2025年高考數(shù)學一輪復習-集合的概念與運算【課件】

集合的概念與運算元素與集合的關系研究一個集合，要弄清楚集合中的代表元素．(1)用描述法表示的集合，先要弄清其元素表示的意義(主要考慮是數(shù)集還是點集)，如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制條件(性質)，最后根據(jù)元素的互異性，確定集合中的元素．(2)用列舉法表示的集合，要注意集合中元素的互異性．對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性，從而確定集合中的元素．分考點講解例1集合與集合之間的關系分考點講解1．子集(真子集)個數(shù)的求解方法(1)列舉法：將集合的子集(真子集)一一列舉出來，從而得到子集(真子集)的個數(shù)．適用于集合元素較少的情況．(2)公式法：

含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n－1，非空子集個數(shù)是2n－1，非空真子集個數(shù)是2n－2.例2已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集合B＝{x||x|<2}，則A∩B的子集個數(shù)為(

)A．4 B．5C．7 D．15【解析】因為A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，所以A∩B＝{0，1}，所以A∩B的子集個數(shù)為22＝4(提示：含有n個元素的集合的子集個數(shù)為2n)．故選A.【答案】A集合與集合之間的關系分考點講解2．判斷集合之間關系的方法(1)首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，然后從表達式判斷兩集合之間的關系．(2)對于用列舉法表示的集合，可以從元素中判斷出兩集合之間的關系．(3)對于離散型數(shù)集或點集，常用列舉法或借助Venn圖判斷兩集合之間的關系；對于連續(xù)型數(shù)集，常借助數(shù)軸判斷兩集合之間的關系，此時要注意端點值的取舍．例3已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，則(

)A．N?M

B．M?NC．M∩N≠?

D．M∪?RN＝R【解析】由M＝{x|x2－3x＋2≤0}得M＝{x|1≤x≤2}．對于A，B，由題意得M?N，故A錯誤，B正確；對于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠?，故C正確；對于D，因為?RN＝{x|x≤－1}，所以M∪?RN＝(－∞，－1]∪[1，2]≠R，故D錯誤．故選BC.【答案】BC集合與集合之間的關系分考點講解3．利用集合間的關系求參數(shù)的值(取值范圍)(1)若未指明集合非空，則應考慮空集的情況，即由A?B知存在A＝?和A≠?兩種情況，需要分類討論；此外，集合中含有參變量時，求得結果后還需要利用元素的互異性進行檢驗．(2)若集合是連續(xù)數(shù)集的問題，則可以利用數(shù)軸求解，注意數(shù)形結合和分類討論思想的運用．例4已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________．集合的基本運算分考點講解1．集合的基本運算解集合運算問題時應注意以下三點：(1)看元素構成，即集合中的元素是數(shù)還是有序數(shù)對，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值等；(2)對集合進行化簡，明確集合中元素的特點；(3)注意數(shù)形結合思想的應用，常見形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖等．例5集合的基本運算分考點講解2．利用集合運算結果求參數(shù)的取值范圍根據(jù)集合運算的結果確定參數(shù)取值范圍的步驟：(1)化簡所給集合；(2)用數(shù)軸表示所給集合；(3)根據(jù)集合端點的大小關系列出不等式(組);(4)解不等式(組);(5)檢驗．注意：(1)確定不等式解集的端點的大小關系時，需檢驗能否取“＝”；

(2)千萬不要忘記考慮空集．例6集合新定義問題分考點講解集合新定義問題的解決方法(1)遇到新定義問題，先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到解題的過程中，這是解答新定義型問題的關鍵所在．常見的新定義有新概念、新運算、新法則等．(2)集合的性質是解答集合新定義問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些條件．例7設U是一個非空集合，F(xiàn)是U的子集構成的集合，如果F同時滿足：①?∈F，②若A，B∈F，則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，那么稱F是U的一個環(huán)，則下列說法錯誤的是(

)A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，則F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一個環(huán)B．若U＝{a，b，c}，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有8個元素C．若U＝Z，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有4個元素且{2}，{3，5}∈FD．若U＝R，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有7個元素且[0，3]，[2，4]∈F【解析】對于A，由題意可得F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}滿足環(huán)的兩個要求，故F是U的一個環(huán)，故A正確；對于B，若U＝{a，b，c}，則U的子集有8個，則U的所有子集構成的集合F滿足環(huán)的定義，且有8個元素，故B正確；對于C，若F＝{?，{2}，{3，5}，{2，3，5}}，則F滿足環(huán)的要求，含有4個元素，且{2}，{3，5}∈F，故C正確；對于D，設A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(?UB)＝[0，2)∈F，B∩(?UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，設C＝[0，2)，A∩(?UC)＝[2，3]∈F，設D＝[0，4]，E＝[2，3]，D∩(?UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上?，F(xiàn)中至少含有8個元素，故D錯誤．故選D.【答案】D容斥原理分考點講解容斥原理的基本思想是先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復．如果被計數(shù)的事物有A，B，C三類，那么A類和B類和C類元素個數(shù)的總和＝

A類元素個數(shù)＋

B類元素個數(shù)＋C類元素個數(shù)－既是A類又是B類的元素個數(shù)－既是A類又是C類的元素個數(shù)－既是B類又是C類的元素個數(shù)＋既是A類又是B類且是C類的元素個數(shù)，即card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－

card(C∩A)＋

card(A∩B∩C)．例8某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人，問接受調查的小學生人數(shù)為(

)A．120

B．144C．177

D．192A【解析】如圖所示，用Venn圖表示題設中的集合關系．不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學生分別用集合A，B，C表示，則card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24.設小學生總人數(shù)為n，Venn圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為x，y，z，則card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y(tǒng)＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46.由容斥原理，得n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.故選A.元素與集合間的關系對點強化設集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|2x＋y＝1}，則A∩B中元素的個數(shù)是(

)A．2

B．1C．0

D．以上都不對A集合與集合間的關系對點強化B集合間的基本運算對點強化設全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，則(

C)A．A∩B＝{0，1}B．?UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集個數(shù)為8A【解析】對于A，由題意，得A∩B＝{0，1}，故A正確；對于B，?UB＝{2，4}，故B錯誤；對于C，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正確；對于D，集合A的真子集個數(shù)為23－1＝7，故D錯誤．集合新定義問題對點強化若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個元素的交集屬于τ，則稱τ是集合X上的一個拓撲．已知X＝{a，b，c}，對于下列四個選項，其中是集合X上的拓撲的集合τ的是(B

)A．τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}B．τ＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}C．τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}D．τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}D【解析】對于A，τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}，{a}∪{c}＝{a，c}?τ，所以A不是集合X上的拓撲的集合τ，故A錯誤；對于B，τ＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，滿足(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個元素的交集屬于τ，所以B是集合X上的拓撲的集合τ，故B正確；對于C，τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}，X＝{a，b，c}?τ，所以C不是集合X上的拓撲的集合τ，故C錯誤；對于D，τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}，滿足(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個元素