初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）第30講 三角函數(shù)的應用（教師版）

第30講三角函數(shù)的應用1．會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題；2．體會三角函數(shù)是周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義1、簡諧運動的振幅就是A.2、簡諧運動的周期T＝eq\f(2π,ω).3、簡諧運動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).4、ωx＋φ稱為相位．5、x＝0時的相位φ稱為初相．二、三角函數(shù)模型的應用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術．三、建立函數(shù)模型的一般步驟四、運用三角函數(shù)模型解決問題的幾種類型1、由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據(jù)圖象特征確定解析式中的字母參數(shù)，在求解過程中還要結合函數(shù)性質．2、由圖象研究函數(shù)的性質：通過觀察分析函數(shù)圖象，能得出函數(shù)的單調性、奇偶性、對稱性、周期性．3、利用三角函數(shù)研究實際問題：首先分析、歸納實際問題，抽象概括出數(shù)學模型，再利用圖象及性質解答數(shù)學問題，最后解決實際問題．五、解三角函數(shù)應用問題的基本步驟六、建立三角函數(shù)擬合模型的注意事項1、在由圖象確定函數(shù)的解析式時，注意運用方程思想和待定系數(shù)法來確定參數(shù)．2、在已知解析式作圖時要用類比的方法將陌生的問題轉化成熟悉的問題．3、在應用三角函數(shù)模型解答應用題時，要善于將符號、圖形、文字等各種語言巧妙轉化，并充分利用數(shù)形結合思想直觀地理解問題．考點一：三角函數(shù)在物理上的應用例1．如圖所示，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的弧長與時間的函數(shù)關系式為，那么單擺來回擺動一次所需的時間為A．B．C．D．【答案】D【解析】單擺來回擺動一次，即完成一個周期，因為的最小正周期，所以單擺來回擺動一次所需的時間為，故選D.【變式訓練】如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點的振幅為5cmC．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點在0.3s和0.7s時運動速度為零【答案】BC【解析】由題圖可知，運動周期為，故A錯誤；該質點的振幅為5cm，B正確；由簡諧運動的特點知，在0.1s和0.5s時運動速度為零，質點在0.3s和0.7s時運動速度最大，故C正確，D錯誤．故選：BC．考點二：三角函數(shù)在生活上的應用例2．在西雙版納熱帶植物園中有一種原產于南美熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律.有研究表明，時鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關，時鐘花開花所需要的溫度約為，但當氣溫上升到時，時鐘花基本都會凋謝.在花期內，時鐘花每天開閉一次.已知某景區(qū)有時鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時時的氣溫（單位：）與時間（單位：小時）近似滿足函數(shù)關系式，則在6時時中，觀花的最佳時段約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．時時B．時時C．時時D．時時【答案】C【解析】當時，，則在上單調遞增.設花開?花謝的時間分別為.由，得，解得時；由，得，解得時.故在6時時中，觀花的最佳時段約為時時.故選：C【變式訓練】心臟跳動時，血壓在增加或減少，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓、舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓、舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標準值.設某人的血壓滿足（），其中為血壓（mmHg），為時間（min）.（1）求此人每分鐘心跳的次數(shù)；（2）求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)，并與標準值進行比較.【答案】（1）80；（2），血壓偏高.【解析】（1）函數(shù)的最小正周期，根據(jù)題意可知，在一個周期內，心臟跳動一次，所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為次.（2）由題意得，，，所以此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)為，與標準值相比較，此人血壓偏高.考點三：三角函數(shù)在圓周中的應用例3．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，均勻設置了依次標號為號的個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動后距離地面的高度為，轉一周需要.若甲、乙兩人分別坐在號和號座艙里，當時，兩人距離地面的高度差（單位：）取最大值時，時間的值是.

【答案】10【解析】如圖，設座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系，設時，游客甲位于點，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉一周大約需要，可知座艙轉動的角速度約為，由題意可得，.如圖，甲、乙兩人的位置分別用點表示，則，經過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差因為，所以，所以得，即開始轉動分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為.故答案為：.【變式訓練】一個半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時針作勻速轉動，每6秒轉一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．（1）以過點O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，試將點P距離水面的高度h（單位：米）表示為時間t（單位：秒）的函數(shù)；（2）在水輪轉動的任意一圈內，有多長時間點P距離水面的高度不低于2米？【答案】（1）；（2）2秒【解析】（1）設，根據(jù)函數(shù)的物理意義可知：，由題意可知當時，，則，所以，則，又因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以；（2）根據(jù)題意可知，，即，當水輪轉動一圈時，，，可得：，所以此時，解得，又因為（秒，即水輪轉動任意一圈內，有秒的時間點距水面的高度不低于2米．考點四：擬合法建立三角函數(shù)模型例4．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數(shù)關系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（）（要考慮船只駛出港口需要一定時間）時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至B．至C．至D．至【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)的周期為，振幅，所以，又因為達到最大值，所以由，可得，所以，所以函數(shù)的表達式為，令，解得，所以在可安全離港，故選：C【變式訓練】某港口其水深度y（單位：m）與時間t（，單位：h）的函數(shù)，記作，下面是水深與時間的數(shù)據(jù)：t/h3691215182124y/m12.015.018.114.912.015.018.015.0經長期觀察，的曲線可近似地看作函數(shù)的圖象，其中A＞0，，．（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的近似表達式；（2）一般情況下，該港口船底離海底的距離為3m或3m以上時認為是安全的（船?？繒r，近似認為海底是平面）．某船計劃靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船體與水面相連處的垂直距離）需12m．如果該船希望在同一天內安全進出港，問：它至多能在港內停留多長時間（忽略進出港所需時間）？【答案】（1），;（2）18h【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，則，，．由，可知．當時函數(shù)取最大值，即，，所以．又因為，所以．所以函數(shù)的近似表達式為，．（2）由題意得，即，因為，所以．通過正弦函數(shù)圖象可知，當，即時，．由于停泊時的要求恒成立，如果該船希望在同一天內安全進出港，它至多能在港內停留．1．如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置．若初始位置為，當秒針從P0（注此時t=0）正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系為（）A．y=sinB．y=sinC．y=sinD．y=sin【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的周期為，設函數(shù)解析式為（因為秒針是順時針走動），初始位置為，，時，，，可取，函數(shù)解析式為，故選：C．2．游樂場中的摩天輪沿逆時針方向勻速旋轉，其中心距離地面，半徑（示意圖如下），游客從最低點處登上摩天輪，其與地面的距離隨著時間而變化，已知游客將在登上摩天輪后分鐘到達最高點，自其登上摩天輪的時刻起，（1）求出其與地面的距離與時間的函數(shù)關系的解析式；（2）若距離地面高度超過時，為“最佳觀景時間”，那么在乘坐一圈摩天輪的過程中，該游客大約有多少“最佳觀景時間”？【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設，則，，所以，第一次到最高點旋轉了半周期，所以游客從最低點登上，所以，故（或）.（2）令，則（或），所以，，所以，因此，在乘坐一圈摩天輪的過程中，該游客大約有有最佳觀景時間.3．已知掛在彈簧下方的小球上下振動，小球在時間t（單位：s）時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的距離h（單位：cm）由函數(shù)解析式決定，其部分圖像如圖所示（1）求小球在振動過程中的振幅、最小正周期和初相；（2）若時，小球至少有101次速度為0cm/s，則的最小值是多少？【答案】（1）；（2）【解析】（1）由圖易知小球的振幅，最小正周期，所以，∴，∴代入可得，∴，即，又，∴初相（2）∵小球在振動過程中位于最高、最低位置時的速度為0cm/s，∴小球有100次速度為0cm/s等價于函數(shù)有100次取得最值，∵函數(shù)在一個周期內取得一次最大值、一次最小值，，∴函數(shù)經過50個周期時小球有100次速度為0cm/s，∴時，小球有100次速度為0cm/s，又∵當時，小球速度為0cm/s，∴的最小值為4．如圖，一根長l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個小鋼球，當小鋼球做單擺運動時，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系可近似的表示為，其中.（1）當時，小鋼球離開平衡位置的位移S是多少cm？（2）要使小鋼球擺動的周期是1s，則線的長度l應該為多少cm（精確到0.1cm）？【答案】（1）1.5cm；（2）.【解析】（1）在函數(shù)中，當時，，所以當時，小鋼球離開平衡位置的位移S是1.5cm.（2）依題意，，而周期，又，則，即，解得()，所以線的長度l應該為.5．某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關系：．（1）求實驗室這一天上午8時的溫度；（2）求實驗室這一天的最大溫差．【答案】（1）10℃；（2）4℃．【解析】（1）.故實驗室上午8時的溫度為10℃．（2），因為，所以，．當時，；當時，，故，于是在上取得最大值12，取得最小值8．故實驗室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃．6．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120～140mmHg和60～90mmHg.心臟跳動時，血壓在增加或減小．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標準值．記某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：（1）求函數(shù)p(t)的周期；（2）求此人每分鐘心跳的次數(shù)；（3）求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)，并與正常值比較．【答案】（1）（min）；（2）80；（3）血壓計上的讀數(shù)為140/90mmHg，在正常值范圍內．【解析】（1）函數(shù)的最小正周期為；（2）次．所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為次．（3），，即收縮壓為，舒張壓為，在血壓計上的讀數(shù)為，血壓在正常值范圍內．7．已知某海濱浴場海浪的高度（米是時刻，單位：時）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時刻的浪高數(shù)據(jù)：時03691215182124米1.51.00.51.01.51.00.51.01.5經長期觀測，的曲線可近似地看成是函數(shù)，，的圖象.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)表達式；（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結論，判斷一天內的至之間，那個時間段不對沖浪愛好者開放？【答案】（1）振幅；最小正周期；函數(shù)表達式（2）一天內的至之間，至之間，至之間時間段不對沖浪愛好者開放【解析】（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可知，，周期.即當時，可得，即,，故得函數(shù)表達式；.（2）當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，即函數(shù)時，即.即，即，又，則或或.則一天內的至之間，至之間，至之間時間段不對沖浪愛好者開放.8．某港口的水深（米）是時間（，單位：小時）的函數(shù)，下面是每天時間與水深的關系表：03691215182124101371013710經過長期觀測，可近似的看成是函數(shù)（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的解析式；（2）若船舶航行時，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時間可以安全的進出該港？【答案】（1）；（2）（1：005：00），（13：0017：00）【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可以看到：水深最大值為13，最小值為7，且相隔12小時達到一次最大值說明周期為12，因此，故.（2）要想船舶安全，必須有深度，即，，解得：，又，當時，；當時，；故船舶安全進港的時間段為（1：005：00），（13：0017：00）.1．如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關系式確定：，，.已知當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（）A．-2B．2C．D．【答案】D【解析】因為當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，故，即，又，故，故，故當時，，故選：D2．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時6秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則當時，恰有3個使函數(shù)最得大值，則的取值范圍是.【答案】【解析】根據(jù)點可得圓周的半徑，又旋轉一周用時6秒，所以周期，因為，從而得，∴，又時，函數(shù)值恰好在對應點縱坐標，∴，且，∴，∴，，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質，在內恰有3個最大值時，，解得.故答案為：.3．我國古代數(shù)學家僧一行應用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距（）的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的一張正切函數(shù)表．根據(jù)三角學知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即．已知天頂距時，晷影長．現(xiàn)測得午中晷影長度，則天頂距為．（答案精確到，參考數(shù)據(jù)）【答案】【解析】因為，且天頂距，晷影長，所以，當晷影長度時，所以，故答案為：4．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為100m，轉盤直徑為90m，均勻設置了依次標號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，轉一周需要30min．（1）求在轉動一周的過程中，H關于t的函數(shù)解析式；（2）若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．【答案】（1），.；（2）【解析】（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，設時，游客甲位于點，以OP為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約為，由題意可得，.（2）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則.經過后甲距離地面的高度為，點B相對于點A始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差利用，可得，.當或，即或（舍去）時，h的最大值為所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為5．用彈簧掛著的小球做上下運動，它在t秒時相對于平衡位置的高度h厘米由下列關系式確定：．以t為橫坐標，h為縱坐標，作出這個函數(shù)在上的圖象，并回答下列問題．（1）小球在開始振動時（即時）的位置在哪里？（2）小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？（3）經過多長時間小球往復運動一次？（4）每秒鐘小球能往復運動多少次？【答案】（1）小球在開始振動時在距離平衡位置厘米處；（2）都是2厘米（3）秒；（4）【解析】（1）函數(shù)在上的圖象如圖．當時，（厘米），即小球在開始振動時在距離平衡位置厘米處．（2）小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是2厘米．（3）小球往復運動一次就是一個周期，易知秒，即經過秒往復運動一次．（4）每秒鐘往復運動的次數(shù)．6．彈簧振子的振動是簡諧振動．某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對應數(shù)據(jù)記錄如下表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.3-10010.117.220.017.210.30-10．1-17.3-20.0（1）試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式；（2）畫出該函數(shù)在的圖象；（3）在這次全振動過程中，求位移為10mm時t的取值集合．【答案】（1）；（2）圖象見解析；（3）【解析】（1）設函數(shù)解析式為，，由表格可知：，，則，即．由函數(shù)圖象過點，得，即，可?。畡t這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式為；（2）列表：t00.150.30.450.60y-200200-20由表格數(shù)據(jù)知，，的圖象如圖所示．；（3）由題意得，即，則或，所以或．又，所以或0.4．所以在這次全振動過程