2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第五節(jié) 空間向量及其運算-課時作業(yè)【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第五節(jié)空間向量及其運算-課時作業(yè)（原卷版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.（多選）與向量a＝（1，－2，1）共線的單位向量為（）A.－12,?C.－12，2.（多選）（2024·河南開封）若a，A.a，b－c，b－a－cB.a＋b，a－2b＋c，b＋cC.a－2b，b＋c，a＋2cD.a－b＋c，2b＋c，a＋b＋2c3.如圖，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，若AN＝NB，BM＝2MC，則MN＝（）A.12a＋16b－23cB.－12a－1C.12a－16b－13cD.－12a＋14.在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（）A.OM＝OA－OB－OCB.OM＝15OA＋1C.MA＋MB＋MC＝0D.OM＋OA＋OB＋OC＝05.已知a＝（1，0，1），b＝（x，1，2），且a·b＝3，則向量a與b的夾角為（）A.5π6C.π3D.6.（多選）給出下列命題，其中正確的命題有（）A.空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都能構(gòu)成空間的一個基底C.A，B，M，N是空間四點，若BA，BM，BN不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面D.已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底7.（多選）已知空間三點A（1，0，3），B（－1，1，4），C（2，－1，3）.若AP∥BC，且｜AP｜＝14，則點P的坐標(biāo)為（）A.（4，－2，2）B.（－2，2，4）C.（－4，2，－2）D.（2，－2，4）8.已知A，B，C三點不共線，點O為平面ABC外任意一點.若點M滿足OM＝15OA＋45OB＋25BC9.已知a＝（3，2λ－1，1），b＝（μ＋1，0，2μ）.若a⊥b，則μ＝；若a∥b，則λ＋μ＝.10.如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足AM＝kAC1，BN＝kBC（0≤k≤1）.判斷向量MN是否與向量AB，A[B組能力提升練]11.（2024·貴州六盤水）已知e1，e2，e3不共面，若AB＝e1＋e2＋e3，BC＝e1＋λe2＋μe3，且A，B，C三點共線，則λ＋μ＝（）A.0B.1C.2D.312.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是（）A.3B.2C.1D.313.（多選）（2024·山東濟南）已知空間中三點A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），則下列說法正確的是（）A.AB與AC是共線向量B.AB的單位向量是（1，1，0）C.AB與BC夾角的余弦值是－55D.平面ABC的一個法向量是（1，－2，5）14.（2024·吉林松原）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐PABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且AB＝AD＝AP＝3，EC＝2PE，則AE·DE＝（）A.－3B.3C.2D.515.（多選）（2024·吉林松原）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，AA1，CD的中點，則下列直線與B1G垂直的是（）A.EFB.BFC.BD1D.AC16.已知空間向量PA，PB，PC的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°，點G為△ABC的重心.若PG＝xPA＋yPB＋zPC，x，y，z∈R，則x＋y＋z＝，｜PG｜＝.17.如圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1與平面EFG交于點M，則2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第五節(jié)空間向量及其運算-課時作業(yè)（解析版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.（多選）與向量a＝（1，－2，1）共線的單位向量為（）A.－12,?C.－12，答案：CD解析：由｜a｜＝1+2+1＝2，∴與向量a共線的單位向量為12,?22.（多選）（2024·河南開封）若a，A.a，b－c，b－a－cB.a＋b，a－2b＋c，b＋cC.a－2b，b＋c，a＋2cD.a－b＋c，2b＋c，a＋b＋2c答案：ACD解析：對于A，因為a＝b－c－b－對于B，假設(shè)a＋b，a－2b＋c，b＋c共面，則?λ，μ∈R，使得a＋b＝λ（a－2b＋c）＋μ（b＋c），故有λ=1，－2λ＋μ=1λ＋μ=0，，方程組無解，即a＋b，a－2b對于C，a－2b＝－2b＋c＋a+2對于D，a－b＋c＝－2b＋c＋a＋b3.如圖，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，若AN＝NB，BM＝2MC，則MN＝（）A.12a＋16b－23cB.－12a－1C.12a－16b－13cD.－12a＋1答案：A解析：由題可知，MN＝MB－NB＝23CB－12AB＝23（OB－OC）－12（OB－OA）＝12OA＋16OB－24.在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（）A.OM＝OA－OB－OCB.OM＝15OA＋1C.MA＋MB＋MC＝0D.OM＋OA＋OB＋OC＝0答案：C解析：M與A，B，C一定共面的充要條件是OM＝xOA＋yOB＋zOC，x＋y＋z＝1.對于A選項，由于1－1－1＝－1≠1，所以不能得出M，A，B，C共面；對于B選項，由于15＋13＋12≠1，所以不能得出M，A，B對于C選項，由于MA＝－MB－MC，則MA，MB，MC為共面向量，所以M，A，B，C共面；對于D選項，由OM＋OA＋OB＋OC＝0，得OM＝－OA－OB－OC，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面.5.已知a＝（1，0，1），b＝（x，1，2），且a·b＝3，則向量a與b的夾角為（）A.5π6C.π3D.答案：D解析：因為a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝（1，1，2），所以cos＜a，b＞＝a·b｜a||又因為＜a，b＞∈[0，π]，所以a與b的夾角為π66.（多選）給出下列命題，其中正確的命題有（）A.空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都能構(gòu)成空間的一個基底C.A，B，M，N是空間四點，若BA，BM，BN不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面D.已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底答案：ACD解析：選項A，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以A正確；選項B，根據(jù)空間基底的概念，可得B不正確；選項C，由BA，BM，BN不能構(gòu)成空間的一個基底，可得BA，BM，BN共面.又由BA，BM，BN過相同點B，可得A，B，M，N四點共面，所以C正確；選項D，由{a，b，c}是空間的一個基底，則基向量a，b與向量m＝a＋c一定不共面，所以可以構(gòu)成空間另一個基底，所以D正確.7.（多選）已知空間三點A（1，0，3），B（－1，1，4），C（2，－1，3）.若AP∥BC，且｜AP｜＝14，則點P的坐標(biāo)為（）A.（4，－2，2）B.（－2，2，4）C.（－4，2，－2）D.（2，－2，4）答案：AB解析：因為B（－1，1，4），C（2，－1，3），所以BC＝（3，－2，－1）.因為AP∥BC，所以可設(shè)AP＝λBC＝（3λ，－2λ，－λ）.因為｜AP｜＝（3λ）2解得λ＝±1，所以AP＝（3，－2，－1）或AP＝（－3，2，1）.設(shè)點P（x，y，z），則AP＝（x－1，y，z－3），所以x－1=3解得x=4，y＝所以點P的坐標(biāo)為（4，－2，2）或（－2，2，4）.8.已知A，B，C三點不共線，點O為平面ABC外任意一點.若點M滿足OM＝15OA＋45OB＋25BC答案：屬于解析：∵OM＝15OA＋45OB＋25BC＝15OA＋45OB＋25（OC－OB）＝15OA＋∴M，A，B，C四點共面，即點M∈平面ABC.9.已知a＝（3，2λ－1，1），b＝（μ＋1，0，2μ）.若a⊥b，則μ＝；若a∥b，則λ＋μ＝.答案：－35解析：因為a⊥b，則a·b＝3（μ＋1）＋0＋2μ＝0，解得μ＝－35若a∥b，則a＝mb，即（3，2λ－1，1）＝m（μ＋1，0，2μ），故3=m（μ+1),2λ－1=0，1=2mμ10.如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足AM＝kAC1，BN＝kBC（0≤k≤1）.判斷向量MN是否與向量AB，A解：∵AM＝kAC1，BN＝k∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC＝k（C1A＋BC）＋AB＝k（C1A＋B1C1）＋AB＝kB1A＋AB＝AB－kAB1＝AB－k（∴由共面向量定理知向量MN與向量AB，AA1[B組能力提升練]11.（2024·貴州六盤水）已知e1，e2，e3不共面，若AB＝e1＋e2＋e3，BC＝e1＋λe2＋μe3，且A，B，C三點共線，則λ＋μ＝（）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：因為A，B，C三點共線，所以AB＝xBC，即e1＋e2＋e3＝xe1＋xλe2＋xμe3，故x=1解得λ=1所以λ＋μ＝1＋1＝2.12.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是（）A.3B.2C.1D.3答案：D解析：∵BD＝BF＋FE＋ED，∴｜BD｜2＝｜BF｜2＋｜FE｜2＋｜ED｜2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2，故｜BD｜＝3－13.（多選）（2024·山東濟南）已知空間中三點A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），則下列說法正確的是（）A.AB與AC是共線向量B.AB的單位向量是（1，1，0）C.AB與BC夾角的余弦值是－55D.平面ABC的一個法向量是（1，－2，5）答案：CD解析：對于A，由題意，AB＝（2，1，0），AC＝（－1，2，1），因為AB≠λAC，則AB與AC不是共線向量，不正確；對于B，因為AB＝（2，1，0），所以AB的單位向量為255，對于C，AB＝（2，1，0），BC＝（－3，1，1），所以cos＜AB，BC＞＝AB·BC｜AB||對于D，設(shè)平面ABC的一個法向量是n＝（x，y，z），因為AB＝（2，1，0），AC＝（－1，2，1），所以n·AB令x＝1，得y＝－2，z＝5，所以平面ABC的一個法向量為n＝（1，－2，5），D正確.14.（2024·吉林松原）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐PABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且AB＝AD＝AP＝3，EC＝2PE，則AE·DE＝（）A.－3B.3C.2D.5答案：B解析：因為PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因為四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D0，3，0，C3，3，所以AE＝1，1，2，DE＝1,?2，2，所以AE·DE15.（多選）（2024·吉林松原）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，AA1，CD的中點，則下列直線與B1G垂直的是（）A.EFB.BFC.BD1D.AC答案：AB解析：如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)棱長為2，則A2，0，0，B2，2，0，C0，2，0，因為E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，AA1，CD的中點，可得E1，0，2，F(xiàn)2所以B1G＝－2,?1,?2，BF＝0,?2，1，EF因為B1G·EF＝0，所以B1G⊥EF，所以因為B1G·BF＝0，所以B1G⊥BF，所以因為B1G·BD1＝2≠因為B1G·AC＝2≠0，所以D16.已知空間向量PA，PB，PC的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°，點G為△ABC的重心.若PG＝xPA＋yPB＋zPC，x，y，z∈R，則x＋y＋z＝，｜PG｜＝.答案：15解析：根據(jù)題意得，點G為△ABC的重心，設(shè)BC中點為D，則AG＝23AD＝13（AB＋AC），所以PG－PA＝13