2025年高考數學一輪復習-集合的概念與運算【課件】

集合的概念與運算元素與集合的關系研究一個集合，要弄清楚集合中的代表元素．(1)用描述法表示的集合，先要弄清其元素表示的意義(主要考慮是數集還是點集)，如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制條件(性質)，最后根據元素的互異性，確定集合中的元素．(2)用列舉法表示的集合，要注意集合中元素的互異性．對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性，從而確定集合中的元素．分考點講解例1集合與集合之間的關系分考點講解1．子集(真子集)個數的求解方法(1)列舉法：將集合的子集(真子集)一一列舉出來，從而得到子集(真子集)的個數．適用于集合元素較少的情況．(2)公式法：

含有n個元素的集合的子集個數是2n，真子集個數是2n－1，非空子集個數是2n－1，非空真子集個數是2n－2.例2已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集合B＝{x||x|<2}，則A∩B的子集個數為(

)A．4 B．5C．7 D．15【解析】因為A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，所以A∩B＝{0，1}，所以A∩B的子集個數為22＝4(提示：含有n個元素的集合的子集個數為2n)．故選A.【答案】A集合與集合之間的關系分考點講解2．判斷集合之間關系的方法(1)首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，然后從表達式判斷兩集合之間的關系．(2)對于用列舉法表示的集合，可以從元素中判斷出兩集合之間的關系．(3)對于離散型數集或點集，常用列舉法或借助Venn圖判斷兩集合之間的關系；對于連續(xù)型數集，常借助數軸判斷兩集合之間的關系，此時要注意端點值的取舍．例3已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，則(

)A．N?M

B．M?NC．M∩N≠?

D．M∪?RN＝R【解析】由M＝{x|x2－3x＋2≤0}得M＝{x|1≤x≤2}．對于A，B，由題意得M?N，故A錯誤，B正確；對于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠?，故C正確；對于D，因為?RN＝{x|x≤－1}，所以M∪?RN＝(－∞，－1]∪[1，2]≠R，故D錯誤．故選BC.【答案】BC集合與集合之間的關系分考點講解3．利用集合間的關系求參數的值(取值范圍)(1)若未指明集合非空，則應考慮空集的情況，即由A?B知存在A＝?和A≠?兩種情況，需要分類討論；此外，集合中含有參變量時，求得結果后還需要利用元素的互異性進行檢驗．(2)若集合是連續(xù)數集的問題，則可以利用數軸求解，注意數形結合和分類討論思想的運用．例4已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B?A，則實數a的取值范圍是________．集合的基本運算分考點講解1．集合的基本運算解集合運算問題時應注意以下三點：(1)看元素構成，即集合中的元素是數還是有序數對，是函數的自變量還是函數值等；(2)對集合進行化簡，明確集合中元素的特點；(3)注意數形結合思想的應用，常見形式有數軸、坐標系和Venn圖等．例5集合的基本運算分考點講解2．利用集合運算結果求參數的取值范圍根據集合運算的結果確定參數取值范圍的步驟：(1)化簡所給集合；(2)用數軸表示所給集合；(3)根據集合端點的大小關系列出不等式(組);(4)解不等式(組);(5)檢驗．注意：(1)確定不等式解集的端點的大小關系時，需檢驗能否取“＝”；

(2)千萬不要忘記考慮空集．例6集合新定義問題分考點講解集合新定義問題的解決方法(1)遇到新定義問題，先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到解題的過程中，這是解答新定義型問題的關鍵所在．常見的新定義有新概念、新運算、新法則等．(2)集合的性質是解答集合新定義問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現可以使用集合性質的一些條件．例7設U是一個非空集合，F是U的子集構成的集合，如果F同時滿足：①?∈F，②若A，B∈F，則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，那么稱F是U的一個環(huán)，則下列說法錯誤的是(

)A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，則F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一個環(huán)B．若U＝{a，b，c}，則存在U的一個環(huán)F，F含有8個元素C．若U＝Z，則存在U的一個環(huán)F，F含有4個元素且{2}，{3，5}∈FD．若U＝R，則存在U的一個環(huán)F，F含有7個元素且[0，3]，[2，4]∈F【解析】對于A，由題意可得F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}滿足環(huán)的兩個要求，故F是U的一個環(huán)，故A正確；對于B，若U＝{a，b，c}，則U的子集有8個，則U的所有子集構成的集合F滿足環(huán)的定義，且有8個元素，故B正確；對于C，若F＝{?，{2}，{3，5}，{2，3，5}}，則F滿足環(huán)的要求，含有4個元素，且{2}，{3，5}∈F，故C正確；對于D，設A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(?UB)＝[0，2)∈F，B∩(?UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，設C＝[0，2)，A∩(?UC)＝[2，3]∈F，設D＝[0，4]，E＝[2，3]，D∩(?UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上?，F中至少含有8個元素，故D錯誤．故選D.【答案】D容斥原理分考點講解容斥原理的基本思想是先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復．如果被計數的事物有A，B，C三類，那么A類和B類和C類元素個數的總和＝

A類元素個數＋

B類元素個數＋C類元素個數－既是A類又是B類的元素個數－既是A類又是C類的元素個數－既是B類又是C類的元素個數＋既是A類又是B類且是C類的元素個數，即card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－

card(C∩A)＋

card(A∩B∩C)．例8某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人，問接受調查的小學生人數為(

)A．120

B．144C．177

D．192A【解析】如圖所示，用Venn圖表示題設中的集合關系．不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學生分別用集合A，B，C表示，則card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24.設小學生總人數為n，Venn圖中三塊區(qū)域的人數分別為x，y，z，則card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y(tǒng)＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46.由容斥原理，得n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.故選A.元素與集合間的關系對點強化設集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|2x＋y＝1}，則A∩B中元素的個數是(

)A．2

B．1C．0

D．以上都不對A集合與集合間的關系對點強化B集合間的基本運算對點強化設全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，則(

C)A．A∩B＝{0，1}B．?UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集個數為8A【解析】對于A，由題意，得A∩B＝{0，1}，故A正確；對于B，?UB＝{2，4}，故B錯誤；對于C，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正確；對于D，集合A的真子集個數為23－1＝7，故D錯誤．集合新定義問題對點強化若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個元素的交集屬于τ，則稱τ是集合X上的一個拓撲．已知X＝{a，b，c}，對于下列四個選項，其中是集合X上的拓撲的集合τ的是(B

)A．τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}B．τ＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}C．τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}D．τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}D【解析】對于A，τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}，{a}∪{c}＝{a，c}?τ，所以A不是集合X上的拓撲的集合τ，故A錯誤；對于B，τ＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，滿足(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個元素的交集屬于τ，所以B是集合X上的拓撲的集合τ，故B正確；對于C，τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}，X＝{a，b，c}?τ，所以C不是集合X上的拓撲的集合τ，故C錯誤；對于D，τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}，滿足(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個元素