2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)版第八章 立體幾何與空間向量含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)版第八章立體幾何與空間向量第一節(jié)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.3.知道球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.近三年高考考查了空間幾何體的體積及外接球的相關(guān)知識．預(yù)計2025年高考會繼續(xù)考查空間幾何體的體積，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖等內(nèi)容，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力和計算能力，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相eq\x(\s\up1(01))平行且eq\x(\s\up1(02))全等多邊形互相eq\x(\s\up1(03))平行且eq\x(\s\up1(04))相似側(cè)棱eq\x(\s\up1(05))平行且相等相交于eq\x(\s\up1(06))一點，但不一定相等延長線交于eq\x(\s\up1(07))一點側(cè)面形狀eq\x(\s\up1(08))平行四邊形eq\x(\s\up1(09))三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，eq\x(\s\up1(10))垂直于底面相交于eq\x(\s\up1(11))一點延長線交于eq\x(\s\up1(12))一點軸截面eq\x(\s\up1(13))矩形eq\x(\s\up1(14))等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖eq\x(\s\up1(15))矩形eq\x(\s\up1(16))扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用eq\x(\s\up1(17))斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為eq\x(\s\up1(18))45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面eq\x(\s\up1(19))垂直；②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別eq\x(\s\up1(20))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度eq\x(\s\up1(21))不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼膃q\x(\s\up1(22))一半．3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝eq\x(\s\up1(23))2πrlS圓錐側(cè)＝eq\x(\s\up1(24))πrlS圓臺側(cè)＝eq\x(\s\up1(25))π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝eq\x(\s\up1(26))Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\x(\s\up1(27))eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝eq\x(\s\up1(28))4πR2V＝eq\x(\s\up1(29))eq\f(4,3)πR31．求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．2．求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．3．錐體中平行于底面的截面的性質(zhì)在錐體中，用平行于底面的截面截原錐體，得到一個小錐體，則小錐體與原錐體有如下比例關(guān)系：eq\f(S小錐底,S大錐底)＝eq\f(S小錐全,S大錐全)＝eq\f(S小錐側(cè),S大錐側(cè))＝對應(yīng)線段(如高、斜高、底面邊長等)的平方之比．這個比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時，會大大簡化計算過程．在求臺體的側(cè)面積、底面積比時，將臺體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個關(guān)系式．4．有關(guān)棱柱直截面問題在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及與底面平行的截面．棱柱的側(cè)面積與直截面周長有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)＝C直截l(其中C直截，l分別為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長)．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)斜三棱柱的側(cè)面積也可以用c·l來求解，其中c是底面周長，l為側(cè)棱長．()(4)底面積相等且高相等的兩個同類幾何體的體積相等．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)(人教A必修第二冊習(xí)題8.1T6改編)下列說法正確的個數(shù)為()①圓柱的所有母線長都相等；②棱柱的側(cè)棱長都相等，側(cè)面都是平行四邊形；③底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；④棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點．A．1 B．2C．3 D．4答案C解析對于①，由圓柱的性質(zhì)知，母線長相等，故①正確；對于②，所有棱柱的側(cè)棱長相等，側(cè)面都是平行四邊形，故②正確；對于③，底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐是正棱錐，故③錯誤；對于④，用平行于底面的平面去截棱錐可得到棱臺，所以棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點，故④正確．故選C.(2)如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積是()A．4 B．10eq\r(2) C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)答案B解析平行四邊形O′A′B′C′中，O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以平行四邊形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′·O′C′sin30°＝5×2×eq\f(1,2)＝5，所以原平面圖形的面積是S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×5＝10eq\r(2).故選B.(3)(人教A必修第二冊8.3.2練習(xí)T1改編)已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．5π答案C解析設(shè)圓錐的母線長為l，則l·eq\f(2π,3)＝2π，解得l＝3，則該圓錐的表面積為π×1×3＋π×12＝4π.故選C.(4)(2023·江蘇常州一模)已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為3eq\r(5)π，則該圓臺的體積為()A．eq\f(8π,3) B．eq\f(14π,3)C．5π D．eq\f(16π,3)答案B解析如圖，設(shè)圓臺的母線長為l，則S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l＝π(1＋2)l＝3eq\r(5)π，解得l＝eq\r(5)，所以圓臺的高h(yuǎn)＝eq\r(（\r(5)）2－（2－1）2)＝2，則V圓臺＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)(π＋4π＋eq\r(π×4π))×2＝eq\f(14π,3).故選B.考點探究——提素養(yǎng)考點一基本立體圖形(多考向探究)考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1(2024·河北唐山階段考試)下列說法錯誤的是()A．球體是旋轉(zhuǎn)體B．圓柱的母線平行于軸C．斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形D．用平行于正棱錐底面的平面截正棱錐所得的棱臺叫做正棱臺答案C解析球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體，即球體是旋轉(zhuǎn)體，A正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的母線平行于軸，B正確；如圖，斜平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，若AD⊥平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，則AD⊥AA1，側(cè)面四邊形ADD1A1是矩形，C錯誤；由正棱臺的定義知，D正確．故選C.【通性通法】空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．【鞏固遷移】1．(2024·湖北襄陽五中月考)下列說法正確的是()A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．球的直徑是連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段C．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺答案B解析對于A，雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯誤；對于B，球的直徑的定義即為“連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；對于C，以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯誤；對于D，用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，故D錯誤．故選B.考向2平面圖形與其直觀圖例2已知△ABC是邊長為a的正三角形，那么水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(6),16)a2 B．eq\f(\r(3),32)a2C．eq\f(\r(3),16)a2 D．eq\f(\r(6),8)a2答案A解析解法一：根據(jù)題意，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，再按照斜二測畫法畫出△ABC的直觀圖，如圖2所示．由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選A.解法二：根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄摇蟲′O′y′＝45°(或135°)，所以若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×S＝eq\f(\r(2),4)S.本題中易得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，則S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.故選A.【通性通法】利用斜二測畫法解題的策略策略一在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半策略二按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系為S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形【鞏固遷移】2．(2023·益陽調(diào)研)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖O′A′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為()A．eq\r(2) B．4eq\r(2)C．8eq\r(2) D．2eq\r(2)答案C解析由S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖，得S原圖形＝2eq\r(2)×4＝8eq\r(2).考向3空間幾何體的展開圖例3(2024·黑龍江哈九中期末)如圖，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的底面邊長為1cm，側(cè)面積為9cm2，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點A′的最短路線的長為________cm.答案3eq\r(2)解析將正三棱柱ABC－A′B′C′沿側(cè)棱展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，依題意，AB＝BC＝CA1＝1cm，由側(cè)面積為9cm2，得C△ABC·AA′＝9，則AA′＝3cm，依題意，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點A′的最短路線的長為AA1′＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋AA1′2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)cm.【通性通法】多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．【鞏固遷移】3．(2024·貴州黔東南期末)如圖1的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖2的“正六面體”，則SS′＝________．答案eq\f(2\r(6),3)解析該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為1，如圖，在棱長為1的正四面體S－ABC中，取BC的中點D，連接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，則AD＝SD＝eq\f(\r(3),2)，OD＝eq\f(1,3)AD＝eq\f(\r(3),6)，SO＝eq\r(SD2－OD2)＝eq\f(\r(6),3)，所以SS′＝2SO＝eq\f(2\r(6),3).考向4空間幾何體的截面圖例4(多選)如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面圖形可能是該幾何體的截面的是()答案BCD解析對于A，由于截面中間是矩形，如果可能的話，一定是用和正方體底面平行的截面去剖開正方體并且是從挖去四棱錐的那部分剖開，但此時剖面中間應(yīng)該是一個正方形，因此A圖形不可能是該幾何體的截面；對于B，當(dāng)從正方體底面的一組相對棱的中點處剖開時，截面正好通過四棱錐頂點，如圖1，此時截面形狀如B圖形，故B可能是該幾何體的截面；對于C，當(dāng)截面不經(jīng)過底面一組相對棱的中點處，并和另一組棱平行去剖開正方體時，如圖2中截面PDGH位置，截面形狀如C圖形，故C可能是該幾何體的截面；對于D，如圖3所示，按圖中截面A1B1C1的位置去剖開正方體，截面形狀如D圖形，故D可能是該幾何體的截面．故選BCD.【通性通法】作多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連接成截線，從而得到截面．【鞏固遷移】4．(2024·吉林長春五中階段考試)圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是()答案D解析圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如圖1所示，則過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如圖2.故選D.考點二空間幾何體的表面積例5(2024·江西萍鄉(xiāng)期末)如圖，平面四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,2)，∠ADC＝eq\f(3π,4)，AB＝5，CD＝eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()A．56π＋eq\r(2)π B．56π＋2eq\r(2)πC．55π＋eq\r(2)π D．55π＋2eq\r(2)π答案C解析四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，因為AB＝5，所以圓臺下底面的面積S1＝25π，又因為CD＝eq\r(2)，∠ADC＝eq\f(3π,4)，所以ED＝EC＝1，BC＝eq\r(（2＋1）2＋（5－1）2)＝5，所以圓臺的側(cè)面積S2＝π(EC＋AB)·BC＝π(1＋5)×5＝30π.圓錐的側(cè)面積S3＝eq\f(1,2)·2π·EC·CD＝eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(2)＝eq\r(2)π.所以所求幾何體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝25π＋30π＋eq\r(2)π＝55π＋eq\r(2)π.故選C.【通性通法】空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．【鞏固遷移】5．(2023·河南鄭州一中期末)已知圓臺OO1軸截面的面積為3eq\r(3)，上、下底面半徑之比為1∶2，母線與底面所成的角為60°，則圓臺的側(cè)面積為()A．3eq\r(3)π B．6eq\r(3)πC．6π D．9π答案C解析作出軸截面ABCD，則四邊形ABCD為等腰梯形，∠ABC＝60°，過點A作AE⊥BC，設(shè)上底面半徑為x，則下底面半徑為2x，則上底面直徑AD＝2x，下底面直徑BC＝4x，則BE＝eq\f(1,2)(BC－AD)＝x，則AE＝eq\r(3)x，則S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(2x＋4x)×eq\r(3)x＝3eq\r(3)，解得x＝1，則上底面半徑r1＝1，下底面半徑r2＝2，母線長l＝2BE＝2，則圓臺的側(cè)面積S側(cè)＝πl(wèi)(r1＋r2)＝2π(1＋2)＝6π.故選C.6．(2024·江蘇南京期中)如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為()A．8eq\r(3) B．4eq\r(3)C．2eq\r(3) D．eq\r(3)答案B解析正方體的棱長為2，根據(jù)圖形，取正方體一條棱的中點M，連接MD，MC，則MD⊥MC，且MD＝MC＝1，所以CD＝eq\r(2)，因為側(cè)面△ACD為等邊三角形，所以S△ACD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(3),2)，所以該八面體的表面積S＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).故選B.考點三空間幾何體的體積(多考向探究)考向1直接法求體積例6(1)(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3答案A解析取AB的中點E，連接PE，CE，如圖，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE?平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選A.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺的體積為________．答案eq\f(7\r(6),6)解析如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為正四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高．因為AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)A1B1＝eq\f(\r(2),2)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)AB＝eq\r(2)，故AM＝AO－A1O1＝eq\f(\r(2),2)，則A1M＝eq\r(A1A2－AM2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以所求棱臺的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋1＋eq\r(4×1))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).【通性通法】直接法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解．【鞏固遷移】7．(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A．π B．eq\r(6)πC．3π D．3eq\r(6)π答案B解析在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝eq\r(3)，取AB的中點C，連接OC，PC，則OC⊥AB，PC⊥AB，如圖，∠ABO＝30°，OC＝eq\f(\r(3),2)，AB＝2BC＝3，由△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，得eq\f(1,2)×3×PC＝eq\f(9\r(3),4)，解得PC＝eq\f(3\r(3),2)，于是PO＝eq\r(PC2－OC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(6)，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×OA2×PO＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×eq\r(6)＝eq\r(6)π.故選B.考向2補(bǔ)形法求體積例7如圖，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為36，E，F(xiàn)分別為棱B1B，C1C上的點(異于端點)，且EF∥BC，則四棱錐A1－AEFD的體積為________．答案12解析補(bǔ)體，如圖，VA1－AEFD＝eq\f(1,3)VAA1D1D－EE1F1F＝eq\f(1,3)VABCD－A1B1C1D1＝12.【通性通法】把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于計算．常見的補(bǔ)形有：(1)將正四面體補(bǔ)形成正方體；(2)將等腰四面體(對棱相等)補(bǔ)形成長方體；(3)將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補(bǔ)成正方體；(4)將臺體補(bǔ)成錐體等．【鞏固遷移】8．如圖，一個底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和10，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π答案B解析由幾何體的直觀圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.考向3分割法求體積例8(2023·安徽合肥一中期末)木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝2，則該木楔子的體積為()A．eq\f(4\r(2),3) B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)答案D解析如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則由題意，得等腰梯形ABFE全等于等腰梯形CDEF，則EG＝HF＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點O，連接GO，因為AG＝GD，所以GO⊥AD，則GO＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以S△ADG＝S△BCH＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4).因為AB∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，又因為AD∩AG＝A，AD，AG?平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，所以多面體的體積V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故選D.【通性通法】分割法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，當(dāng)規(guī)則的幾何體用公式不易求出時，可將其分割轉(zhuǎn)化成比較好求體積的幾何體．大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱柱＋四棱錐，從四棱錐底面對角線或幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”．【鞏固遷移】9．如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．答案4解析解法一(分割法)：因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，過點C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH－ABC和一個斜三棱柱BEF－CHG.由題意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH·AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF·DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4.解法二(補(bǔ)形法)：因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長為2的正方體，顯然所求多面體的體積為該正方體體積的一半．又正方體的體積V正方體ABHI－DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝eq\f(1,2)×8＝4.考向4轉(zhuǎn)化法求體積例9(2023·江西吉安模擬)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點，點E在棱AA1上，則三棱錐B1－EBD的體積為()A．1 B．2C．eq\r(3) D．2eq\r(3)答案C解析∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點，點E在棱AA1上，∴S△BDB1＝eq\f(1,2)BB1·BC＝eq\f(1,2)×3×2＝3，點E到平面BDB1的距離h＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴三棱錐B1－EBD的體積為VB1－EBD＝VE－BDB1＝eq\f(1,3)S△BDB1·h＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)＝eq\r(3).故選C.【通性通法】(1)等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性．(2)盡可能尋找在表面的三個點，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積．轉(zhuǎn)化的目的是找到易于計算的“好底”與“好高”．【鞏固遷移】10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，AA1＝1，則點B1到平面A1BC的距離為________．答案eq\f(\r(21),7)解析因為AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC.則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(\r(3),2).因為三棱錐C－A1AB與三棱錐C－A1B1B的底面積相等(S△A1AB＝S△A1B1B)，高也相等(點C到平面ABB1A1的距離)，所以三棱錐C－A1AB與三棱錐C－A1B1B的體積相等．又VC－A1AB＝VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6)，所以VC－A1B1B＝VB1－A1BC＝eq\f(\r(3),6).易得A1B＝eq\r(2)，A1C＝2，在等腰三角形A1BC中，A1B上的高為eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2)，則S△A1BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(14),2)＝eq\f(\r(7),2).設(shè)點B1到平面A1BC的距離為h，則VB1－A1BC＝eq\f(1,3)S△A1BC·h＝eq\f(\r(3),6)，解得h＝eq\f(\r(21),7).課時作業(yè)一、單項選擇題1．一個菱形的邊長為4cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為()A．2eq\r(3)cm2 B．2eq\r(6)cm2C．4eq\r(6)cm2 D．8eq\r(3)cm2答案B解析直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2)．故選B.2．(2024·河南鄭州模擬)若圓錐的母線與底面所成的角為eq\f(π,6)，底面半徑為eq\r(3)，則該圓錐的體積為()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．3π答案B解析設(shè)圓錐的高為h，因為母線與底面所成的角為eq\f(π,6)，所以taneq\f(π,6)＝eq\f(h,\r(3))，解得h＝1.所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×1＝π.故選B.3.如圖，圓錐的母線長AB為2，底面半徑為r，若一只螞蟻從圓錐的點B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點D處，其爬行的最短路線長為eq\r(5)，則圓錐的底面半徑為()A．1 B．2C．3 D．eq\f(3,2)答案A解析如圖為半圓錐的側(cè)面展開圖，連接BD1，則BD1的長為螞蟻爬行的最短路線長，設(shè)展開圖的扇形的圓心角為α，圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得BD1＝eq\r(5)，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，因為AB2＋ADeq\o\al(2,1)＝BDeq\o\al(2,1)，所以∠D1AB＝eq\f(π,2)，扇形弧長為l＝eq\f(π,2)×2＝π，所以圓錐底面圓的周長為2l＝2π，即2πr＝2π，解得r＝1.故選A.4．(2023·江蘇宿遷中學(xué)一模)設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為S1，S2，S3，則()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S3<S1<S2 D．S3<S2<S1答案C解析令正方體、正四面體和球的體積為1，設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝1，解得a＝1，則正方體的表面積S1＝6a2＝6；設(shè)正四面體的棱長為b，則正四面體底面正三角形外接圓的半徑為eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)b＝eq\f(\r(3),3)b，正四面體的高為eq\r(b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)b))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)b，體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)b2×eq\f(\r(6),3)b＝eq\f(\r(2),12)b3＝1，解得b＝eq\r(2)×eq\r(3,3)，則正四面體的表面積S2＝4×eq\f(\r(3),4)b2＝2eq\r(3)×eq\r(3,32)＝2×3eq\s\up7(\f(7,6))>6；設(shè)球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝1，解得r＝eq\r(3,\f(3,4π))，則球的表面積S3＝4πr2＝4πeq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4π)))\s\up12(2))＝eq\r(3,36π)<6，所以S3<S1<S2.故選C.5．(2024·河南商丘聯(lián)考)某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是()A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個頂點答案B解析據(jù)圖可得，該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個面，B不正確；該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個頂點，D正確．故選B.6．(2023·陜西西安一模)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M在對角線BC1上移動，則三棱錐M－AB1D1的體積為()A．eq\f(8,3) B．8C．eq\f(4,3) D．4答案C解析因為正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以AD1∥BC1，所以點M到平面AB1D1的距離等于點C1到平面AB1D1的距離，所以VM－AB1D1＝VC1－AB1D1＝VA－B1C1D1＝eq\f(1,3)S△B1C1D1·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故選C.7．(2023·天津高考)在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,9)答案B解析如圖，因為PM＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PNsin∠BPC,\f(1,2)PC·PBsin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP－AMN,VP－ABC)＝eq\f(VA－PMN,VA－PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d為點A到平面PBC的距離，因為平面PMN和平面PBC重合，所以點A到平面PMN的距離也為d)．故選B.8．(2023·河北邯鄲模擬)如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為△A1B1C(如圖2)，則容器的高h(yuǎn)為()A．3 B．4C．4eq\r(2) D．6答案A解析在題圖1中V水＝eq\f(1,2)×2×2×2＝4，在題圖2中，V水＝VABC－A1B1C1－VC－A1B1C1＝eq\f(1,2)×2×2×h－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×h＝eq\f(4,3)h，∴eq\f(4,3)h＝4，∴h＝3.故選A.二、多項選擇題9.(2024·河北張家口摸底)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝eq\r(5)，則在原平面圖形△ABC中，有()A．AC＝BC B．AB＝2C．AC＝2eq\r(5) D．S△ABC＝4eq\r(2)答案BD解析如圖1所示，在直觀圖△A′B′C′中，過C′作C′D′⊥A′B′于D′，∵A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝eq\r(5)，∴A′D′＝1，C′D′＝eq\r(A′C′2－A′D′2)＝2，又∠C′O′D′＝45°，∴O′D′＝2，O′A′＝1，O′C′＝2eq\r(2)，∴利用斜二測畫法將直觀圖△A′B′C′還原為原平面圖形△ABC，如圖2所示，則OC＝4eq\r(2)，OA＝1，AB＝2，故B正確；又AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(33)，BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝eq\r(41)，故A，C錯誤；S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2)，故D正確．故選BD.10．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積為eq\r(3)答案AC解析依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3)，對于A，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A正確；對于B，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，B錯誤；對于C，設(shè)D是AC的中點，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，C正確；對于D，因為PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，D錯誤．故選AC.三、填空題11．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________．答案28解析解法一：由于eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱臺的體積為32－4＝28.解法二：棱臺的體積為eq\f(1,3)×3×(16＋4＋eq\r(16×4))＝28.12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，若BD＝1，則三棱錐D－ABC的表面積為________．答案eq\f(3＋\r(3),2)解析由題意，折起前AD是BC邊上的高，當(dāng)△ABD折起后，可得AD⊥DC，AD⊥BD，因為BD＝AD＝DC＝1，BD⊥DC，所以AB＝BC＝CA＝eq\r(2)，從而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐D－ABC的表面積S＝eq\f(1,2)×3＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),2).13．(2024·九省聯(lián)考)已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是________，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是________．答案eq\f(2,3)1解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(3)r，母線l＝2r，由題可知h＝2R，所以球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)r，所以圓錐的體積V1＝eq\f(1,3)×(π×r2)×eq\r(3)r＝eq\f(\r(3),3)πr3，球的體積V2＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)πr3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(\r(3),3)πr3,\f(\r(3),2)πr3)＝eq\f(2,3).圓錐的表面積S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球的表面積S2＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r))eq\s\up12(2)＝3πr2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(3πr2,3πr2)＝1.14.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝eq\r(3)，點E為AB上的動點，則D1E＋CE的最小值為________．答案eq\r(10)解析如圖，連接D1A，C1B，并分別延長至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，連接EG，F(xiàn)G，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1為正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四邊形ABGF為正方形，∴EG＝eq\r(BE2＋BG2)＝eq\r(BE2＋BC2)＝CE，∴D1E＋CE的最小值為D1G，由AD＝AB＝1，AA1＝eq\r(3)，得AD1＝2，則D1F＝3，D1G＝eq\r(D1F2＋FG2)＝eq\r(9＋1)＝eq\r(10)，∴D1E＋CE的最小值為eq\r(10).四、解答題15.(2024·寧夏銀川期中)如圖，某組合體是由正方體ABCD－A1B1C1D1與正四棱錐P－A1B1C1D1組成，已知AB＝6，且PA1＝eq\f(\r(3),2)AB.(1)求該組合體的體積；(2)求該組合體的表面積．解(1)在正四棱錐P－A1B1C1D1中，連接A1C1，B1D1交于點O，連接PO，取A1B1的中點E，連接OE，PE，因為AB＝6，且PA1＝eq\f(\r(3),2)AB，則PA1＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)，A1C1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋C1Beq\o\al(2,1))＝6eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PAeq\o\al(2,1)－OAeq\o\al(2,1))＝3，所以VP－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)S正方形A1B1C1D1·PO＝eq\f(1,3)×62×3＝36，又VABCD－A1B1C1D1＝63＝216，所以該組合體的體積V＝VABCD－A1B1C1D1＋VP－A1B1C1D1＝216＋36＝252.(2)由(1)可知PE⊥A1B1，所以PE＝eq\r(PAeq\o\al(2,1)－A1E2)＝3eq\r(2)，所以S△PA1B1＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(2)＝9eq\r(2)，所以該組合體的表面積S表＝4×9eq\r(2)＋5×62＝180＋36eq\r(2).16.如圖，已知一個圓錐的底面半徑為2，高為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．(1)當(dāng)x＝eq\f(4,3)時，求圓柱的體積；(2)當(dāng)x為何值時，此圓柱的側(cè)面積最大？并求出此最大值．解(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則eq\f(r,2)＝eq\f(2－x,2)，所以r＝2－x，0<x<2，當(dāng)x＝eq\f(4,3)時，r＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)，所以圓柱的體積V＝πr2x＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(4,3)＝eq\f(16π,27).(2)由(1)知r＝2－x，0<x<2，則圓柱的側(cè)面積S＝2πrx＝2π(2－x)x＝2π(－x2＋2x)＝2π[－(x－1)2＋1]，所以當(dāng)x＝1時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為2π.17．(2024·南京金陵中學(xué)月考)用一個平面去截一個正方體，所得截面形狀可能為()①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤圓．A．①②③ B．①②④C．①②③④ D．①②③④⑤答案C解析用一個平面去截一個正方體，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別是所在棱的中點，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示，故選C.18.(多選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，下列判斷正確的是()A．直三棱柱的側(cè)面積是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱的表面積是5＋eq\r(2)C．直三棱柱的體積是eq\f(1,3)D．三棱錐E－AA1O的體積為定值答案AD解析在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，其表面積為eq\f(1,2)×1×1×2＋4＋2eq\r(2)＝5＋2eq\r(2)，故A正確，B錯誤；直三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故C錯誤；如圖所示，因為BB1∥平面AA1C1C，且點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，所以三棱錐E－AA1O的高為定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)，所以VE－AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，為定值，故D正確．故選AD.19．(多選)(2023·浙江溫州校聯(lián)考期中)陽馬和鱉臑(biēnào)是我國古代對一些特殊錐體的稱謂．取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱(圖2，圖3)，稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開(圖4)，得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬(圖5)．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑(圖6)．若圖1中的長方體是棱長為4的正方體，則下列結(jié)論正確的是()A．鱉臑中只有一個面不是直角三角形B．塹堵的表面積為48＋16eq\r(2)C．陽馬的體積為eq\f(64,3)D．鱉臑的體積為正方體的eq\f(1,4)答案BC解析對于A，由題知，鱉臑是由四個直角三角形組成的四面體，A錯誤；對于B，塹堵的表面積為4×4×2＋eq\f(1,2)×4×4×2＋4×4eq\r(2)＝48＋16eq\r(2)，B正確；對于C，陽馬的體積為eq\f(1,3)×4×4×4＝eq\f(64,3)，C正確；對于D，因為鱉臑是由四個直角三角形組成的四面體，且易知D1C1⊥平面BCC1，所以VD1－BCC1＝eq\f(1,3)S△BCC1·D1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×4＝eq\f(32,3)，又正方體的體積為43＝64，故鱉臑的體積為正方體的eq\f(1,6)，D錯誤．故選BC.20．(多選)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有()A．直徑為0.99m的球體B．所有棱長均為1.4m的四面體C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體答案ABD解析對于A，因為0.99m<1m，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A符合題意；對于B，因為正方體的面對角線長為eq\r(2)m，且eq\r(2)>1.4，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B符合題意；對于C，因為正方體的體對角線長為eq\r(3)m，且eq\r(3)<1.8，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不符合題意；對于D，因為1.2m>1m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過AC1的中點O作OE⊥AC1，設(shè)OE∩AC＝E，可知AC＝eq\r(2)，CC1＝1，AC1＝eq\r(3)，OA＝eq\f(\r(3),2)，則tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(OE,AO)，即eq\f(1,\r(2))＝eq\f(OE,\f(\r(3),2))，解得OE＝eq\f(\r(6),4)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)＝eq\f(9,24)>eq\f(9,25)＝0.62，即eq\f(\r(6),4)>0.6，故以AC1為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m的圓柱，若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上、下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心O1與正方體的下底面的切點為M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，則tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(O1M,AO1)，即eq\f(1,\r(2))＝eq\f(0.6,AO1)，解得AO1＝0.6eq\r(2)，根據(jù)對稱性可知，圓柱的高為eq\r(3)－2×0.6eq\r(2)≈1.732－1.2×1.414＝0.0352>0.01，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D符合題意．故選ABD.第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.預(yù)計2025年高考主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題.必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)1．與平面有關(guān)的基本事實及推論(1)與平面有關(guān)的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過eq\x(\s\up1(01))不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的eq\x(\s\up1(02))兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條eq\x(\s\up1(03))過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實1的三個推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.基本事實4和等角定理基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線eq\x(\s\up1(04))互相平行．等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角eq\x(\s\up1(05))相等或互補(bǔ)．4．異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．()(2)沒有公共點的兩條直線是異面直線．()(3)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過點A的任意一條直線．()答案(1)√(2)×(3)×2．小題熱身(1)(人教A必修第二冊習(xí)題8.4T3改編)下列說法正確的是()A．兩組對邊分別相等的四邊形確定一個平面B．和同一條直線異面的兩條直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩條直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交答案C解析兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，而DD1與B1C1是異面直線，故B錯誤；如圖2，直線AB與CD是異面直線，若AC∥BD，有AC與BD確定一個平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與直線AB與CD是異面直線矛盾，則直線AC與BD一定不平行，故C正確；如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯誤．故選C.(2)(2023·四川綿陽中學(xué)診斷考試)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面答案D解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.(3)(2024·湖北荊州中學(xué)階段考試)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC答案C解析由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C.(4)(2024·浙江杭州二中月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．CC1與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°答案C解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故CC1與B1E是共面的，A錯誤；由于CC1?平面C1B1BC，而AE與平面C1B1BC交于點E，點E不在CC1上，故CC1與AE是異面直線，B錯誤；同理，AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．故選C.考點探究——提素養(yǎng)考點一基本事實的應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，連接D1F，CE.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥A1B，且EF＝eq\f(1,2)A1B.又A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1能夠確定一個平面ECD1F，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則P∈CE，且P∈D1F，∵CE?平面ABCD，D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三線共點．【通性通法】共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)證明線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．【鞏固遷移】1．(多選)(2024·湖北襄陽五中質(zhì)檢)下列關(guān)于點、線、面的位置關(guān)系的說法中不正確的是()A．若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合B．空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)C．直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b是異面直線D．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則A，M，O三點共線，且A，M，O，C四點共面答案ABC解析對于A，當(dāng)這三點共線時，兩個平面可以不重合，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三個點在一條直線上，但平面ABCD與平面ADD1A1相交，不重合，故A不正確；對于B，從點A出發(fā)的三條棱AA1，AB，AD不在同一平面內(nèi)，故B不正確；對于C，如圖，記直線AA1，B1C1分別為c，d，直線AB1，A1B1分別為a，b，可知AB1∩A1B1＝B1，則此時直線a，b相交，故C不正確；對于D，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因為直線A1C交平面AB1D1于點M，所以M∈AO，即A，M，O三點共線，因為A，M，O三點共線，直線和直線外一點可以確定一個平面，所以A，O，C，M四點共面，故D正確．故選ABC.考點二空間兩條直線的位置關(guān)系例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．故選D.(2)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，與直線BC1異面的棱有()A．1條 B.2條C．3條 D．4條答案C解析在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1異面的直線有A1B1，AC，AA1，共3條．故選C.【通性通法】空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法和技巧【鞏固遷移】2．(2023·廣東廣州調(diào)研)若空間中四條直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1，l4既不平行也不垂直D．l1，l4位置關(guān)系不確定答案D解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取AA1為l2，BB1為l3，AD為l1，BC為l4，則l1∥l4；取AD為l1，AB為l4，則l1⊥l4；取AD為l1，A1B1為l4，則l1與l4異面，因此l1，l4的位置關(guān)系不確定．故選D.3.(2024·南京模擬)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是()A．直線CD與直線GH異面B．直線CD與直線EF共面C．直線AB與直線EF平行D．直線GH與直線EF共面答案B解析如圖，點C與點G重合，故A錯誤；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四邊形CDBE是平行四邊形，∴CD∥EF，∴CD與EF共面，故B正確；∵AB∩EF＝B，∴AB與EF相交，故C錯誤；∵EF與GH既不平行也不相交，∴EF與GH是異面直線，故D錯誤．故選B.考點三異面直線所成的角例3(2024·河北邢臺月考)已知圓柱的母線長與底面半徑之比為eq\r(3)∶2，四邊形ABCD為其軸截面，若點E為上底面eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，則異面直線DE與AB所成角的余弦值為()A．eq\f(2\r(11),11) B．eq\f(2\r(7),7)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),3)答案A解析如圖所示，因為AB∥CD，所以∠EDC(或其補(bǔ)角)為異面直線DE與AB所成的角．設(shè)CD的中點為O，過點E作EF⊥底面圓于F，連接OE，OF，因為E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，所以F是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點，CD⊥OF.又因為EF⊥圓O，所以EF⊥CD.由于EF∩OF＝F，OF，EF?平面OEF，則CD⊥平面OEF，OD⊥OE.設(shè)AD＝eq\r(3)，則OD＝OF＝2.所以O(shè)E＝eq\r(7)，ED＝eq\r(11)，所以cos∠EDC＝eq\f(OD,DE)＝eq\f(2,\r(11))＝eq\f(2\r(11),11).故選A.【通性通法】求異面直線所成角的步驟(1)作：通過作平行線得到相交直線．(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．【鞏固遷移】4．(2023·湖北荊州模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點，若AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1C與AD所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如圖，取B1C1的中點D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補(bǔ)角)就是異面直線A1C與AD所成的角．連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C?平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1CD1為直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，∴∠CA1D1＝60°.故選C.課時作業(yè)一、單項選擇題1．下列敘述錯誤的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈lB．若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個平面C．三點A，B，C確定一個平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α答案C解析對于A，點P是兩平面的公共點，則點P在兩平面的交線上，故A正確；對于B，由基本事實的推論可知，兩相交直線確定一個平面，故B正確；對于C，只有不共線的三點才能確定一個平面，故C錯誤；對于D，由基本事實2，直線上有兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi)，故D正確．故選C.2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交或異面B．若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行答案A解析m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，對于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；對于B，若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n平行、相交或異面，故D錯誤．故選A.3．(2024·遼寧營口模擬)已知空間中不過同一點的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析空間中不過同一點的三條直線a，b，l，若a，b，l共面，則a，b，l相交或a，b，l有兩個平行、另一直線與之相交或三條直線兩兩平行，所以若a，b，l共面，則a，b，l兩兩相交不一定成立；而若a，b，l兩兩相交，則a，b，l共面成立．故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件．故選A.4．(2024·遼寧沈陽高三模擬)如圖是某正方體的展開圖，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)分別是原正方體對應(yīng)棱的中點，則在原正方體中與AB異面且所成的角為60°的直線是()A．CD B．DEC．EF D．CE答案C解析由題設(shè)，將展開圖還原成正方體及各點的空間位置如圖所示．結(jié)合選項及正方體的性質(zhì)知，與AB異面的直線有EF，CE，其中只有EF與AB所成的角為60°.故選C.5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面答案D解析設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2a，則MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)a，作點E在平面ABCD內(nèi)的射影為點G，連接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故A，C錯誤；連接A1D，B1C，因為E為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因為M，N分別為B1C1，CC1的中點，所以MN∥B1C，又因為B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故B錯誤，D正確．6．(2023·山東威海期末)在空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，G∈CD，H∈AD，且CG＝2GD，AH＝2HD，則()A．直線EH與FG平行B．直線EH，F(xiàn)G，BD相交于一點C．直線EH與FG異面D．直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點答案B解析因為CG＝2GD，AH＝2HD，且∠ADC＝∠HDG，所以△ADC∽△HDG，所以HG∥AC且HG＝eq\f(1,3)AC，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC且EF＝eq