2=1,n∈(-1,3).②無解.故選A.方法優(yōu)化由題意可知(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,從而m2+n>0,且3m2-n>0,所以m2+n+3m2-n=22,解得m2=1,所以n∈(-1,3).8.(2015課標Ⅰ文,16,5分)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,66).當△APF周長最小時,該三角形的面積為答案126解析由已知得雙曲線的右焦點F(3,0).設雙曲線的左焦點為F',則F'(-3,0).由雙曲線的定義及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周長最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即當A、P、F'三點共線時,△APF的周長最小.設P點坐標為(x0,y0),y0>0,由x0-3+y066=1,x02-y028=1得所以當△APF的周長最小時,該三角形的面積S=12×6×66-12×6×26=129.(2015課標Ⅱ文,15,5分)已知雙曲線過點(4,3),且漸近線方程為y=±12x,則該雙曲線的標準方程為答案x24-y解析依據漸近線方程為x±2y=0,可設雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0).因為雙曲線過點(4,3),所以42-4×(3)2=λ,即λ=4.故雙曲線的標準方程為x24-y考點二雙曲線的幾何性質1.(2024課標Ⅰ文,11,5分)設F1,F2是雙曲線C:x2-y23=1的兩個焦點,O為坐標原點,點P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為(A.72B.3C.52答案B由題易知a=1,b=3,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2為直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,∴|PF1|·|PF2|=16-42=6,∴S△PF1F2=12.(2024課標Ⅰ文,10,5分)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,A.2sin40°B.2cos40°C.1sin50°答案D本題主要考查雙曲線的性質,同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式;考查考生的運算求解實力和邏輯思維實力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.由雙曲線C:x2a2-y2b由題意知-ba又tan130°=-tan50°,∴ba∴雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2=1+tan250°方法總結求雙曲線x2a2-y(1)定義法:e=2c2a=ca;(2)公式法:e=1+b2a2=1+tan2θ(θ為漸近線的傾斜角);(3)方程思想:利用題中條件得出關于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2轉化為關于a,c的方程3.(2024北京文,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的離心率是5,則A.6B.4C.2D.1答案D本題主要考查雙曲線的幾何性質,考查學生運算求解的實力以及方程的思想,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學運算.由題意得e=ca=5,又a2+b2=c2,∴b2a2=∵b2=1,∴a2=14.∵a>0,∴a=1易錯警示把雙曲線的離心率錯認為e=1-b4.(2024浙江,2,4分)雙曲線x23-y2=1的焦點坐標是(A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B本小題考查雙曲線的標準方程和幾何性質.∵a2=3,b2=1,∴c=a2+b2=2.又∵焦點在x易錯警示求雙曲線焦點坐標的易錯點(1)焦點在x軸上還是y軸上,簡單推斷錯誤;(2)雙曲線與橢圓的標準方程中a,b,c的關系式簡單混淆.5.(2015課標Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若MF1·MF2<0,則A.-33,C.-223答案A若MF1·MF2=0,則點M在以原點為圓心,半焦距c=3為半徑的圓上,則x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:M6.(2015課標Ⅱ理,11,5分)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A.5B.2C.3D.2答案D設雙曲線E的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設點M在第一象限內,則易得M(2a,3a),又M點在雙曲線E上,于是(2a)2a2-7.(2015湖南文,6,5分)若雙曲線x2a2-y2b2=1A.73B.54C.43答案D雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程為y=±bax,則點(3,-4)在直線y=-bax上,即-4=-3ba,所以4a=3b,即ba8.(2015重慶文,9,5分)設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點.若A1B⊥AA.±12B.±22C.±1答案C不妨令B在x軸上方,因為BC過右焦點F(c,0),且垂直于x軸,所以可求得B,C兩點的坐標分別為c,b2a,c,-b2a所以A1B=c+a,因為A1B⊥A2C,所以A1B·即(c+a)(c-a)-b2a·即c2-a2-b4a2=0,所以b2故b2a2=1,即ba=1,又雙曲線的漸近線的斜率為±ba9.(2014課標Ⅰ理,4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為()A.3B.3C.3mD.3m答案A由題意知,雙曲線的標準方程為x23m-y23=1,其中a2=3m,b2=3,故c=a2+b2=3m+3,不妨設F為雙曲線的右焦點,故F(3m+3,0).其中一條漸近線的方程為y=1評析本題考查雙曲線的方程、性質以及點到直線的距離公式等基礎學問,考查考生對學問的敏捷運用實力和運算求解實力.10.(2014課標Ⅰ文,4,5分)已知雙曲線x2a2-y23=1(a>0)的離心率為A.2B.62C.52答案D由雙曲線方程知b2=3,從而c2=a2+3,又e=2,因此c2a2=a2+3a211.(2013課標Ⅰ理,4,5分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12答案C∵ba=e2-1=54-1=112.(2011課標全國理,7,5分)設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.3答案B不妨設雙曲線C為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),并設l過F2(c,0)且垂直于x∴2b2a=2×2a,b2∴離心率e=ca=1+b2a213.(2016課標Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:x2a2-y2b2=1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=13A.2B.32C.3答案A本題考查雙曲線的幾何性質;考查了學生的運算求解實力;考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).解法一:由MF1⊥x軸,可得M-c,b2a由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1-1又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=∵c2=a2+b2?b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0?e2-22e-1=0,又∵e>1,∴e=2.故選解法二:由MF1⊥x軸,得M-c,b2a,∴|MF1|=b2a,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|14.(2024課標Ⅲ文,14,5分)設雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=2答案3解析∵雙曲線C:x2a2-y2b∴ba=2,∴雙曲線C的離心率為ca=1+b15.(2024上海,2,4分)雙曲線x24-y2=1的漸近線方程為答案y=±12解析本題主要考查雙曲線的漸近線方程.解法一:由雙曲線x24-y2=1知a2=4,b∴a=2,b=1,∴該雙曲線的漸近線方程為y=±12解法二:令雙曲線x24-y2=1中的“1”為“0”,即可得到雙曲線的漸近線方程,即x24-y2=0,∴16.(2024江蘇,8,5分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)答案2解析本題考查雙曲線的性質.雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為|bc|b2+(-a)2=32c,∴b=32c,∴b2=34c2,又b17.(2017課標Ⅲ文,14,5分)雙曲線x2a2-y29=1(a>0)的一條漸近線方程為y=3答案5解析由題意可得3a=3所以a=5.18.(2017北京理,9,5分)若雙曲線x2-y2m=1的離心率為3,則實數(shù)m=答案2解析本題考查雙曲線的性質.由題意知,a2=1,b2=m.∵e=ca=1+b2a219.(2016山東理,13,5分)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個