初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）第14講 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（教師版）

第14講指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法；2．理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪的大小；3．掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊的點，會作指數(shù)函數(shù)的圖象，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。一、指數(shù)函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．2、注意事項：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)規(guī)定大于0且不等于1的理由：（1）如果，當（2）如果，如，當時，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．（3）如果，是一個常量，對它就沒有研究的必要．為了避免上述各種情況，所以規(guī)定且．二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域過定點單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)三、比較指數(shù)冪的大小比較冪的大小的常用方法：（1）對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；（2）對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；（3）對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．四、簡單指數(shù)不等式的解法1、形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解；2、形如的不等式，可將化為為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解；3、形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解?？键c一：指數(shù)函數(shù)的概念辨析例1．（多選）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由指數(shù)函數(shù)形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對于B，且，故符合.故選：BC【變式訓練】（多選）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．且【答案】AD【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義知，A、D選項是指數(shù)函數(shù).選項B：，不是指數(shù)函數(shù).選項C：不是指數(shù)函數(shù).故選：AD.考點二：利用指數(shù)函數(shù)的概念求參例2．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是________【答案】或，【解析】為指數(shù)函數(shù)，則或，解得：或，故答案為：或.【變式訓練】若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（）A．或B．且C．D．【答案】C【解析】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，故選：C考點三：指數(shù)函數(shù)過定點問題例3．函數(shù)恒過定點（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)，當，即時，，所以函數(shù)過定點.故選：B【變式訓練】函數(shù)且恒過定點，__．【答案】【解析】令可得，此時有.由題意可得，，所以，，所以．故答案為：．考點四：指數(shù)函數(shù)的圖象辨析例4．若的圖像如圖，（，是常數(shù)），則（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由圖可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，即，所以.故選：D【變式訓練】函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（）A．，，，B．，，，C．，，，，D．，，，，【答案】C【解析】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．考點五：利用單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小例5．已知，將a，b，c按照從小到大的順序排列為（）A．c，b，aB．b，a，cC．c，a，bD．b，c，a【答案】C【解析】因函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，，又，則，即.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.所以b＞a＞c．故選：C．【變式訓練】（多選）下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，在定義域上是增函數(shù)，，故A正確；對于B，在定義域上是減函數(shù)，，故B錯誤；對于C，在上是減函數(shù)，，故C正確；對于D，故D正確；故選：ACD.考點六：解指數(shù)型不等式例6．不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故選：A．【變式訓練】解關(guān)于的不等式．【答案】【解析】由得，即，解得或，可得或.所以不等式的解集為.考點七：指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性例7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．[2，＋∞）C．D．【答案】C【解析】令，則，故函數(shù)的定義域為，設(shè)，，則當時，為增函數(shù)，此時；當時，為減函數(shù)，此時.而在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，此時.而在上為減函數(shù)，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).故選：C.【變式訓練】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞遞減，又由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.考點八：指數(shù)型函數(shù)的奇偶性例8．函數(shù)的奇偶性是（）A．是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)【答案】A【解析】的定義域為，，是奇函數(shù)，不是偶函數(shù).故選：A.【變式訓練】已知為偶函數(shù)，則實數(shù)（）A．1B．-1C．0D．【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，，.經(jīng)檢驗成立，故選：B.考點九：指數(shù)型函數(shù)的值域例9．函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】∵，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，則，可得，∴，故函數(shù)的值域為.故答案為：.【變式訓練】函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上的最大值為___________.【答案】7【解析】令，則.所以即為.因為對稱軸為，所以在.上單調(diào)遞增，所以當時，為最大值.故答案為：71．如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（）A．B．1C．9D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則.故選：D2．函數(shù)的圖像不經(jīng)過（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】函數(shù)經(jīng)過第一、二象限，向下平移3個單位后得到函數(shù)，則經(jīng)過一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限.故選：B3．函數(shù)（其中，，、為常數(shù)）的圖像恒過定點，則（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】函數(shù)（其中，，、為常數(shù)）的圖像恒過定點，即恒成立，則有，解得，所以.故選：B.4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為在R上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需求出的單調(diào)遞減區(qū)間，其中單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D5．如圖所示：曲線，，和分別是指數(shù)函數(shù)，,和的圖象,則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為當?shù)讛?shù)大于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，當?shù)讛?shù)小于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，所以c，d大于1，a，b小于1，由圖知：，即，，即，所以，故選：D6．已知有三個數(shù)，，，則它們的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又在上單調(diào)遞增，，即.故選：B.7．不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，解得或，所以不等式的解集為：.故選：C.8．（多選）已知函數(shù)，則（）A．的值域為B．是上的增函數(shù)C．是上的奇函數(shù)D．有最大值【答案】ABC【解析】由題意得：函數(shù)的定義域為對于選項A：函數(shù)是一條連續(xù)的曲線，當趨向于負無窮時，趨近于正無窮，趨近于零，所以趨近于負無窮，當趨向于正無窮時，趨近于零，趨近于正無窮，所以趨近于正無窮，所以的值域為，故A正確；對于選項B：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是上的增函數(shù)，故B正確；對于選項C：的定義域關(guān)于原點對稱，又，所以是上的奇函數(shù)，故C正確；對于選項D：是上的增函數(shù)，無最值，所以D錯誤.故選：ABC9．（多選）函數(shù)其中且，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．方程在R上有解C．函數(shù)的圖象過定點D．當時，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)【答案】ABD【解析】定義域為R，且，故為定義域，A正確；，故方程在R上有解，B正確，C錯誤；當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，故在定義域上單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD10．函數(shù)的定義域是__________．（結(jié)果寫成集合或區(qū)間）【答案】【解析】由題設(shè)，則，即，所以定義域為.故答案為：11．已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】法一：因為為奇函數(shù)，所以，即，化簡得，解得，故，所以；法二：因為為定義在R上的奇函數(shù)，故，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故，.故答案為：12．函數(shù)的值域為_________.【答案】【解析】因為，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.13．若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】要使函數(shù)為R上的增函數(shù)，應(yīng)有，解得.故答案為：.14．已知函數(shù)（且）是偶函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因為為偶函數(shù)，所以對都有，即恒成立，即恒成立，，解得.（2）由（1）可知，所以，令（當時取等號），則，所以所求函數(shù)為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的值域為.15．已知集合A為不等式的解集，（1）若集合且，求m的取值范圍；（2）求函數(shù)，在定義域A上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1），即∴1，即

又∵，∴，∴①當時，②當時,∴綜上所述：m的取值范圍為：.（2）令，在是單調(diào)減函數(shù)∴，在是單調(diào)減函數(shù)，在是單調(diào)增函數(shù)∴當時，當時，∴在定義域A上的值域為1．給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】對于①，函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，不在指數(shù)位置，故不是指數(shù)函數(shù)；對于②，函數(shù)的底數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)；對于③，函數(shù)中的指數(shù)式的系數(shù)不為，故不是指數(shù)函數(shù)；對于④，函數(shù)的底數(shù)滿足，符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù).故選：A.2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：C.3．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】為指數(shù)函數(shù)，可設(shè)且，，解得：，.故選：B.4．函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，即，解得．故選：C.5．對任意實數(shù)且關(guān)于x的函數(shù)圖象必過定點()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，過定點(0，1)，則過定點(0，5).故選：C.6．函數(shù)（）的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當時，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A、B均不符合；當時，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合，D不符合．故選：C．7．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，其圖象開向上，對稱軸為直線．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，，解得．故選：C.8．定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當時，，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，因為當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以當時，單調(diào)遞減，因為，所以，即.故選：B.9．不等式的解集為______．【答案】【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：10．函數(shù)的定義域為M，值域為，則M=______．【答案】（答案不唯一）【解析】因為函數(shù)的值域為，所以，所以，即，故，所以，則函數(shù)的定義域為．實際上，只要即可滿足條件，即可以為并上任意一個的子集均可.故答案為：（答案不唯一）11．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________．【答案】【解析】令，，當時，即，單調(diào)遞增；當時，即，單調(diào)遞減；因為單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：12．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_________.【答案】/【解析】令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)#在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故答案為：.13．函數(shù)是偶函數(shù)．（1）試確定的值及此時的函數(shù)解析式；（2）證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）當時，求函數(shù)的值域．【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）由